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1、吉林长春 2019 高中毕业班第一次调研测试- 数学（理）扫描版2018 年长春市高中毕业班第一次调研测试数学理科试题参考答案及评分标准【一】选择题本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分1. B2. B3. A4. A5. A6. C7. B8. B9. D10. C11. B12. C简答与提示：1.B由 x2x2 0可得 1x 2 ，又 y ln(1|x|)中 1| x |0 ，那么 1| x | 即1x1，那么 eR B x | x - 1或 x 1 ，因此 A(eR B)1,2) ，应选 B.2.B由题意可知：21 2ai 2222a 2 i，1ai(1ai )ai )a1a21
2、34 i1ai(1 ai )(11 a1aa55因此 1a23 ，化简得 5a253a23 ， a24 那么 a2 ，由2a4 可1a251a25知 a 0 ，仅有 a2 满足，应选 B.3.A由于要取 a ， b ， c 中最大项，输出的x 应当是 a ， b ， c 中的最大者，所以应填比较 x 与 c 大小的语句 cx ，应选 A.4.A该几何体由底半径为1 的半圆锥与底面为边长等于2 正方形的四棱锥组成，且高都为 3 ，因此该几何体体积为V11123122334383 ，应选 A.6323635. A由题意可计算得11；1112 1ax 3 dxx33 x33011202301；311
3、x 221b110x 2 dx 1333020c1x3dxx4 1，综上 ab c，应选 A.014 046. C 由 a1a2 a34a13q3 与 a4 a5a6 12a13q12 可得 q93，an1 anan1a13 q3n3324 ，因此 q3n 68134q36 ，所以 n 14 ，应选 C.7.B由题意ABC 中BAC 60 ，BC23 ，由正弦定理可知BC2 3，2 Rsin A32由此 R2 ， SR24，应选 B.8.sin(2 x与sin关于原点对称，故 p 为真命题； q 命题中4)y2x4取极小值时，2x2k，那么y2 sin 2 xcos2x2sin 2x244xk
4、3(kZ ) ，故 q 为假命题，那么pq 为假命题，应选B.89.D2 4 y，当且仅当 4 yx ，即 4 y2x2 时x 2 y (x 2 y) 2 1x2 8xyxyxy等号成立 . 由 x2 ym22m 恒成立，那么ym28 ， m28 0 ，解得2 ，应2m2m4mA选 D.10.C 当时， O ， A ， B 三点为等腰Ox| OAOB |3 | AB |B3三角形的三个顶点，其中OAOB ，AOB120 ，从而圆心O 到直线 xy k0 (k0) 的距离为 1 ，此时 k2 ；当 k2 时3 | AB |，又直线与圆22存在两交点，故k22 ，综上 k 的|OA OB |xy4
5、3取值范围为2, 22，应选 C.11.B 由题可知：双曲线离心率| AB |与椭圆离心率|CD |e1e2| DB | DA | BD | BC |12.设 | AD | BC |t 那么 | AB |2t ， | CD | 2t2t cos ， | BD |t54cos，13.2，22cos，e1e254cos154cos114.0,时，当增大， cos减小，导致 e1减小 .215.222cos. 应选 B.e1e215 4cos1 54cos116.C对于，假设1，那么M*1，那么M *P，M P x | 0 x x | x 22因此错误；对于，假设1，那么 1，又 1P*，那么M P
6、 x | 0 x 2M22MP*，因此也错误，而和都是正确的，应选C.【二】填空题本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分13. 1,514.315. 6316.604简答与提示：17. 由题可知 y 1y( 1) ，即为求区域内的点与(0, 1) 点连线斜xx0y率 k 的取值范围，由图可知k1,5 .18. 由正弦定理与余弦定理可知，sin B 6cos A sinC 可化为Oxb 6 b222，化简可得2222，又 a2c22b 且 b0 ，可计cacb3(bca)2bc算得 b3 .19. 设正四面体棱长为a ，那么正四面体表面积为3 a2，其内切球半径S1 43a24为正四面体高的
7、1 ，即，因此内切球表面积为2，16 a6 aS2 4 r 2ar443126那么.S13a26 3S2a2620. 由 f ( x) f (x 5)16 ，可知 f ( x5) f (x)16 ，那么 f ( x 5) f ( x5) 0 ，所以 f ( x) 是以 10 为周期的周期函数. 在一个周期 ( 1,9 上，函数 f (x) x22x 在x ( 1,4 区间内有3 个零点，在 x(4,9 区间内无零点，故f (x) 在一个周期上仅有3 个零点，由于区间(3,2013 中包含201 个周期，又 x 0,3时也存在一个零点x 2 ，故 f (x) 在 0, 2013 上的零点个数为
8、3 201 1604 .【三】解答题本大题必做题5 小题，三选一中任选1 小题，共70 分17. ( 本小题总分值 12 分 )【命题意图】 本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识 .【试题解析】解：(1) 由图像得 A1 ， T2，所以 T 2 ，那么1 ；4362将代入得，而，所以，因此函数( ,1)1sin()22366； (6 分 )f (x) sin(x)3(2) 由于，2，所以1 sin(x1 ，所以f (x) 的取x , x3) 63632值范围是1.(12 分) 1,218. ( 本小题总分值 12 分 )【命题意图】本小题主
9、要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧 .【试题解析】解：(1)由题1 an 1Sn 112Sn1 an 12 - 可得1 an 11 an，那么.(3 分 )an 10an 11 an223当 n 1 时1，那么2 ，那么 an 是以 2为首项， 1 为公比的等比数列，S12 a11a1333因此ana1qn 121n 12 .(6 分 )3( )3n3(2)2，(8分 )bnlog 3anlog 3 3 2n2n4所以11111 (11，(10 分)bn bn 22n 2( n 2) 4 n( n 2) 8 n n 2Tn1 (1 1 1 111
10、11 )1 (1 111 )38 1 3 2 4n 1 n 1 n n 2 82 n 1 n 2 16(12 分 )19. ( 本小题总分值 12 分 )【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识. 同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构. 此题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识， 考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 .【试题解析】解： (1)AA1A1CAC2，且 O为 AC 中点，A1OAC ，又侧面AA1C1C底面 ABC ，交线为 AC ， AO面A1 AC ，1A1O平面 ABC .(4分 )(2) 如
11、图，以 O为原点，分别以OB、 OC、 OA1 所在直线为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系，那么由题可知B(1,0,0) ，C (0,1,0)，zA1 (0,0, 3) ， A(0,1,0) .A1B1C1AC(0,1,3)，令平面 A1 AB的法向量为1n (x, y, z) ，那么 n AA1 n AB0 ，而AOCyBAA1(0,1, 3) ， AB(1,1,0) ，可求得一个法向x量 n(3,3,3) ，所以| cos AC1 , n | n AC1 |621 ，| n | | AC1 | 2217故直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值为21 .(8 分 )7(3)
12、存在点 E 为线段 BC1 的中点 .证明：连结 B1C 交 BC1 于点 M ，连结 AB1 、 OM ，那么 M 为 BC1 的中点，从而OM是CAB1 的一条中位线，OM / AB1 ，而 AB1平面 A1 AB ， OM平面 A1 AB ，所以 OM / 平面 A1 AB ，故 BC1 的中点 M 即为所求的 E 点 .(12 分 )20. ( 本小题总分值 12 分 )【命题意图】 本小题考查椭圆的标准方程， 直线和椭圆的综合应用， 考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力 .【试题解析】解：(1) 设 P( x0, y0 ) ，由| OP |7 可知 x2y27 (1 分 )0024又
13、 PF1 PF23， ( c x0 , y0 ) (cx0 , y0 )34，3 (2 分 )4即 x02c2y024代入得： c1 . 又 e2 ，2可得 a2, b1，故所求椭圆方程为x2y21(4分 )2(2) 设直线 l : ykx1，代入 x2y 21，有 (2 k21)x24 kx160 .3239设 A(x1, y1 )、 B( x2 , y2 ) ，那么 x1x24k, x1x216.(6分)21)23(2k9(2 k1)假设 y 轴上存在定点uuur(x , yuuur( x , ym) ，M (0, m) 满足题设， 那么 MAm) ，MB2112uuur uuury2 )
14、 m2MAgMBx1x2( y1m)( y2 m)x1x2y1 y2m( y1x1 x2( kx11)(kx21)m(kx11kx21)m23333(k 21)x xk( 1m)( xx)m22m 1123123918(m 21)k 2(9 m26m15)(9 分 )9(2k 21)uuuruuur0 恒成立，由题意知，对任意实数k 都有 MAgMB即 18(m21)k 2(9 m26m15)0 对 kR 成立 .m210,9m26m150,解得 m1， (11 分 )在 y 轴上存在定点 M (0,1) ，使以 AB 为直径的圆恒过这个定点.(12 分)21. ( 本小题总分值 12 分 )
15、【命题意图】 本小题主要考查函数与导数的知识， 具体涉及到导数的运算， 用导数来研究函数的单调性、 极值等， 以及函数与不等式知识的综合应用， 考查学生解决问题的综合能力 .【试题解析】解：由题意得：f( x) (ex )(ax 22x2)ex(ax 22x2)ex (ax 22x2)ex (2ax2)aex (x2)( x2)；(2 分 )a(1)由曲线 yf ( x) 在点 P(2, f(2) 处的切线垂直于y 轴，结合导数的几何意义得f(2) 0 ，即2(222) 4ae22a20，解得 a1 ；(4 分 )a e)(2aa(2)设 |sin x |t(0 t 1) ，那么只需求当a0
16、时，函数 yf (t)(0 t 1)的最小值 .令 f ( x)0 ，解得2 或 x2，而 a0 ，即 2.xa2a从而函数 f ( x) 在 (, 2)和2上单调递增，在2(,)( 2, )aa上单调递减 .当 2 1时，即 0a 2 时，函数 f ( x) 在 0,1上为减函数， ymin f (1) (a4)e ；a当2，即 a 2 时，函数 f (x) 的极小值即为其在区间0,1 上的最小值，0a1f ( 2)2 .ymin2eaa综上可知，当0a 2 时，函数 f (| sin x |) 的最小值为 (a4)e ；当 a 2 时，函数f (| sin x |) 的最小值为2ea2 .
17、(8 分 )(3) 令 ex (x22x2)kx ，显然 x0 ，那么ex ( x22 x 2) .kx构造函数 g( x)ex ( x22x2) ， g ( x)ex ( x2)( x1)(x2).xx2令 g ( x)0 得 x12， x21， x32，可知： g( x) 在 (,2) 上单调递减，且 g (x)0，当 x 无限减小时，g(x) 保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近 x 轴负半轴； g( x) 在 (2,0) 上单调递增，当x 无限接近于0 时， g (x) 无限增大，其图像在左侧向上无限接近y 轴正半轴，由于极小值g ( 2)2e20，所以 g( x)在 (2,0
18、) 内存在一个零点；g(x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,2) 上单调递减，在( 2,) 上单调递增， 因此 g(x) 在 x 1处取得极大值 g(1)3e ，在 x2 处取得极小值 g( 2)2e 2 . 当 x0 并无限靠近0 时， g(x) 无限减小，其图像无限靠近y轴负半轴， 当 x 无限增大时， g(x) 也由负值变为正值无限增大，g ( x) 在区间 (2,)内也存在一个零点. 函数 g( x) 的大致图像如下图：根据条件 ykx 与 yf ( x) 的图像存在三个交点，即方程 ex( x22 x 2)kx 有三个解，直线 yk 与函数ex (x22x2) 的图像有三个公
19、共点. 因此g(x)xg( 2)k0 或 g(2) k g(1)，即2e 2k0 或 2e 2k3e ，从而 k的取值范围是 (2e 2 ,3e) ( 2e2 ,0) .(12分 )22. ( 本小题总分值 10 分 ) 选修 4-1 ：几何证明选讲【命题意图】 本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识 .【试题解析】证明 (1) ： AD为 M的直径，连接AB ，那么BCEBAE ，CEFABC90 ，由点 G为弧 BD的中点可知GADBAEFCE ，故CEF AGD ，所以有 CEEF ，即 AG EFCE GD .(5分 )AGGD(2) 由 (1) 知DF
20、GCFEADG ，故AGD DGF ，所以GFDGEF ，即2(10 分 )DGAGCEGFEF 2 .AGCE23. ( 本小题总分值 10 分 ) 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲【命题意图】 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等.4x ；【试题解析】解：(1) 对于 C ：由4cos，得4cos，进而 x2y22对于 l ：由为参数，得1，即 x3y 50 .(5分 )x 53 ty( x5)23y 1 t2(2) 由 (1) 可知 C 为圆，且圆心为(2,0) ，半径为 2，那么弦心距|
21、2 30 5|3，d321弦长( 3) 2，因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积| PQ | 2 2272S 2d | PQ | 37 .(10 分 )24. ( 本小题总分值 10 分 ) 选修 4-5 ：不等式选讲【命题意图】 本小题主要考查不等式的相关知识， 具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容 .【试题解析】解：(1)当 a5时， f ( x)| x 1| x2|5 ，由| x 1| x 2|5 0 得x 1或2 x1或x2，解得 x12x 2 02 08 2 x 0或 x 4 、即函数 f ( x) 的定义域为 x|x1或 x 4 .(5 分 )(2) 由题可知 | x1| x2 |a 0 恒成立，即 a | x1| x2 | 恒成立，而| x 1| x 2| ( x1)( x2) |1，所以 a 1，即 a 的取值范围为(,1.|(10 分 )