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1、1,1,第三章:多元回归分析,2,2,本章主要内容, 3.1 K变量线性回归模型 3.2 参数的估计和统计性质 3.3 样本决定系数与偏相关系数 3.4 回归系数和回归方程的显著性检验 3.5 预测,3,3.1 多元线性回归模型,一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定 三、偏回归系数的含义,4,一、多元线性回归模型,多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。 一般表现形式：,其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数（regression coefficient）。 习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样： 模型中解释变量的数目为（k
2、+1）,5,随机表达形式: 非随机表达式:,方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。 j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化; 或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。,1. 总体回归函数,6,多元线性回归函数的矩阵表示,总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X2 Xk 的值时，Y的期望值：E ( Y | X2，X3，Xk )。 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式（n个方程，k+1个参数构成）：,7,矩阵X的每一列表示一个解释变量的n个观测值向量，截距项对应的观测值为1。,8,2.样本回归函数：
3、用来估计总体回归函数,其随机表示式:,ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。 样本回归函数的矩阵表达:,或,其中：,9,二、多元线性回归模型的基本假定,假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。,10,二、多元线性回归模型的基本假定,假设2，随机误差项具有零均值、同方差及序列不相关性,11,二、多元线性回归模型的基本假定,假设3，解释变量与随机项不相关,将X 对Y的影响和随机项的影响区分开,12,12,假设4，随机项满足正态分布,13,13,古典假定5,假定5：无多重共线性，即假定各解释变量 之间不存在线性关系,
4、14,14,古典假定 6,假定6： 模型设定没有偏误 所有上述都是建立在假设6的基础上，即回归模型的设定是正确的。,15,三、偏回归系数的含义,j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;,16,Y,X3,= 3,度量了在保持 X2 不变的条件下， X3 改变一个单位Y的平均改变量。,Y,X2,= 2,度量了在保持X3 不变的条件下， X2 改变一个单位Y的平均改变量。,二、偏回归系数的含义,j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;在其他变量不变的情况下，Xj 对Y均值的
5、直接或净影响。,17,3.2 多元线性回归模型的估计,估计方法：OLS,一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、回归方程的数学性质 四、随机误差项的估计量 五、样本容量问题,18, 的最小二乘估计,19,(一)OLS估计量 （1）,样本回归函数：,OLS就是要选择未知参数，使得残差(RSS)平方和最小，即,min. RSS = min. = min.,一、普通最小二乘估计,20,对未知参数求微分,(一)OLS估计量（2）,21,(一)OLS估计量（3）,22,解正规方程组得,(一)OLS估计量（4）,23,关于待估参数估计值的正规方程组可以推广为：,24,二、样本回归方程的特性1,25
6、,二、样本回归方程的特性2,26,二、样本回归方程的特性3,27,4.残差的均值等于0，即,5.残差和诸Xs不相关，即,28,三、参数估计量的性质,在满足基本假设的情况下，其结构参数的普通最小二乘估计仍具有： 线性性、无偏性、有效性。,同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性。,29,四、2的估计,30,随机误差项的方差的无偏估计,随机误差项的方差的无偏估计量， 可以写为：（K为解释变量的个数）,简单的算法：,31,OLS估计量的方差和标准误差,32,五、样本容量问题,所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所
7、要求的样本容量的下限。, 最小样本容量,样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即 n k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1,33,2、满足基本要求的样本容量,从统计检验的角度： n-k8时, t分布较为稳定,一般经验认为: 当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。,模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明,34,实例,例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。,解释变量：人均GDP：GDPP 前期消费：CONSP(-1),估计区间：19792000年,35,Eviews软件估计结果,