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1、1,第二章 特殊三角形 综合复习,(一),2,等腰三角形的性质与判定 1.性质(1)：等腰三角形的两个底角相等。(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。等边三角形: 1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 , 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。,(一),3,以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC 作ADBC于D，必有结论:1=2，BD=DC 若BD=DC，连结AD，必有结论：1=2，ADBC 作AD平分BAC必有结论：ADBC，BD=DC 作辅助线
2、时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=2.,4,分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程,已知：线段a、h 求作：ABC，使AB=AC=a，高AD=h 作法： 1、作PQMN，垂足为D 2、在DM上截取DA=h 3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C 4、连结AB、AC 则ABC为所求的三角形。,例题分析,例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。,5,例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。,证明：AB=AC ABC=
3、ACB（等边对等角） BDAC于D，CEAB于E BEC=CDB=90 1+ACB=90，2+ABC=90（直角三角形两个锐角互余） 1=2（等角的余角相等） BM=CM（等角对等边）,说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。,例题分析,6,例3.已知：如图，A=90，B=15，BD=DC.请说明 AC= BD的理由.,解BD=DC，B=15 DCB=B=15（等角对等边） ADC=B+DCB=30 （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） A=90 AC= DC AC= BD,例题分析,7,例4.已知：如图，C=90，B
4、C=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：MDE是等腰三角形.,分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用BMDCME得到结果。,证明：连结CM C=90，BC=AC A=B=45 M是AB的中点 CM平分BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） MCE=MCB=BCA=45 B=MCE=MCB CM=MB（等角对等边） 在BDE和CEM中 BDMCEM（SAS） MD=ME MDE是等腰三角形,例题分析,8,例5.如图，在等边ABC中，AF=BD=CE，请说明DEF也是等边三角形的理由.,解：ABC是等边三角形 AC=BC，A=C
5、 CE=BD BCBC=ACCE CD=AE 在AEF和CDE中 AEFCDE（SAS） EF=DE 同理可证EF=DF EF=DE=DF DEF是等边三角形,说明：证明等边三角形有三种思路： 证明三边相等证明三角相等证明三角形是有一个角为60的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求解。,例题分析,9,例7. 如图2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQAD于Q. 请说明BP=2PQ的理由.,思路 在RtBPQ中，本题的结论等价于证明PBQ=30,证明 AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD， BAEACD ABE=CAD BPQ=ABE+
6、BAP =CAD+BAP=60 又BQAD PBQ=30 BP=2PQ,说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。,例题分析,10,例8：如图、在ABC中，D，E在 直线BC上，且AB=BC=AC=CE=BD， 求EAC的度数。,探索：如图、在ABC中，D，E 在直线BC上，且AB=AC=CE=BD， DAE=100，求EAC的度数。,例题分析,11,1. 下列结论叙述正确的个数为（ ） （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2）等腰三角形两底角 的外角相等； （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴； （ 4）有一个角等于60的等腰三角形
7、是等边三角形。 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个,练习,12,2.等腰三角形顶角为36，底角为_。 3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100，则顶角度数为_。 4.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为_，底角为_。 5.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_。 6.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若A=50，EBC=_。 7.ABC中，AB=AC，ADBC于D，若ABC的周长为50，ABD的周长为40，则AD=_。 8.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_。,13,9.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边
8、画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?,150,a,14,10.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？,解：如图，令CDx，则ADx，AB2x,底边BC5,BCCD5x ABAD3x,(5+x)：3x2:1 或3x：(5+x)=2:1,x,x,2x,5,15,11、如图，D是正ABC边AC上的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，说明BD=DE的理由.,1,2,解: ABC是正三角形 ABC= ACB=600 （ ） D是AC边上的中点 1= ABC=300（ ）,CE=CD 2= E（ ） 2+ E= ACB=60
9、0（ ） E=300， 1= E BD=DE（ ）,16,12、如图，在RtABC中，ACB=900， CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CF,1,2,F,分析：,CD=CF,1=2,1=B+BAD,2=3+DAC,3=B,1=90BAD,=90CAD,ACB =90，CE是AC边上高,17,小结,1、等腰三角形的有关概念。 2、等腰三角形的识别。 3、应用等腰三角形的性质定理和三线合一性质解决有关问题。 4、通过习题，能总结代数法求几何角的大小、线段长度的方法。,18,例1.已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BD=EC,F,方法一：利
10、用全等知识,方法二：利用“三线合一”,19,例2.如图，等边ABC中，B、C的平分线交于点O ，OEAB，OFAC，求图中等腰三角形的个数。,解：有5个等腰三角形，分别是 ABC， BOC， COF， OBC OEF 。,20,例3. 已知，如图，等边ABC和等边CDE中。 求证：BE=AD,A,B,C,D,E,分析：要证明的两条线段分布在 两个不同的三角形中，考虑先 证线段所在的三角形全等， 根据等边三角形的性质，易得AC=BC，CE=CD， ACB= ECD=60 ACB- ACE= ECD- ACE BCE= ACD， 由“边角边”可证,21,将CDE绕点C逆时针旋转到如图位置，刚才的结
11、论还成立吗？,A,B,C,D,E,变形题（1）,分析：要证明BE=AD，思想方法仍是 利用“SAS”证两个三角形全等，有所 不同的是这里证角等是通过“和”， 即 ACB+BCD= ECD+BCD ACD= BCE,22,将CDE绕点C继续旋转，使B、C、D共线，刚才的结论还成立吗？,A,B,C,D,E,变形题（2）,证明：在等边ABC和等边CDE中 AC=BC，CD=CE， ACB= ECD=60 又B，C，D三点共线， ACE=60 ACD= BCE=120 在ACD和BCE中 AC=BC ACD= BCE CD=CE ACDBCE（SAS） BE=AD,分析：要证明BE=AD，思想方法仍是
12、先证两个三角形全等，这里证角等还是通过“和”,23,已知，如图，等边ABC和等边CDE中，B 、C、D共线，BC与AC交于M，AD与CE交于N。 求证：CM=CN,A,B,C,D,E,变形题（3）,M,N,分析：上题已证ACDBCE 所以， CBM= CAN， BE=AD，又因BC=AC，利用 “边角边”条件可判定 BCMCAN，结论成立。,24,已知，如图，等边ABC和等边CDE中，B 、C、D共线，BE与AC交于M，AD与CE交于N，连结MN。 求证： CMN是等边三角形,A,B,C,D,E,变形题（4）,M,N,分析：由上一题的结论已知CM=CN，根据等边三角形的判定方法，只要其中有一个
13、角为60即可， 根据条件易得 MCN为60,25,例4 、已知AB=AC，EB=EC，求证B= C,26,如图是某城市部分街道示意图，ABC和CDE都是等边三角形，A、B、C、D、E、F、G、H为公共汽车停靠站。公共汽车甲从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站。公共汽车乙从B站出发，按照B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G。如果甲、乙分别从A、B站出发，在各站耽误的时间相同，两车行驶的速度也一样，试问哪辆公共汽车先到达指定车站。,A,B,C,D,E,拓展应用,F,G,H,27,1.如图,在三角形ABC中,AB=AC, A=36,你能把ABC分成三个等腰三角形吗?(提供两中以
14、上不同的作图方案),A,B,C,28,29,区别与上一题,能否用剪刀剪一刀把一个等腰三角形分成 两个等腰三角形？若能，求出原来的等腰 三角形的顶角的度数。,30,3。已知等腰三角形ABC的底边为AB,直线L过直角顶点C. 过点A,点B分别作L的垂线为AE,BF,垂足分别为E、F。 （1）如图甲，当直线L不与底边AB相交时，求证： EF=AE+BF （2）当直线L绕点C顺时针旋转，使直线L交底边AB于点 D，且ADBD，请在图乙中画出相应的图形，写出EF，AE，BF之间的等量关系。,B,F,31,1.我们学校有一块形状是等腰三角形的花坛,其中有一个角是36 (如图),现想在花坛中种上三种不同的花
15、,且形状都是等腰三角形,请你试着分一分,在图上画出来.,请你分一分,32,33,2. 在纸上画出4个点,要求任意三个点组成的三角形都是等腰三角形,请问这四个点怎样放? 就一种情况吗? (若画5个点呢? 请在课后完成!),34,例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G请说明DG=EG的理由.,思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。,说明 本题易明显得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EFBD，交BC的延长线于F，证明DBGEFG，同学们不妨试一试。,例题分析,个人观点供参考，欢迎讨论,