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1、直线高考复习科目：数学 高中数学总复习（九） I. 基础知识要点 一、 平面.1. 确定平面的4个公理或定理(1)不共线的3点确定一个平面(2)两条相交直线确定一个平面(3)两条平行直线确定一个平面(4)一条直线和直线外一点确定一个平面。确定直线在平面内的定理：如果直线上有两个点在平面内，则直线在平面内。两个平面的公共点的个数定理：如果两个平面有一个公共点，则必有无数个公共点，且这些公共点的个数在同一条直线上。2.点、线、面的位置关系的表示方法。3. 两个平面可将平面分成3或4部分.（两个平面平行，两个平面相交）4. 过三条互相平行的直线能够确定1或3个平面.（三条直线在一个平面内平行，三条直
2、线不在一个平面内平行）注：三条直线能够确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.5. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线的位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点。（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线：不在任何一个平面内，也没有公共点。两条异面直线的作图，常借助于辅助平面。注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系：平行或相交若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两
3、条平行线或两点.在平面内射影是直线的图形一定是直线.（）（射影不一定只有直线，也能够是其他图形）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线aa , bb,相交直线a，b所成的锐角（直角）叫异面直线a,b所成的角，求异面直线的夹角常用平移法和向量法。异面直线的距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面
4、直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条。（2）求异面直线的距离的常用方法有：1）直接找公垂线段而求之。2）转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和平行另一条直线。3）利用向量法：常利用端点在两条异面直线上的有向线段在公垂线的方向向量上的投影。如图：AB为公垂线段，异面直线上两点的距离公式：已知两条异面直线a,b所成的角为，在a,b上分别取点E，F，已知AB为公垂线段，长度为d,BEm,AF=n,EF=l则l（同侧为减，异侧为加）三.重要知识点：1. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.2. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的
5、两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.3.三垂线定理的逆定理亦成立.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。注：垂直于同一平面的两个平面平行.（）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）垂直于同一直线的两个平面平行.（）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）垂直于同一平面的两条直线平行.（）4. 垂线段和斜线段
6、长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短.注：垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面内的射影是一条直线.（）射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上5.直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。特别当一条直线和平面垂直时，就说直线与平面所成的角是直角，当一条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0，所以直线和平面所成的角的范围是利
7、用法向量可处理线面角问题：设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有（图1）或（图2）图1 图26.二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，棱为l，两个面分别为，的二面角记为-l-,一个平面垂直于二面角-l-的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，O为垂足，则AOB叫做二面角-l-,的平面角。一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是00，180计算二面角的方
8、法：（1）定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，再解直角三角形)。（2）射影面积法，（3）有平面角向量法(常用基向量法)，(4)法向量法(常用坐标法)：利用法向量可处理二面角问题设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有（图3）或 （图4）图3 图4三、空间几何体1、 棱柱、圆柱，棱锥、圆锥，棱台、圆台，球的概念与分类及性质。它们的表面积与体积的计算。棱柱：(1)棱柱的概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。(2)棱柱的分类：1）按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱
9、和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱。侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱，2）按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，、3)底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。底面为矩形的直平行六面体叫长方体，各棱长相等的长方体叫正方体。注正四棱柱一定是长方体，但长方体不一定是正四棱柱，直平行六面体一定是直四棱柱但直四棱柱不一定是直平行六面体。四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.直四棱柱平行六面体=直平行六面体.(3)棱柱的性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都
10、相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。2）与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。4)棱柱的侧面积=直截面(垂直于侧棱的截面)的周长侧棱长，棱柱的体积=底面积高。(4)平行六面体ABCD-ABCD的性质：1)平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分2）平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和。3）长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和4）若长方体的一条对角线与过这一条对角线的一端的三个相邻面所成的角分别为，则Sin+sin+sin=15）长方体的体对角线与共顶点的三条棱所成的角分
11、别为，则Sin+sin+sin=26）长方体的对角线等于它的外接球的直径7）正方体的内切球的直径等于正方形的边长。和正方体各棱切的球的直径等于正方形的面对角线8）平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体；圆柱：一个矩形绕着一边旋转一周所得的几何体。棱锥：(1)棱锥的概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面。过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。(2)锥的分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥(3)棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相
12、似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。经过棱锥的高的中点且平行于底面的截面叫中截面，中截面的面积是底面面积的1/4。(4)正棱锥的概念与性质：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。性质：1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。(5)棱锥的体积公式：VSh (S是棱锥的底面积，h是棱锥的高)圆锥：一个直角三角形绕着一边旋转一周所得的几何体。它的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长是
13、底面圆的周长。扇形的半径等于母线长。棱台：一个棱锥被平行于底面的平面所截，夹在底面与截面间的几何体叫棱台。圆台：一个直角梯形绕着垂直于底边的腰旋转一周所得的几何体。球：(1)球的概念：与定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。定点叫做球心。定长叫做球的半径。球面：与定点的距离等于定长的点的集合叫做球面。(2)球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面。球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面的半径r之间的关系：r。大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。经过球面上两点的大圆，当这两点与球心不共线时，有且只有一个。当这两点与球心共线时有无数
14、个。(3)球面距离：球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做这两点的球面距离。它等于球心角半径。(4)球的体积和表面积公式：V(5)正四面体的边长为a，则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为，正方体的边长为a，则它的外接球的半径、内切球的半径、棱切球的半径分别为2、三视图与直观图的画法1）直观图的画法（斜二侧画法规则）：已知图形中平行于横轴和竖轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于纵轴的线段，在直观图中其长度为原来的一半。原来平行的线段仍然平行，原来相交的线段仍然相交，但角度可能发生变化。把直观图还原成原来水平放置的图形时，应先把与横轴成45的线段还原成与横轴成直角
15、的线段。2）三视图的画法：正视图（从前向后看）、俯视图（从上往下看）、侧视图（从左往右看，也叫左视图）。四、 直线与平面的位置关系1、(1)直线与平面的位置关系：1）直线在平面内2）直线与平面相交3）直线与平面平行（其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外 ）(2)直线与平面平行的判定：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行。简称为“线线平行，则线面平行。”判定直线与平面平行的方法还有：1） 2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。(3) 直线与平面
16、垂直的概念：如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。直线和平面垂直的判定：1）一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。2）两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。直线和平面垂直的性质定理：（1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。（2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。例1：判断对错： 直线与平面内一条直线平行，则. 直线与平面内一条直线相交，则与平面相交. 若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行. 两条平行线中一条平
17、行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. 平行于同一直线的两个平面平行. 平行于同一个平面的两直线平行. 直线与平面、所成角相等，则.答案：1、（）（平面外一条直线）2、（）（平面外一条直线）3、（）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）4、（）（可能在此平面内）5、（）（两个平面可能相交）6、（）（两直线可能相交或者异面）7、（）（、可能相交）2(1)平面与平面的位置关系：1）平行没有公共点，2）相交有且只有一条公共直线。两个平面的公共点都在同一条直线上。(2)两个平面平行的判定：1)一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。简称为“线面平行，则面面平行”，2)
18、推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。3)垂直于同一条直线的两个平面平行。两个平面平行的性质定理：1)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。2)两个平行平面之间的距离处处相等，夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。3)如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。(3) 两个平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两个平面垂直的性质定理：1)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2)如果两个平面垂直，那么从一个平面内一点作另一个平面的垂线必
19、在第一个平面内。五. 空间向量.1. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.令=(a1,a2,a3),，则 (用到常用的向量模与向量之间的转化：)空间两点的距离公式：.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量. （3）用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.证直线和平面平行定理：已知直线平面，且CDE三点不共线，则a的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.