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1、8年级数学（上）专题复习一全等三角形常见辅助线作法在初中数学学习中，如何添加辅助线是同学们经常感到头疼的问题，很多同学常常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。考试时也常因辅助线的添法不当而导致既得不到本题的分数，又白白浪费了考试时间。为了解决这个问题我根据多年初中几何教学经验，把全等三角形的几种常见辅助线作法编成一个“顺口溜”，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些协助。人人都说几何难，难就难在辅助线。辅助线，如何添？构造全等很关键。图中有角平分线，可向两边作垂线。三角形中有中线，延长中线造全等。角平分线加平行，构造等腰三角形。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直
2、平分线，常向两端把线连。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。下面举出一些具体的例子说明如下：例1.已知：如图1所示， AD为ABC的中线，且1=2,3=4。求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知1=2， 3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。注意：当证明题中有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到相等元素。例2.已知：如图2所示，AD为ABC的中线，且1
3、=2，3=4，求证：BE+CFEF。证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例3.已知：如图3所示，AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证AB+AC2AD，由图形想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD，但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。注意：在三角形中线时，常廷
4、长加倍中线，构造全等三角形。例4.已知：如图4所示，ABCD，ADBC。求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的相关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC（或BD）。注意：连接四边形的对角线，可把四边形的问题转化成为三角形来解决。例5.已知：如图5所示，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD的延长于E 。求证：BD=2CE 分析：要证BD=2CE，想到要构造线段2CE， 同时CE与ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于F。注意：有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例6.已知：如图6所示，AC、BD相交于O点，且A
5、B=DC，AC=BD，求证：A=D。分析：要证A=D，可证它们所在的三角形ABD和DCO全等，而只有AB=DC和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，如连接BC，则ABD和DCO全等，所以，证得A=D。证明：连接BC，注意：连接已知点，构造全等三角形。例7.已知：如图7所示，AB=DC，A=D。 求证：ABC=DCB。分析：由AB=DC，A=D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BN=CN，ABN=DCN。下面只需证NBC=NCB，问题得证。证明：取AD中点N，连接NB，NC。注意：取线段中点构造全等三角形。例8.已知：如图8所示，D、E为ABC内两点,求证：AB+ACBD+DE+CE. 证明：（法一图8-1）将DE两边延长分别交AB、AC于M、N。（法二图8-2）延长BD交 AC于F，廷长CE交BF于G。注意：在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。