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1、-用多端口波导阵列模拟量子纠缠态制备中的绝热消除过程 本科毕业论文（设计） 姓 名： 赵乐 学号： 院（系）： 数理学院 专业：物理学 指导教师： 郑安寿 评 阅 人： 职称：副教授 职称：2015年6月 本科生毕业论文（设计）原创性声明 本人以信誉声明：所呈交的毕业论文（设计）是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，论文中引用他人的文献、数据、图件、资料均已明确标注出，论文中的结论和结果为本人独立完成，不包含他人成果及为获得中国地质大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 毕业论文作者（签字）： 签字
2、日期： 年 月 日 摘 要 量子纠缠是量子力学中最基本的概念之一。自从量子纠缠的概念被爱因斯坦和薛定谔等人提出来以后，量子纠缠现象吸引了大量的物理学家和数学家沉迷其中，并成为物理学中长期引人痴迷的研究领域之一。近一个世纪以来，量子理论取得了巨大成功，近年来又衍生了量子信息论和量子控制理论。而量子纠缠态在量子信息领域扮演着极其重要的角色，并已经作为一种重要的量子资源被广泛应用到量子通讯领域中。它的重要性不仅在于提供了一种有效的工具以反驳局域隐变量理论，而且在量子信息过程中有许多重要的应用，如量子隐形传态，量子密钥分配，量子计算等领域。因此，对于量子纠缠的定性和定量以及各种量子纠缠态的制备的研究是
3、一个非常有意义的工作。?1，2?在过去的一二十年中，人们投入了大量的工作致力于量子纠缠的制备工作。而在量子纠缠制备过程中，在大失谐的条件下，一个?型三能级系统的激发态可以被绝热消除，这样可以有效抑制激发态的自发辐射引起的退相干过程，该技术广泛的应用于量子信息过程中。而光波导阵列作为一种新型的物理平台，可以通过调节光波导阵列的结构参数，调控光束在其中的传输行为。由于光波的近轴演化方程与Schrodinger方程具有相同的形式，所以可以通过研究光在波导阵列中的传播行为直观的研究量子力学的一些基本效应。近年来诸多量子现象已经在波导阵列中模拟出来，如Bloch震荡、Anderson局域化、量子Zeno
4、效应等。本文就是通过研究光子在波导阵列中的传播行为模拟绝热消除过程。本文从理论上验证了光子在波导阵列中的传播行为与绝热消除理论的相似性。并用MATLAB模拟了光子在波导阵列中的演化行为。 关键词：量子纠缠； 绝热消除； 波导阵列； 模拟； I ABSTRACT Entanglement is one of the most fundamental concepts in the quantum mechanics.Since the concept of quantum entanglement have been proposed by Einstein and Schrodinger, q
5、uantum entanglement phenomenon have attracted a large number of physicists and mathematicians obsessed in it, and becomes one of the most remarkable fields in physics for a long time.For nearly a century, quantum theory has made a great success and in recent years has evolved quantum information the
6、ory and quantum control theory.The quantum entanglement a very important position in quantum information occupies, and has been used as an important quantum resources are widely applied to the field of quantum communication.Entanglement has been found to be important not only for providing a useful
7、tool to disprove local hidden variable theories,but also for its potential applications in many quantum computers,such as quantum teleportation, quantum key distribution, quantum computing,etc.Thus, for the preparation of quantum entanglement and various qualitative and quantitative study of quantum
8、 entanglement is a very meaningful work. In the past decade or two, people put a lot of work dedicated to the work of making quantum entanglement.Quantum entanglement in the manufacturing process, in large detuning conditions, a type of three-level system excited state can be adiabatic eliminated, w
9、hich can effectively suppress decoherence caused by spontaneous emission of the excited state, the technology is widely used in quantum information process.The optical waveguide array as a new physical platform, structural parameters can be adjusted in the optical waveguide array, so that we can reg
10、ulate beam propagation behavior in them.Because wave paraxial evolution equation and Schrodinger equation has the same form,so some of the1basic effects in the quantum mechanics can be intuitive studyed throught the study of light propagation behavior in the waveguide array. In recent years, many qu
11、antum phenomenon has been II simulated in the waveguide array, such as Bloch shock, Anderson localization, quantum Zeno effect and so on. This paper is to study the adiabatic elimination process simulation photon propagation behavior in the waveguide array. From theory to verify the similarity of ph
12、oton propagation in the waveguide array behavior and adiabatic elimination of theory. And use MATLAB to simulate the evolutionary behavior of photons in the waveguide array. Key Words: Quantum entanglement; adiabatic eliminated; waveguide array; simulation; III 目 录 第一章 绪言 . 1 1.1 绝热消除过程概述 . 1 1.1.1
13、大失谐条件下的绝热消除 . 1 1.1.2 三能级系统与一经典场和量子场相互作用 . 1 1.2 本课题研究的意义和主要内容 . 4 第二章 光在一维波导阵列中的传输特性 . 5 2.1 光在一维波导阵列中的传输特性介绍 . 5 2.2 光波导阵列与三能级系统的对应 . 6 第三章 实验预期结果 . 9 3.1 绝热消除前解析解 . 9 3.2 绝热消除后解析解 . 12 3.3 改变耦合强度解析解.13 第四章结论与展望 . 15 4.1 全文总结 . 15 4.2 进一步工作的展望 . 16 致 谢 . 17 参考文献. 18 IV 第一章 绪言 1.1 绝热消除过程概述 1.1.1 大失
14、谐条件下的绝热消除 在大失谐条件下，一个型三能级激发态可以被绝热消除3，这样可以有效的抑制激发态自发辐射所引起的退相干过程，将三能级模型简化为两能级，从而下部原子能级彼此耦合，结合成一个三能级原子系统，成为高度纠缠，这个纠缠当光子数变大也可以持续，即我们产生了一个古典系统。该技术被广泛的应用于量子信息过程中。所以我们先来探讨一下绝热消除过程，对绝热消除过程理论做简单的介绍4。 1.1.2 三能级系统与两经典场相互作用 图1-1 型三能级系统与两个经典场相互作用模型。 我们考虑一个型三能级系统与两个光场相互作用。三能级分别为两个基态和3，一个激发态2。能级跃迁?2由经典场驱动，相应的耦合系数为
15、k 12 ；而跃迁 3?2由经典场驱动，相应的耦合系数为k23。如图2-1所示。在这里?（i=1,2,3） i 表示三个能级对应的能量，且取?=1.在偶极和旋波近似下，该系统的哈密顿量在薛定谔绘景下可以写为： 其中， H?H?H s int （1-1） H 表示三能级系统和量子场的自由哈密顿量， H int 为三能级系统与场相互 作用哈密顿量。具体表达式为： H ? 1 ? 11 ? 2 ? 22 ? 3 ? 33 （1-2） HH 其中?为 I int ?k12(?12?21)?k23(?23?32) （1-3） 再经过幺正变换得到在相互作用绘景下系统的哈密顿量： ?k12(?12?21)?
16、k23(?23?32) （1-4） ?-? 2 1 。与系统的哈密顿量（1-4）对应，该系统能量守恒的一个自由子空间 基矢为，该子空间中的任一态矢量可以用三个基矢展开为： ?d1?d2?d3 （1-5） 在上式中，xy中的x=1,2,3表示三个能级，y=0,1表示光子数。不失一般性，选择 k 12 和 k23为实数。由薛定谔方程i ?t ? ?HI?可以得出几率幅方程为： id1?k12d2 （1-6） id2?d2?k12d1?k23d3 （1-7） ? ? id3?k23d2 （1-8） 为了简单起见，当?>>可以写为： ? ? d 2 ， kk 12, 23 时，在方程（1-
17、7）中可以选择 d 2 ?0，所以（1-7） id 再将（1-9）中的 2 ?(12d1?23d3) （1-9） ? d 2 带入微分方程（1-6）和（1-8）中，可得： id1?(? ? 2 d 1 ?1223d3) （1-10） ? id3?(1223d1? ? ? 2 d) （1-11） 3 上面运动方程与两能级几率幅方程类似，对应的系统有效哈密顿量可以写为： H? 2 ?1? ? 2 ? 12 23 3 13 （1-12） 式中的第一，二项为经典场诱导的能级移动。前两项对应的能级平移可以通过施加额外的激光场来补偿，所以为了方便起见可以忽略不考虑。因此该系统的有效哈密顿量可以进一步简化为
18、： H?1223?13 （1-13） ? 最终的系统哈密顿量中激发态在大失谐的条件下被绝热消除了，系统简化为一个类似的两能级系统。下图为绝热消除后的图像： 图1-2 绝热消除后型三能级系统与两个经典场相互用模型 由此可见原子由一个基态跃迁到另一个基态，从而跳过了激发态。 1.2本课题研究的意义和主要内容 由于光波的近轴演化方程与Schrodinger方程具有相同的形式，所以可以通过光在波导阵列中的传播行为直观的研究量子力学的一些基本效应。近年来诸多量子现象已经在波导阵列中模拟出来，如Bloch震荡、Anderson局域化、量子Zeno效应等。本文就是通过研究光子在波导阵列中的传播行为模拟绝热消
19、除过程。本文从理论上验证了光子在波导阵列中的传播行为与绝热消除理论的相似性。并用MATLAB模拟了光子在波导阵列中的演化行为。其主要内容可分为以下几个部分： 第二章：介绍并分析光波导阵列能够模拟量子纠缠制备过程中的绝热消除过程的可能性。并分析光波导阵列与三能级系统的对应。 第三章：用MATLAb做出光在波导中传输的几率幅方程的解析解与数值解，并分析图像，从理论上证明了光波导阵列能够模拟量子纠缠制备过程中的绝热消除过程的可能性。 第四章：总结本文的基本工作，然后结合现有的研究基础，提出对未来工作的展望。 第二章 光在一维波导阵列中的传输特性 2.1 光在一维波导阵列中的传输特性介绍 在一般情况下
20、，单个光子传播通过一维（1D）平面光子晶格所述的量子动力学是由一组海森堡方程描述的模态运算符创造的，这个运算符是i dA?/d=MA?，其中，表示归一化的传播距离， =k0z（Z是实际的传播距离， ?5-8?k0是一个特性耦合强度），如图2-1，为一个典型的波导阵列。 图2-1 相同波导的平面1D波导阵列，是归一化的传播距离，和单位 系数。 km,n表示波导m和n之间的耦合 A? = a?(),a12?(),a?(3), . . . ,aN? ()T ,M表示耦合矩阵，它是对称的和对角 对称的。若| M - N |?1，则(M)m,n?km,n，否则(M)m,n?0?9-10?。纵观我们的文章
21、，我 们正在用耦合系数表示波导阵列的耦合过程。需要注意的是，由于我们所考虑相同波导，单个传播常数被从分析中省略，因为它们只是引入一个全局阶段到最终状态。显然，鉴于M为独立的（或时间无关），则输入输出状态通过演化矩阵相关： A?() = exp(?iM)A?(0). （2-1） 为了阐明我的建议，我们考虑单一光子情况下，光子传播通过波导阵列在三个相同的波导耦合系数1,2=2,3=0的情况下。其结果是，归一化的进化矩阵由下式给出 ?2? ?cos? 2? ?i U(?)?sin2? 2? 2? ?sin?2? ? ? ?sin? ?2? ?cos2?i2sin2? ? i?sin2?cos?22?
22、 ? i sin2?2 22 ? ? 图2-2归一化的进化矩阵 2.2 光波导阵列与三能级系统的对应 图2-3图中为光子入射到一维藕合波导阵列的示意图，箭头表示光子入射到某根波导上。 我们首先考虑光子在一维耦合波导阵列中的传输。示意图如图3.1所示光子在其中传播时，当只考虑最近邻波导之间的耦合，其哈密顿量可写为 ?11-15? ? H?j?N N ?a j ?j aj?kj,j?1aj?1aj?kj,j?1aj?1aj （2-2） ? ? H=?1a1?a1?2a2?a2?3a3?a3?k12(a1?a2?a2?a1)?k23(a2? a?aa?) （2-3） 3 3 2 其中 a j 和aj
23、?分别表示光子在第j根波导上的产生和湮灭算符，kj,j?1表示最近邻波 导j和j之间的藕合系数， ? j 表示第J根波导上的传播常数。由此可见，光在波导阵列 同样，将上式（2-3）由第一章的绝热消除过程得到光子在波导阵列中传输的几率幅方程，得到： id1?k12d2 （2-4） ? id2?d2?k12d1?k23d3 （2-5） id3?k23d2 （2-6） 为了简单起见，当?>>（2-5）可以写为： ? ? d ? 2 ， kk 12, 23 时，在方程（2-5）中可以选择 d ? 2 ?0，所以 id 2 ?(12d1?23d3) （2-7） ? 再将（2-7）中的带入微分
24、方程（2-4）和（1-6）中，可得： i d ? ? ?(1 ? 2 d 1223) （2-8） ?1 ?d3 ? 2 i 1223?(d3 ?d1 d) （2-9） 3 上面运动方程与两能级几率幅方程类似，对应的系统有效哈密顿量可以写为： H? 2 ? ? a?a?a?a?aa?aa? 23 12 23 12 23 1 2 1331313 ? （2-10） 式中的第一，二项为经典场诱导的能级移动。前两项对应的能级平移可以通过施加额外的激光场来补偿，所以为了方便起见可以忽略不考虑。因此该系统的有效哈密顿量可以进一步简化为： H? ?1223 ?a?a13?1223a1a3? （2-11） ?
25、最终的系统哈密顿量中激发态在大失谐的条件下被绝热消除了，系统简化为一个类似的两能级系统。 下一章我们将用MATLAB解出几率幅方程的解析解，并作出d与t的图像。d代表光子在波导中出现的概率。我们将从理论上分析我们将要得到的实验结果。 22 第三章 实验预期结果 3.1绝热消除前解析解 前面第二章中我们由薛定谔方程得到了光在三根波导阵列中传播的几率幅方程： ? id1?k12d2 （3-1） id2?d2?k12d1?k23d3 （3-2） id3?k23d2 （3-3） 假设?=10， ? ? k 12 ?k23=1将上式编入MATLAB中，得到微分方程的解如下： d1? 1?34e 3ti?
26、5i ?1?3?e4 3ti?5i ?533? 36e 3ti?5i 3ti?5i ? 5?336e 3ti?5i 3ti?5i 1 ? (3-4) 2 d2? d3? 2 ?318e 3ti?5i ? ? ?318e 3ti?5i ? (3-5) 1?34e 3ti?5i ?1?3?e 4?53? 36e ? 53?336e 3ti?5i ? 1 (3-6) 2 然后做出d与t的关系图如下： 图3-1 绝热消除前解析解d2与t关系图 由量子力学中的内容我们可知，波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到离子的概率成正比，按照这种解释，描写这种例子的波乃概率波。知道了系统的波函数
27、之后，由波函数振幅绝对值的平方，就可以得出粒子在空间任意一点出现的概率。d 即表示光子在波导中出现的概率。 由上图可知，当光从第一根光波导射入光时，只在第一根光波导中会出现光子，而在第二，三根光波导中不会出现光子。如做实验，我们将会观察到下图中所出现的结果： 2 图3-2 光射入第一根波导时应观察到的现象 而随着时间的演化，在第二根波导中寻找到光子的概率几乎为零。而第三根波导中逐渐发现光子并增强，如做实验，我们将会观察到下图中所出现的结果： 图3-3 持续实验观察到的现象 图像在周期性的变化，在半周期结束我们将会发现光子全部传输到了第三根波导，而在第一，二根光波导中没有发现光子，如做实验，我们
28、将会观察到下图中所出现的结果： 图3-4 半周期结束实验观察到的现象 如果持续实验过程，我们将会看到的是如下一个循环过程： 图3-5 理论实验现象图 在第二根波导中几乎找不到光子，光似乎是在第一根与第三根波导中周期性传递。 3.2 绝热消除后解析解 前面第二章中我们由薛定谔方程得到了绝热消除后波导阵列中传播的几率幅方程： 2 id1?(?d1223) （3-7） ?1?d3?2id3?(1223d1? 假设?=10，d) （3-8） 3k12?k23=1将上式编入MATLAB中，得到微分方程的解如下： 1ti15?d12e2 （3-9） 1ti15?d22e2 （3-10） 然后做出与t的关系
29、图如下： 图3-6 绝热消除后解析解d与t关系图 如图所示，和图3-1所示绝热消除前解析解d与t关系图除去 但是比绝热消除前解析解d与t关系图更加平滑。绝热消除前222d2的图像几乎一致，d2虽然几乎为零可以忽略 不计，但是对实验还是有略微的影响。所以在量子纠缠制备的过程中需要绝热消除，这样可以有效的抑制激发态自发辐射所引起的退相干过程，将三能级模型简化为两能级，从而下部原子能级彼此耦合。 3.3 改变耦合强度解析解 以上是在?=10，k12?k23=1的情况下由光在三根波导阵列中传播的几率幅方程经 2MATLAB得到的微分方程的解做出的解析解d与t 关系图。下面我们改变k12?k23做出 ?
30、=10，k12?k23=0.1，观察波导耦合强度对实验的影响。在这里我省略了求解的过程， 直接做出实验图像： 图3-7 改变变量后绝热消除前解析解d与t关系图 2 图3-8 改变变量后绝热消除后解析解d与t关系图 由图对比可知，改变耦合强度2k12?k23并不会影响实验结论，而影响的是光子在 波导中传播的周期。对比图3-1与3-7我们可知改变耦合强度也会改变光子在第二根波导中出现的概率，?越大于k12?k23，第二根波导中找到光子的概率更加趋向于 0.我们可以通过调节光波导阵列的耦合强度，调节光在波导中传播的周期，找到一个合适的耦合强度，可以使我们更好的观察实验现象。 第四章 结论与展望 4.
31、1全文总结 量子纠缠的概念一经提出，就很快引起了全世界广泛的关注。一方面量子纠缠他是量子物理学中的基本问题。另一方面量子纠缠态在量子信息领域扮演着极其重要的角色，并已经作为一种重要的量子资源被广泛应用到量子通讯领域中。而在量子纠缠制备过程中，在大失谐条件下，一个型三能级系统的激发态可以被绝热消除这是量子纠缠制备过程中的一个极其重要的部分。而光波导阵列作为一种新型的物理平台，可以通过波导的结构参数，调控光束在其中的传输行为。由于光波的近轴演化方程与Schrodinger方程具有相同的形式，所以可以通过光在波导阵列中的传播行为直观的研究量子力学的一些基本效应。所以本文从理论上验证了光子在波导阵列中
32、的传播行为与绝热消除理论的相似性。并模拟了实验现象。 （1）简单的介绍了量子纠缠制备过程中的大失谐条件下的绝热消除，并计算了三能级系统与两经典场相互作用时的绝热消除过程 （3）用MATLAB计算出了解析解d与的关系图，从理论上分析如果我们做实验将会出现的结果，并分析了如果改变耦合强度将会出现的实验结果。为今后的实验打下了理论基础。 2 4.2进一步工作的展望 鉴于上面的研究基础和本人的知识基础，以后的将在以下几个方面展开工作： （1）本文只研究了在基态能量 果。 （2）本文只从理论上分析了用光波导阵列模拟量子纠缠制备过程中的绝热消除过程的可能性，并预测了实验结果，但是没有真正的去做实验证明实验
33、结果。 （3）本文因为没有实验数据，也没有找出该实验可能产生的误差并分析出可能产生误差的原因，从而去改进实验。 ?12时结果，并没有讨论在时?12的理论结 致 谢 随着这篇本科毕业论文的最后落笔，我四年的大学生活也即将划上一个圆满的句号。回忆这四年生活的点点滴滴，从入学时对大学生活的无限憧憬到课堂上对各位老师学术学识的深沉沉湎，从奔波于教室图书馆的来去匆匆到业余生活的五彩缤纷，一切中的一切都是历历在目，让人倍感留恋，倍感珍惜。 四年中国地质大学(武汉)的学习生活注定将成为我人生中的一段重要旅程。四年来，我的师长、我的领导、我的同学给予我的关心和帮助，使我终身收益，我真心地感谢他们。 在此特向郑
34、安寿老师致以衷心的谢意！向他无可挑剔的敬业精神、严谨认真的治学态度、深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意！同时感谢杨勇老师、李铁平老师、马冲老师等几年来对我的栽培和教育。 此外，本文参考了大量杂志期刊和专业丛书，由于参考期刊太多，不能一一注明，敬请原谅并向所有作者和刊物致以诚挚的谢意！由于本人水平有限，纰漏之处在所难免，恳请各位老师不吝赐教。 最后要感谢的是我的父母，他们不仅培养了我对中国传统文化的浓厚的兴趣，让我在漫长的人生旅途中使心灵有了虔敬的归依，而且也为我能够顺利的完成毕业论文提供了巨大的支持与帮助。在未来的日子里，我会更加努力的学习和工作，不辜负父母对我的殷殷期望！我一定会好好孝敬他们，报答他们！爸妈，我爱你们！ 谨以此文献给爱我及我爱的人们。 参考文献 1郑安寿. 多体量子纠缠态的制备D. 华中科技大学, 2012. 2詹志明. 量子纠缠态的制备D. 华中科技大学, 2005. 3 Gerry C C, Jh. E. Dynamics of a Raman coupled model inte