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1、数学思维与总复习5702厂中学 杨水旺充分暴露数学思维过程是数学教学的指导性原则，分析数学思维过程的能力是数学教学能力的核心。充分暴露数学思维过程是诸多先进教学方法的出发点，是我们搞好教学总复习的主脉。一、要充分暴露教师在处理数学问题时的思维过程充分暴露教师在处理数学问题时的思维过程，把分析数学思维过程贯穿于数学复习教学的始末。并以此培训学生善于利用数学思维考虑问题，把数学思维方式和习惯运用于学生自己处理数学问题及其他问题的过程中，是我们搞好高三数学总复习的关键和着眼点。高三数学复习课是在学生学完了全部基础知识之后所进行的必不可少的数学活动，这一教学活动不仅要求教师通过教学环节和教学过程使学生
2、更进一步掌握所学数学基础知识。而且更重要的是要求教师通过教学过程更进一步培养学生的数学素质和数学思维，使学生具备一定的数学思维能力和习惯，以及使学生具有单独处理号数学问题及其它问题的能力。另外，作为初等数学教学的最终目的，也就是要培养学生的数学能力以及使学习掌握一定的数学基础知识。因此，高三数学复习课，一定要八培养学生的数学能力和数学思维方式及“数学素质”，放在重要的位置上。那么，如何才能实现这一教学活动的真正目的呢？我认为：首先在教学过程中，教师必须充分暴露自己在处理数学问题的思维过程。大家知道，数学教师在数学教学中的活动无一不是围绕着数学思维过程展开的。就拿日常的基础知识传授教学活动来说，
3、同样包含着教师应充分暴露数学思维过程这一原则。从备课、上课到辅导，教师总是力求使学生懂得每个原理、定理、公式、法则的逻辑推理过程，总是想方设法使学生发现其每个数学结论的获得经过。实际上，许多先进的教学方法，如启发式、发现法和单元探究法等就是通过教师的主导作用，来启发学生的思维活动，达到暴露数学思维过程的目的。但是，如何充分暴露教师在处理数学问题时的思维过程呢？心理学研究结果表明，人们在创造性解决问题的过程中，总是力求逐步缩小探究的范围，即在如下的三个层次中，不断地发现并提出新的辅助问题。一般性解决：即基本逻辑水平的解决，它力求明确解题的大体方向。功能性解决：即基本数学方法水平上的解决，它力求明
4、确解题中应用的基本数学方法。特殊性解决：即具体的解决，它力求明确解题的具体方法、技巧和程序。在解决问题阶段，人们往往遵循上述层次来发现问题，推进解决问题的思维过程。如果思维在某一层次上受阻，则被迫使思维返回到上一个或两个层次中去。因此，教师分析和提示以及启发可分为下列三个层次进行。一般性启发：即方法论水平上的提示，它提醒学生注意应用一般性的思考原则和方法。功能性启发：它介于一般性提示和特殊性提示之间，它提醒学生应用针对某一类解决问题的方法和策略。特殊性启示：这是最具体的提示，它针对面临的具体问题，提醒学生具体的解题方法和步骤。例如：已知函数F（X）=tg(5+k)x2+6x+k+5的定义域为x
5、k,求实数K的范围。（解题思维过程）（一般性启示）：令g(x2)=tg(5+k) x2+6x+k+5则问题转化为g(x)0之解为一切正实数，求k的范围（功能性启示）利用必要条件，考察g(x)定义域与直域之间的关系，可采用分析法或图像解析法。（特殊性启示）：当k=-5，g(x)=6x解为x0一切实数，满足要求。当k-5，g(x)是x的二次函数，对于定义域为R的二次函数g(x)来说，不论R为何值，g(x)0的解都不会只有X0，即要么比R+范围大，要么比R+范围小（也可以图像分析加以说明）。二、要注意研究教学中学生处理问题的思维过程和思维习惯。要充分暴露数学思维过程，同样包含着要充分暴露学生在处理数
6、学问题时的思维过程。只有在充分了解了学生在思维过程中的定势思维和惰性思维，才能最大限度地发挥其教师引导，启示的作用，也才能使教师思维过程的暴露体现在学生思维过程培养的最适处。例如：已知7x2+(k+13)x+k2-k-2=0 两根分别在（0，1）和（1，2）之间，求k的范围。（学生思维过程）：设两根为X1，X2，且0X11，1X22则有 0 (k+13)2+28(k2-k-2)01X1+X2-2 1-30X1 X2-2 02 因为学生受到思维定势的影响，这样的思维过程是必然的，如果教师在分析、启示时，能预先注意到这点，并能加以正确引导，则会收到事半功倍的效果。事实上，这样的思维过程是错误的。错
7、误原因，主要是对充要条件理解的不好。即由0X11，1X12可推得1X1+ X23，0X1 X22，但由于1X1+ X23及0X1 X22，却推不出两根在（0，1）和（1，2）之间。教师的启示应首先使学生明白上述思维过程是错误的，其次再引导学生利用二次函数的性质完成此问题。例2：求函数y= （x(0,1)）的值域。（学生思维过程）y=x2-2xy+4=0因为x有实数值，所以0即=4y-160 y2y或-2 （含负）值域为2，+ （正确答案,+） 上述例子中出现的错误是复习中学生常规的错误，出现这类错误的主要原因是学生受定势思维和惰性思维的影响所致。教师必须看到，学生这种常见错误对学生思维培养的影
8、响。教师在备课时，要站在学生的角度上，要这样想：我是一个学生该怎样处理这个问题？要在备课时，首先在教师的笔下充分暴露学生的数学思维过程，当然在课堂中更应该采取多种方法让学生充分暴露他们的思维过程。三、要注意对学生进行思维指向性培养数学问题无一不与逻辑推理及数学方法有关。作为高三数学总复习，总是以解决数学问题为主要形式展开活动。因此，根据解题的基本理论，分析解题过程中各个阶段的思维特点，对学生进行思维指向性培养应该是我们高三数学总复习的主要任务之一。从目前学生存在的思维主要障碍分析认为，学生思维的主要弱点在于发散思维，求异思维和逆向思维不好。所以总复习时，我们应该把重点放在上述三个方面的培养上。高三数学总复习，包括着许多教学有关的思维训练问题，也包括着许多的数学思维分析方法。因此，数学思维的研究应该是高三数学教学研究的主体，实际上，这一任务是整个社会数学教学研究的主体，愿我们从事数学教学工作的老师，能热衷于数学教学的改革和研究，使数学教学走向一个更新的阶段。- 6 -