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1、密度泛函理论及其应用一、密度泛函理论（Density Functional Theory：DFT）VASP的理论基础是电荷密度泛函理论在局域电荷密度近似（LDA）或是广义梯度近似（GGA）的版本。DFT所描述的电子气体交互作用被认为是对大部分的状况都是够精确的，并且它是唯一能实际有效分析周期性系统的理论方法。1.1 单电子薛定谔方程式一个稳定态（与时间无关）的单一粒子薛定谔方程式可表示为一个本征值问题（暂略动能项的 ）： （1） （2）多体量子系统 （如双电子的薛定谔方程式）： （3）在普遍的状况下，里的是无法分离变量的，因此，即便简单如双电子的薛定谔方程式就己经没有解析解了。而任何的计算材料
2、的量子力学问题，都需要处理大量数目的电子。 1.2 Hohenberg-Kohn定理量子力学作为20世纪最伟大的发现之一，是整个现代物理学的基石。量子力学最流行的表述形式是薛定谔的波动力学形式，它的核心是波函数及其运动方程薛定谔方程。对一个给定的系统，我们可能得到的所有信息都包含在系统的波函数当中。对一个外势场v(r)中的N电子体系，量子力学的波动力学范式可以表示成：v(r) (r1; r2; ; rN) 可观测量 （4）即，对给定的外势，将其代入薛定谔方程可以得到电子波函数，进一步通过波函数计算力学量算符的期望值可以得到所有可观测量的值。电荷密度是这些可观测量中的一个： （5）如前所述，任何
3、的计算材料的量子力学问题，都需要处理大量数目的电子。而，对于超过两个电子以上的体系，薛定谔方程就已经难以严格求解了。对于实际物质的这样一种每立方米中有数量级的原子核和电子的多粒子系统，我们是更不可能由薛定谔方程来严格求解其体系的电子结构的。但，建立于Hohenberg-Kohn定理上的密度泛函理论不但给出了将多电子问题简化为单电子问题的理论基础，同时也成为分子和固体的电子结构和总能量计算的有力工具。因此，密度泛函理论是多粒子系统理论基态研究的重要方法。 密度泛函理论的基本想法是原子、分子和固体的基态物理性质可以用粒子密度函数来描述，这源于H.Thomas和E费米1927年的工作。密度泛函理论基
4、础是建立在P.Hohenberg和W.Kohn的关于非均匀电子气理论基础上的，它可归结为两个基本定理： 定理一：不计自旋的全同费米子系统的基态能量是粒子数密度函数的唯一泛函。它的推论是，任何一个多电子体系的基态总能量都是电荷密度的唯一泛函，唯一确定了体系的（非简并）基态性质。由于电荷密度与电子数直接联系:,这样决定多电子薛定谔方程解的电子数和外势场都由电荷密度唯一确定，因此基态波函数以及其它的电子结构性质都由电荷密度唯一确定。由于决定了哈密顿量，多电子体系的基态是的唯一泛函，自然动能和库仑能也是的泛函，那么体系的所有性质也将是基态密度的泛函。于是定义一个普适泛函，有： （6） 适用于任何外场下
5、的具有任意电子数的体系。所以系统基态的能量可表示为泛函的形式： （7）这里:（8）非经典项 （9） （10）其中是经典电子排斥能。非经典项是一个难以理解而又非常重要的量，它是交换-关联能的主要来源。定理二：能量泛函在粒子数不变条件下对正确的粒子数密度函数取极小值，并等于基态能量。在电子数恒定的约束条件下：，按照Hohenberg-Kohn第二定理，基态能量满足如下条件：，即 （11）因而只要知道和的泛函形式，就可以通过上式来求解电子结构。 利用上述性质，我们会想利用各种方法猜测并代入 EG.S. 求值，只要一直试到产生最低的能量，则该能量保证是基态的总能，且该电荷分布保证是基态的电荷密度分布。
6、Hohenberg-Kohn的密度泛函理论（DFT）只有对基态才是严格成立的。但，即使只是获得基态，都已经足以预测很多性质了。例如，分子的键长，振动频率，固体的晶胞边长、弹性系数张量，甚至是化学键的断裂或是生成，对电子而言都是基态的性质。因此，能预测系统的基态是非常有用的。 1.3 Kohn-Sham方程有了上述两个定理，剩下的问题就是能量泛函的具体表述形式。Kohn等人引进了一个与相互作用多电子体系有相同电子密度的假想的非相互作用多电子体系。因为电子密度一般可以表示成轨道形式，这个假想的非相互作用体系的动能算符期望值可以非常简单的写成各电子动能的和。 （12） 其中是密度函数对应的Khon-
7、Sham(KS)轨道。将的主要部分写成： （13）至此，我们得到一个很自然的关于能量泛函中未知项（交换相关泛函）的定义： （14）将能量泛函对KS轨道进行变分可以得到著名的KS方程： （15）其中、分别是外势、Hartree势和交换相关势。在KS方程中，有效势由电子密度决定，而电子密度又由方程的本征函数KS轨道求得所以我们需要自洽求解KS方程。这种自洽求解过程通常被称为自洽场（SCF）方法当我们得到一个自洽收敛的电荷密度后，我们就可以得到系统的总能 （16）其中是KS方程的本征值。Kohn-Sam能量泛函使我们有可能通过近似方法来描述与电子密度有关的交换关联能。而密度泛函理论的发展就是以寻找合
8、适的交换相关泛函近似形式为主线的。人们发展了局域密度近似（LDA）、局域自旋密度近似（LSDA）、广义梯度近似、X3LYP等等，并取得了很好的结果。 1.4 赝势 赝势是一个用来模拟离子实对价电子作用的有效势。其物理本质在于价态芯态正交条件对价态的贡献等效于一个排斥势，它与芯区的势对价电子的强烈吸引相互抵消，使得构造一个相对平缓的有效赝势成为可能。赝势方法的发展经历了从经验赝势、模守恒赝势到超软赝势的几个阶段。图 10 VASP中使用的是超软赝势与缀加平面波势。 使用赝势可以帮助我们方便的处理电子-离子间的交互作用。那么，赝势是如何产生的呢？ 如图10示，实线分别是真实位势与 All-elec
9、tron 价电子波函数，我们要取距原子中心处为划分点，以上波函数完全一样保留，而以内则对波函数加以改造。主要是要把振荡剧烈的波函数改造为一种变化缓慢的波函数，而它须要是没有节点的，如虚线的所示。少了剧烈振荡不但允许只以相对很少的平面波来展开波函数，没有节点的（径向）波函数也意味着没有比它本征值更低的量子态来与它正交。求解内层电子的需要就自动消失了。 我们问什么样的一个假的位势能够在同样的本征值的情况下给出这样的价电子近似解，我们把它叫做是赝势。（由于for ，故for ） 。 当原子位势具有球对称性（即），薛定谔方程式可被分离变数，原子轨域则可写成径向波函数与球谐函数的乘积，其中径向波函数 及
10、原子轨域的本征值可从下式（本征值问题）解得： （17）解得及后，选取，改造为，并问在什么样的赝势之下，原式能重现本征值及，也就是说满足下式： （18）注意上式不再是解分方程的问题，未知函数并未带有导数符号，只需要移项就可以得到。移项的过程中有除以，但它没有节点所以处处不为零，写在分母没有问题。 19）再略为整理一下，得下式（注意等号右边的量全部都己知，因此赝势完全可以定出）： （20）1.5 周期性边界条件与Bloch定理与时间无关的薛定谔方程式可写成： （21）当位势具有周期性时，如每平移向量时位势不变 （22）则Bloch定理告许我们，原薛定谔方程式的解一定满足以下的较单形式： （23）这
11、个是新出现的参数，不同就导致不同的解，因此应完整定义成： （24）其中是周期函数： （25）这个定理之所以重要，是因为它告诉我们对于周期性的体系，人们仅需对一个晶胞（晶胞向量范围内的原子与离子）进行计算。1.6 超原胞对于本身即具有周期性的体系，我们处理是很方便的。然而面对大量实际中的非周期性系统时，我们就需采取超原胞的方法，选择足够大的晶胞，使得被仿真的独立对象与其它超原胞内的周期性影像隔到足够开，而不致于相互影响产生非物理的结果。这里，超原胞所具有的晶胞向量就是上节所值的平移周期,如图： 图 11如此，我们只须要解super-cell波函数 中的部分即可。由于是周期性函数，可以很方便地以富
12、利叶级数展开： （26）只需要少数的几个基底函数，就能把原函数的特征重现得不错（若是要精确一点，则可以增加展开使用的基底函数数目。上式的 就是平面波基底函数）一般而言，平面波基底数目的需求端视仿真对象里们赝势来决定。二、密度泛函理论的应用我们基于密度泛函理论的Castep软件对金刚石的能带和态密度进行了计算，并对其电子性质进行了相应的分析。2.1 计算模型金刚石的原胞图2.2 计算参数的选取计算参数采用了，k点积分6*6*6，平面波截断动能为400eV,总能收敛标准为eV，力收敛标准为eV/，交换关联势采用广义梯度近似（GGA-PBE势）。 2.3 电子结构分析 这里，对电子结构的分析，我们是
13、从能带与态密度来考察的。对于能带结构的分析，我们可以从价带顶与导带底的相对位置得出其为直接带隙或为间接带隙的信息。当价带顶与导带底出现在同一K点时，其为直接带隙；当价带顶与导带底不在同一K点时，其为间接带隙。另外，从价带顶与导带底能级间带隙大小可以知道其为何种电导性质。如果能隙很小或为0,则固体为金属材料，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电；而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。能带结构图E(k)是单粒子波
14、函数的能量本征值E与其波向量k的关系，能带线条上的每一个点都代表着一个量子态。有时候我们对于E如何随着k作三度空间的变化並不敢兴趣，并且很多时候能带结构图都比较复杂不便于分析，而我们常常又只关心整个材料的电子在哪个能量的范围较多、哪些较少、甚至哪些能量值不会有量子态出现，则把k积分掉的能量态密度（energy density of states），或常直接被称作是态密度，恰可以符合我们的需求。通过态密度我们能更为清晰的获知研究对象的电导性质。费米能级处态密度为零时表示其呈现半导体性质，大于零则呈现金属性质。费米能级处态密度越大，则金属性越强。金刚石的能带和态密度图分析能带图和态密度图可以得出，金刚石晶体的带隙为4.8ev，态密度图明显的显示在费米能级处态密度为零，所以属于宽禁带半导体；由于价带顶和导带底不在同直线上，故属于间接带隙。 课程设计本组成员： 翟学超 杜金波 肖俊杰 指导老师： 肖化平