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1、解题教学中数学能力的培养五七二厂中学 杨水旺中学数学教学的一个十分重要的任务，就是要不断地、切实有效地培养学生解决数学问题的能力。而这样能力，集中表现为学生的数学能力。关于数学能力，目前虽无定论，但大致分为以下几个方面：（1）数学抽象能力；（2）数学概括能力；（3）数学推理能力；（4）数学语音的应用能力；（5）数学直觉能力。这些能力的培养，有待于我们从事数学教学的教师从教学的各个环节、各个方面最大限度的开发学生的智力，挖掘学生的“潜能”。本文想就从数学教学环节的一个侧面解题教学谈一点培养学生数学能力的粗浅看法，请各位老师批评指导。 解题教学，要充分暴露思维过程，渗透数学方法，突出数学观点，优化
2、数学模型。 原苏联伟大的教学学家苏克鲁捷茨基说过：“当前科学发展的特征在于他们有一种更为数学化的趋势，这一情形不仅出现在物理学、天文学和化学方面，而且出现在这样一些学科，如现代生物学、考古学、医学、气象学、规学、语言学等方面，数学方法和数学的思维方式正在到处渗透，难以找到一个与数学无关的领域，在人类所致力于的各个领域中，数学将得到日益广泛的应用，数学可应用的领域原则上是无限的。”（中小学生数学能力心理学P7苏克鲁捷茨基著）这段话不仅说明了数学在其他科学上的重要性，同时也说明了使学生掌握号数学方法和数学思维方式、数学思维习惯的重要性和必然性。作为解题教学，要培养学生良好的数学思维品质，关键之一是
3、教学中要充分暴露数学思维过程，这个过程包括两个方面，其一：就是要充分暴露教师在处理数学问题时的思维过程。其二就是要充分暴露学生在处理数学问题时的思维过程。教师在充分了解了学生正在思维过程中的定势思维和惰性思维之后，因材施教，使教师与学生之间的思维活动协调同步，同时使教师思维过程的暴露体现在学生思维过程培养的最恰处。充分暴露教师在处理数学问题的思维过程不仅体现在教学环节、教学方法的安排、使用上，同时也充分体现在解题教学中，解题时，教师要注重引导学生共同研究解题问题的思路是怎样打开的，用到了哪些知识点，解题过程用到了哪些基本方法、基本技巧？该题目可与哪些知识建立纵横联系，该题目可否找到其演变的最简
4、原型，并且 ，就该题目本身是否可以再进行进一步的演变、引深、推广？ 另外，解题教学中，要时时处处突出数学观点。关于数学思维的基本观点有：（1）映射观点；（2）方程观点；（3）因果观点；（4）递推观点；（5）极限观点；（6）参数观点等等，解题中，要善于对数学问题的分析和讲解，逐步培养学生掌握运用数学观点来处理数学问题，使学生善于从数学材料的加工过程中，迅速建立数学模型，并优化其模型，从而培养他们的数学能力。例如：证明： tg-tg=(89年高考19题)题目分析：属于三角恒等式证明，所含知识点有：和、差、倍、半的三角函数，有弦，有切。方法分析：证明恒等式常用方法有：左右相推法，同一法，分析法，转换
5、证明法，综合法等，该题目左为切、右为弦，所以又可用化弦法或化切法等。证明过程：左边=tg-tg=- = =右边寻找原型：课本P126计算tg66031-tg22030解：tg6603-tg22030=sin(66030-22030)/cos67030cos22030=2易见，若令450=X，即得高考题。高考题是将具体数字一般化。考察实质：根据两角和、两角差的正弦、余弦公式：sin(-)=sincos-cossin(1)cos(+)=coscos-sinsin(2)cos(-)=coscos+sinsin(3)(2)+（3）1/2cos(+)+cos(-)= coscos(4)(1) (4)=t
6、g-tg令=,=,即为高考题，由此可见，该题的实质是三个基本公式的变型。引深推广： tg-tg= tg-tg=tgx-tgx=叠加得：tg(2n+1)x/2-tgx/2= =sinx/cosx+cos(n+1)x通过这道题，我们不难发现，高考题中许多题目就是对教材中的原题进行改装，仿制而成，或者把几个原题进行串联，综合而成，也有将课本中的常量引进为参数，或设置隐含的条件，改变设问的方向，只是增加了题目的层次，但实质仍是课本中的原型。例2：已知P=（xy）(R2-1)y+2RX+(R+1)2=0 RR,求的图形。题目分析这是一个集合问题，与二次方程有关，与直线有关。方法分析集合P是直线（R-1）
7、y+2RX+(R-1)=0(1)上的点,因为R R,所以若按R取不同的值来研究直线外的点集是不能奏效的,但要是把(1)视为关于R的一元二次方程,用方程观点优化其数学模型,则求P的图形就转化为求(1)关于R无实根的X,Y的范围。解题过程整理（1）得（Y+1）R2-2（1-X）R+（1-Y）=0当Y-1时，由0得（X-1）2+Y21当Y-1时，由R=1 （1-X）得点（1，-1）不在直线上，综合可知，P的图形为圆（X-1）2+Y2=1的内部（不含圆周）及点（1，-1）。例3：求证：对称轴互相垂直的两抛物线的四个交点共圆。题目分析；题目为解析中二次曲线交点问题。方法分析：处理曲线的交点问题，基本方法
8、是“设”与“解”，“设而且解”最繁，“设而不解”或“解而不设”交简，“不设不解”最简。本题宜选用共交点的曲线系f+f=0这个模型.解题过程抛物线 Y22PX+S=0(1) 与抛物线Y22EX+t=0(2)对称轴互相垂直 (1)+(2)得X2+Y22PX2EY+S+S+t=0这正是圆的方程,故交点共圆。二、解题教学，要注意引导学生善于观察，讲究策略，发展品质。“观察是智慧的窗口”，遇到数学问题，首先要认真观察，在此基础上再通过对已知数学材料的加工来寻找解题途径。另外，解决数学问题，也要注意解题的策略思想，数学思维的策略思想有：（1）逻辑划分；（2）等价与非等价转化；（3）类比与归纳；（4）移植与
9、杂交等。（中数数学思维方法陈振宣著，上海科技出版社）例4：已知PQ为圆X2+Y2=1的与X轴垂直的任意一条弦，A，B为此圆与X轴的交点，试求直线PA与QB的交点M的轨迹方程。分析：“设而不解”较繁，“不设不解”最简，观察若过M作MRX轴，设PQ交X轴于H， 则RtAMRRtBRM AR/MR=MR/BR=(X+1)/Y=Y/X-1 Y2=X2-1法2:设P1(X1,Y1) Q(X1-Y1)则AP所在直线方程为:Y/Y1=(X+1)/X1+1(1)QB所在直线方程为:Y/-Y1=(X-1)/X1-1(2)(1)(2)得Y2/Y12=(X2-1)/X12-1Y2/X2-1=-Y12/X12-1=1
10、Y2= X2-1,即轨迹方程为Y2= X2-1例5：中心在原点0，焦点在X轴上的椭圆交0X轴负向于A点，交0Y轴正向于B点，若左焦点F到AB的距离|FH|=/7|OB|，求此椭圆的离心率。分析如图观察可想到采用平面几何的方法. RtAHFRtAOB AF/AB=FH/OB/7=(a-c)/ 7(a-c)2=a2+b2又b2=a2-c2 7(a-c)2=2a2-c2 a=2c或a=4/5cc/a=1/2或c/a=5/4（舍去） e=1/2法2：AB所在直线方程为bx-ay+ab=0|FH|=|-bc+ab|/=/7b(以下与法1相同)例6：若实数a1,a2,a3,a4都不等于零且满足（a12+a
11、22）a42-2a2(a1+a3)a4+a22+ a32=0，证明，a1 a2 a3成等比例数列且以a4为公比分析观察条件式是以a4为圆的一元二次方程，由方程的意义可解。法1：a4为非零实数=4a22(a1+ a3)2-4（a12+ a22）（a22+ a32）0即a12a22+2 a1 a3 a22 + a22 a32- a12 a22- a12 a32- a24- a22 a320a24-2a1a3a22+a12a320 (a22-a1a3)20又a1 a2 a3为非零实数 (a22-a1a3)20故a22 =a1a3 a1 a2 a3成等比数列又a4=2a2(a1+a3)/2（a12+
12、a22）=( a1a2+ a2a3)/ a12+ a1a3 = a2/a1 公比为a4法2：观察已知式，猜想利用配方法来解条件式展开为a12 a42+ a22 a42-2a1a2a4-2a2a3a4+a22a32=0(a1a4-a2)2+(a2a4-a3)2=0a1 a2 a3 a4为非零实数a1a4=a2 a2a4=a3 即a2/a1=a4=a3/a2故a1 a2 a3成等比例数列且以a4为公比三：解题教学，要注意引导学生善于联想、类比、归纳，善于运用数学思想解决数学问题。在数学学习的思维中，数学思维对思路有其规定作用，它决定着信息搜寻的角度，因此解题时，要善于联想、类比、归纳，要善于运用数
13、学思想来解决数学问题，另一方面，“有意识地将注意力导向一个尽可能宽的范围，这正是思维技能中最基本的东西，然而，思维技能又不只限于这一方面，有时候，我们需要识别某些模式，不同类型的正确思维，不同类型的错误思维，不同类型的证据”（思维训练德波著，何道宽译），然后，善于“转换我们的思维序列”通过思路的自我调控，使思维趋于完善，从而培养学生良好的思维品质，即（1）思维的敏捷性；（2）思维的灵活性；（3）思维的深刻性；（4）思维的创造性；（5）思维的拟判性等（论中学生数学思维的智力品质王岳庭）例7：已知 数例an满足an+1=can+d,(c,d为常数，c1,c0)且a1=b,求通项am法1：题目是以递
14、推式给出，由递推思想可采用“迭代法”“迭代法”从“归纳”的观点看，属于不完全归纳法，其结论有待证明。“迭代法”从“解方程”的观点看，属于“消元思想”，实用方法为“代入消元法”，“加减消元法”。代入消元 an+1=can+d a1=ba2=ca1+d=bc+da3=ca2+d=c(bc+d)=bc2+dc+da4=ca3+d=c(bc2+bc+d)+d=bc3+dc2+d由此推出：an=bcn-1+dcn-2+dcn-3+dc+d =bcn-1+d(cn-2+cn-3+c+1) = bcn-1+d(cn-1-1)/d(c-1)a=bcn+(d-b)cn-1-d/(c-1) 法2：加减消元由题意得
15、： an+1-can=da2-ca1=d(1)a3-ca2=d(2)a-ca3=d(3)an-can=d (4)(1)c+(2)得：a3-c2a1=cd+d(1)/(1)/c+(3)得：a4-c3a1=c2d+cd+d(2)/(2)/c+(4)得：a5-c4a1=c3d+c2d+cd+d(3) /由此推知：an-cn-1 a1=cn-2 d+cn-3 d+cd+dan=bcn-1+(cn-2+cn-3+c+1)d =bcn-1+(1-cn-1)d/1-c =bcn-1+(d-b)cn-1-d/c-1辩证法告诉我们，解决数学问题的过程就是促使矛盾转化的过程。解数学问题就是通过各种变换，化未知为已
16、知，化复杂问题为简单问题，化非基本问题为基本问题。根据这一思想，数学上常常采用“化归法”来解决数学问题，“化归思想”也就成了常用的数学思想方法之一。用“化归思想”给出例7的解法法3：令d=cd- 则an+1=can+c-(an+1+)/an+=c an+是公比为c首项为a1+=b+的等比数列an+=(b+)cn-1an=bcn-1+(cn-1-1) =bcn-1+(cn-1-1) /c-1=bcn+(d-b)cn-1-d/c-1法4：由题设有an+1-an=c(an-an-1)当an-an-10时（am+1-an）/an-an-1=c所以an-an-1是公比为c,首项为a2-a1=ca+d-a
17、= b(c-1)+d的等比数列an+1-an=b(c-1)+dcn-1即can+d-an=bcn+(d-b)cn-1an=bcn+(d-b)cn-1-d/c-1(A)当an-an-1=0时an=an-1=a2=a1=b可以验证公式（A）亦成立。法5：给an+1=can+d两边同除cn+1(c0)得(an+1)/cn+1=an/cn+d/c(an+1)/cn+1=an/cn=d/c故，数列an/cn是一个等差型数列，用“叠加消元法”或称“相消法”。an/cn=(an/cn-an-1/cn-1)+(an-1/cn-1-an-2/cn-2)+(a2/c2-a1/c)+a1/c =d/cn+d/cn-
18、1+d/c2+b/can=d+dc+dcn-2+bcn-1=d(1-cn-1)/(1-c)+bcn-1an=bcn+(d-b)cn-1-d/c-1四、解题教学，要注意引导学生挖掘题目中隐含的方法和结论，要善于揭示规律，善于发现实质。体现数学能力的一个方面，就是看一个人对数学材料的处理和对数学问题的解决程度，挖掘数学材料中的数学方法，思维方式以及重要结论是解题教学的重要内容之一，而且数学材料中获得新方法、新结论，再用获得的方法，结论又去挖掘新的数学材料中的方法和结论，又得到新的方法和结论，以此类推，使学生的数学思维、数学方法、数学知识不断丰富，不断增加。所以，解题教学，要善于引导学生不断的发现，
19、不断地探索，同时，要善于积累经验，要有正确灵活的思想方法，要善于把综合在一起的问题简化为若干个基本问题，要善于归纳抽象，从具体的，特殊的材料中获得一般性的结论。比如有学生总结出用数学归纳法证题技巧之一就是“凑”、“一凑假设”、“二凑结论”。例8：已知X+X-1=2COSQ,用数学归纳法证明Xn+X-n=2cosnQ分析由已知有x2-2cosQx+1=0x2-2cosQx+cos2Q+sin2Q=0=(x-cosQ)2+sin2Q=0x=cosQ,sinQ=0假设当n=k时命题成立即xk+x-k=2coskq亦即coskQ+cos-kQ=2coskq当n=k+1时有：xk+1+x-(k+1)=c
20、osk+1Q+cos-(k+1)Q = coskQcosQ+cos-kQcos-1Q要用到归纳假设的结论需要“变得”一个coskQ+cos-kQ即需要“凑假设”故添补项得：Xk+1+x-(k+1)=coskQcosQ+cos-1Qcos-kQ-coscos-kQ+cosQcos-kQ=cosQcoskQ+cos-kQ+cos-kQcos-1Q-cosQ =2cosQcoskQ+cos-kQ(1-cos2Q)/cosQ =2cosQcoskQ+sin2Qcos-(k+1)Q =2cosQcoskQ现要证得结论2cos(k+1)Q，根据“和角公式”又添补一项一-2sinQsinkQ因为sinQ=0
21、 所以-2sinQsinkQ=0故 上式=2cosQcoskQ-2sinQsinkQ =2cos(Q+kQ)=2cos(k+1)Q又如在解决数列求和问题时，利用乘法公式可以得到数列求和的方法之一一一降阶法，并将此推广可得一定理。例9：求数列12,22,32n2的前n项和解：根据（a+1）3=a3+3a2+3a+1得(a+1)3-a3=3a2+3a+1令a=n.n-1.n-23.2.1 可得(n-1)3-n3=3n2+3n+1n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+123-13=3.12+3.1+1上述n个式子相加可得 (n+1)3-1=3(12+22+32+n2)+3(1+2+3+n
22、)+n令Sn=12+22+32+n2则有(n+1)3-1=3Sn+3n(n+1)/2+nSn=1/6n(n+1)(2n+1)上述解法得到启示。事实上可用（a+1）2=a2+2a+1得到Sn=1+2+3+n=1/2n(n+1) 依次可用(a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1得到Sn=13+23+33+n3的和Sn=1/4n2(n+1)2推广有以下结论：定理：若SK=则有(n+1)k+1=CSk+CSk-1+SS1+n+1(可用二项式定理证明)（略）事实上，这道题的解题方法以及得到的结论都是今后常用的方法和结论。关于解数学题，也有人说其解题过程无非就是“猜”和“凑”，这句话虽然带有某些偏面性，但并非没有道理。“猜”就是猜测解题方向，解题途径，“凑”就是凑此方向，凑得结论（当然要凑的合乎逻辑，符合要求，遵循法则，不违背定义）。无论怎么说，解数学题总离不开数学方法、数学思想、数学思维，只要我们在解题教学中始终能够把培养学生的数学能力放在中心位置，那么解题教学就一定能取得良好效果。- 14 -