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1、 1.2 有理数内容简介1有理数是人教版义务教育教科书七年级数学第一章第二节2本节在对学过的数实行分类的基础上给出有理数的概念通过描述位置的问题引出数轴然后借助数轴介绍相反数、绝对值的概念，以及有理数比较大小的方法教学目标1理解有理数的意义，并能将给出的有理数实行分类2了解数轴的概念和数轴的画法，掌握数轴的三要素3能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小4借助数轴理解相反数的意义，掌握求有理数的相反数的方法5借助数轴理解绝对值的意义，能求一个数的绝对值6在会利用数轴比较两个有理数大小的基础上，学会利用绝对值比较两个负数的大小7知道|a|的含义(这里a表示有理数)8通过本节的学习，使学生初步
2、体会数形结合、分类讨论的数学思想和对立统一的辩证思想教学重点1有理数的分类2准确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数，并会比较有理数的大小3绝对值概念教学难点1准确理解有理数与数轴上点的对应关系2绝对值概念教学时数4课时第1课时教学内容1.2.1 有理数教学目标1理解有理数的意义，并能将给出的有理数实行分类2初步向学生渗透分类讨论的思想3通过本节课的教学，渗透对立统一的辩证思想教学重点准确理解分类的标准和按照一定的标准实行分类教学难点准确理解有理数的概念教学过程一、引入新课在前两个学段，我们已经学习了很多不同类型的数，通过上两节课的学习，又知道了现在的数包括了负数，现在请同学们在草稿纸上任意写
3、出3个不同类型的数（同时请3个同学在黑板上写出）分类是数学中解决问题的常用手段，这个引入具有开放的特点，能够激发学生的参与意愿二、探索新知问题1：观察黑板上的9个数，并给它们实行分类学生思考讨论和交流分类的情况学生自己尝试分类时，可能会只给出很粗略的分类，如只分为“正数”和“负数”或“零”三类，此时，教师应给予引导和鼓励，划分数的类型要从文字所表示的意义上去引导，这样学生易于理解例如，对于数5，可这样问：5和5.1有相同的类型吗？5能够表示5个人，而5.1能够表示人数吗？(不能够)所以它们是不同类型的数，数5是正数中整个的数，我们就称它为“正整数”，而5.1不是整个的数，称为“正分数”(因为小
4、数可化为分数，以后把小数和分数都称为分数)在教师的引导和鼓励下，通过教学过程中的持续完善 学生自己最后对所学知识实行概括，归纳出我们已经学过的5类不同的数，它们分别是“正整数、零、负整数、正分数、负分数”，从而得出“整数”、“分数”和“有理数”的概念正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数整数和分数统称为有理数试一试：按照以上的分类，你能画出一张有理数的分类表吗？你能说出以上有理数的分类是以什么为标准的吗？(是按照整数和分数来划分的)练一练1任意写出三个有理数，并说出是什么类型的数，与同伴实行交流2教科书第6页练习此练习中出现了集合的概念，可向学生作如下的说明把一些数放在一起，就
5、组成了一个数的集合，简称“数集”，所有有理数组成的数集叫做有理数集类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有负数组成的数集叫做负数集；数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的，而本题中只填了所给的几个数，所以应该加上省略号思考：上面练习中的四个集合合并在一起就是全体有理数的集合吗？三、创新探究问题2：有理数可分为正数和负数两大类，对吗？为什么？教学时，要让学生总结已经学过的数，鼓励学生概括，通过交流和讨论，教师作适当的指导，逐步得到如下的分类表有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数这个分类可视学生的水准确定是否有必要教学应使学生了解分类的标准不一样时，分类的结果也是不同的，所以分类
6、的标准要明确，使分类后每一个参加分类的项属于其中的某一类而只能属于这个类，教学中教师可举出通俗易懂的例子作些说明，能够按年龄，也能够按性别、地域来分等如有理数的分类也能够按照下表来划分有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数四、小结到现在为止我们学过的数都是有理数(圆周率除外)，有理数能够按不同的标准实行分类，标准不同，分类的结果也不同五、作业1必做题：教科书第14页习题1.2第1题2教师自行准备题本课评析1本课在引入了负数后对所学过的数按照一定的标准实行分类，提出了有理数的概念分类是数学中解决问题的常用手段，通过本节课的学习使学生了解分类的思想并进行简单的分类是数学能力的体现，教师在
7、教学中应引起足够的重视关于分类标准与分类结果的关系，分类标准的确定可向学生作适当的渗透，集合的概念比较抽象，学生真正接受需要很长的过程，本课不要过多展开2本课具有开放性的特点，给学生提供了较大的思维空间，能促进学生积极主动地参加学习，亲自体验知识的形成过程，可避免直接进行分类所带来的枯燥性；同时还体现合作学习、交流、探究提高的特点，对学生分类能力的养成有很好的作用3两种分类方法，应以第一种方法为主，第二种方法可视学生的情况进行第2课时教学内容1.2.2 数轴教学目标1掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系2会正确地画出数轴，会用数轴上的点表示给定的有理数，会根据数轴上的点读出所表示的
8、有理数3感受在特定的条件下数与形是可以相互转化的，体验生活中的数学教学难点数轴的概念和用数轴上的点表示有理数教学重点数轴的概念和用数轴上的点表示有理数教学过程一、设置情境 引入课题教师通过实例、课件演示得到温度计读数问题1：温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？请你尝试读出图中三个温度计所表示的温度？(多媒体出示3幅图，三个温度分别为零上、零度和零下)问题2：在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境(小组讨论，交流合作，动手操作)二、合作交流
9、 探究新知明晰：画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线上任取一个点O表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度（线段OA的长）代表1 m长于是，在点O右边，与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C，分别表示柳树和杨树的位置；点O左边，与点O距离3个和4.8个单位长度的点D和点E，分别表示槐树和电线杆的位置教师：由上述两问题我们得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗？让学生在讨论的基础上动手操作，在操作的基础上归纳出可以表示有理数的直线必须满足的条件，从而得出数轴的三要素：原点、正方向、单位长度在数学中可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求： （1）在
10、直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（2）通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似方法依次表示1，2，3，做游戏：教师准备一根绳子，请8个同学走上来，把位置调整为等距离，规定第4个同学为原点，由西向东为正方向，每个同学都有一个整数编号，请大家记住，现在请第一排的同学依次发出口令，口令为数字时，该数对应的同学要回答“到”；口令为该同学的名字时，该同学要报出他对应的“数字”，如果规定第3个同学为原点，游戏还能进行吗？三、寻找规律 归纳结论问题3：你能举
11、出一些在现实生活中用直线表示数的实际例子吗？问题4：如果给你一些数，你能相应地在数轴上找出它们的准确位置吗？如果给你数轴上的点，你能读出它所表示的数吗？哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你会发现什么规律？每个数到原点的距离是多少？由此你会发现了什么规律？(小组讨论，交流归纳)归纳出一般结论：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右(或上)边，与原点的距离是a个单位长度；表示数a的点在原点的左(或下)边，与原点的距离是a个单位长度四、课堂练习教科书第9页练习五、小结请学生总结：数轴的三个要素；数轴的画法以及数与点的转化方法六、作业1必做题：教科书第14页习题1.2第2
12、题2选做题：教师自行安排本课评析1数轴是数形转化、结合的重要媒介，情境设计的原型来源于生活实际，学生易于体验和接受，让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，也体现出了从感性认识，到理性认识，到抽象概括的认识规律2教学过程突出了情境到抽象到概括的主线，教学方法体了特殊到一般，数形结合的数学思想方法3注意从学生的知识经验出发，充分发挥学生的主体意识，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂上感悟知识的生成、发展与变化，培养学生自主探索的学习方法第3课时教学内容1.2.3 相反数教学目标1掌握相反数的概念，进一步理解数轴上的点
13、与数的对应关系2通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力3体验数形结合的思想教学难点归纳相反数在数轴上表示的点的特征教学重点相反数的概念教学过程一、设置情境 引入课题问题1：请将下列4个数分成两类，并说出为什么要这样分类5，2，5，2允许学生有不同的分法，只要能说出道理，都要难予鼓励，但教师要做适当的引导，逐渐得出5和5，2和2分别归类是具有较特征的分法(引导学生观察与原点的距离)利用数轴我们很明显地发现：5和5分别在原点的两边，并且距离原点都是5个单位长度；2和2也分别在原点的两边，距离原点都是2个单位长度可以5和5一组，2和2一组再换2个类似的数试一试归纳：一般地，设a是一个正
14、数，数轴上与原点的距离等于a的点有两个，它们分别在原点左右，表示a和a，我们说这两点关于原点对称二、深化主题 提炼定义给出相反数的定义：像2和2，5和5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数这就是说，2的相反数是2，2的相反数是2；5的相反数是5，5的相反数是5问题2：你怎样理解相反数定义中的“只有符号不同”和“互为”一词的含义？零的相反数是什么？为什么？学生思考讨论交流，教师归纳总结规律：一般地，a和a互为相反数特别地，0的相反数是0这里，a 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0，例如：当a1时，a1，1的相反数是1；同时，1的相反数是1思考：数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关
15、系？练一练：教科书第10页练习第1题三、给出规律 解决问题问题3：(5)和(5)分别表示什么意思？你能化简它们吗？学生交流，得出结论：分别表示5和5的相反数是5和5规律：在正数前面添上“”号，就得到这个正数的相反数在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数 练一练：教科书第10页练习第2题四、小结1相反数的定义2互为相反数的数在数轴上表示的点的特征3怎样求一个数的相反数？怎样表示一个数的相反数？五、作业1必做题 教科书第14页习题1.2第3，4题2选做题 教师自行安排题本课评析1相反数的概念使有理数的各个运算法则容易表述，也揭示了两个特殊数的特征这两个特殊数在数量上具有相同的绝对值，
16、它们的和为零，在数轴上表示时，离开原点的距离相等等性质均有广泛的应用所以本教学设计围绕数量和几何意义展开，渗透数形结合的思想2教学引入以开放式的问题入手，培养学生的分类和发散思维的能力；把数在数轴上表示出来并观察它们的特征，在复习数轴知识的同时，渗透了数形结合的数学方法，数与形的相互转化也能加深对相反数概念的理解；问题2能帮助学生准确把握相反数的概念；问题3实际上给出了求一个数的相反数的方法3本教学设计体现了新课标的教学理念，学生在教师的引导下进行自主学习，自主探究，观察归纳，重视学生的思维过程，并给学生留有发挥的余地第4课时教学内容1.2.4 绝对值教学目标1掌握绝对值的概念，有理数大小比较
17、法则2学会绝对值的计算，会比较两个或多个有理数的大小3体验数学的概念、法则来自于实际生活，渗透数形结合和分类思想教学难点两个负数大小的比较教学重点绝对值的概念教学过程一、设置情境 引入课题星期天黄老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行10千米，到朱家角，下午她又向西行20千米，回到家中(学校、朱家角、家在同一直线上)，如果规定向东为正，用有理数表示黄老师两次所行的路程；如果汽车每公里耗油0.15升，计算这天汽车共耗油多少升？学生思考后，教师作如下说明：实际生活中有些问题只关注量的具体值，而与相反意义无关，即正负性无关，如汽车的耗油量我们只关心汽车行驶的距离和汽油的价格，而与行驶的方向无关观察并
18、思考：画一条数轴，原点表示学校，在数轴上画出表示朱家角和黄老师家的点，观察图形，说出朱家角、黄老师家与学校的距离学生回答后，教师说明如下：数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关，而与它所表示的数的正负性无关概括：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| 例如，上面的问题中，在数轴上朱家角、黄老师家两点分别表示为10和10朱家角、黄老师家与学校的距离都是10千米所以10和10的绝对值都是10，即|10|10，|10|10，显然，|0|0二、合作交流 探究规律例 求下列各数的绝对值，并归纳求有理数a的绝对值有什么规律？3，5，0，58，0.6 要求小组讨
19、论，合作学习教师引导学生结合上面的问题，利用绝对值的意义先求出答案，然后观察原数与它的绝对值这两个数据的特征，并结合相反数的意义，最后总结得出求绝对值法则由绝对值的定义可知： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即 (1)如果a0，那么|a|a； (2)如果a0，那么|a|0； (3)如果a0，那么|a|a巩固练习：教科书第11页练习其中第1题按法则直接写出答案，是求绝对值的基本训练；第2题是对相反数和绝对值概念进行辨别，对学生的分析、判断能力有较高要求，要注意思考的周密性，要让学生体会出不同说法之间的区别三、结合实际 发现新知引导学生看教科书第12页的图1.
20、2-7，并回答相关问题：图中给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗？应怎样比较两个数的大小呢？学生交流后，教师总结：这七天中每天的最低气温按从低到高排列为 4，3，2，1，0，1，2按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的，按照这个顺序把这些数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的数学上规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数由这个规定可知 65，54，43，20，11，在上面的这些数中，选两个数比较，再选两个数试试，通过比较，归纳得出有
21、理数大小比较法则：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小四、课堂练习1例 比较下列各对数的大小(教科书第13页例题)比较大小的过程要紧扣法则进行，注意书写格式2练习：第13页练习五、小结1怎样求一个数的绝对值？2怎样比较有理数的大小？六、作业1必做题：教科书第14页习题1.2第5、6题2选做题：教师自行安排想象练习想象头脑中有一条数轴，其上有两个点，分别表示数100和90，体会这两个点到原点的距离(即它们的绝对值)以及这两个数的大小之间的关系要求学生在头脑中有清晰的图形本课评析1情景的创设出于如下考虑：体现数学知识与生活实际的紧密联系，让学生在这些熟悉的日常生
22、活情境中获得数学体验，不仅加深对绝对值的理解，更感受到学习绝对值概念的必要性和激发学习的兴趣教材中数的绝对值概念是根据几何意义来定义的(其本质是将数转化为形来解释，是难点)，然后通过练习归纳出求有理数的绝对值的规律，如果直接给出绝对值的概念，灌输知识的味道很浓，且太抽象，学生不易接受2一个数绝对值的法则，实际上是绝对值概念的直接应用，也体现着分类的数学思想，所以直接通过例1归纳得出，显得非常紧凑，是教学重点；从知识的发展和学生的能力培养角度来看，教师应更重视学生的自主学习和探究的过程，关注学生的思维，做好教学的组织和引导，留给学生足够的空间3有理数大小的比较法则是有理数大小规定的直接归纳，其中第(2)条学生较难理解，教学中要结合绝对值的意义和规定：“在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序”，帮助学生建立“数轴上越左边的点到原点的距离越大，所以表示的数越小”这个数形结合的模型为此设置了想象练习4本节课的内容包括绝对值的概念和数的绝对值的求法、有理数大小比较的法则，教学内容很多，学生接受起来可能会有困难，建议把有理数的大小比较移到下节课教学