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1、4.2 一般二次曲线的化简与分类（Simplification and classification of general quadratic curves）,在中学平面解析几何中,曾经学习了椭圆(圆)、双曲线和抛物线等圆锥曲线及其标准方程,它们都是二次曲线。本章讨论更一般的二次曲线。 在平面直角坐标系下,关于x和y的二元二次方程 所表示的曲线，称为一般二次曲线（a11，a12和a22不全为零）。,4.2.1 一些常用记号（Notations）,为了以后讨论问题和书写的方便,引进下面的一些记号：,根据这些记号的含义,可验证下面的恒等式成立： F(x,y)= xF1(x,y) + yF2(x,y
2、) + F3(x,y) 称F (x,y) 的系数所组成的矩阵 为二次曲线(4.2-1)的系数矩阵,或称F (x,y) 的矩阵 再引入几个记号：,例1 试求二次曲线 的系数矩阵A,F1(x,y), F2(x,y) , F3(x,y), I1 , I2, I3, 和K1. 解 由以上记号知,4.2.2 直角坐标变换下，二次曲线方程的系数变换规律（Variation low of coefficients equation of quadratic curves under Descartes coordinates）,为了选择适当的坐标变换来化简二次曲线的方程，需要了解在坐标变换下方程的系数是怎样
3、变化的。 由上节讨论，知道一般的坐标变换可以分解为移轴和转轴两部分。因此，将分别考察移轴变换和转轴变换对方程系数的影响。,1) 平移变换下二次曲线方程的系数的变化规律,将平移公式：x = x+x0 ，y = y+y0 代入曲线方程，化简整理，设曲线方程变为 F(x,y)=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比较方程系数，得平移变换下曲线方程系数的变化规律： (1) 二次项系数不变； (2) 一次项系数变为F1(x0,y0), F2(x0,y0)； (3) 常数项变为F(x0,y0).,若取新坐标原点O (x0,y0)满足方程,则在新坐标系下,方程中将无一
4、次项,曲线对称于原点,点(x0,y0)就是曲线的对称中心。如果对称中心是唯一的,称为曲线的中心。此时方程称为中心方程。 注：当I20时,上一方程组就有唯一解,这时曲线称为中心型二次曲线；当I2=0时,方程组就没有解或有无穷多解,这时曲线称为非中心型二次曲线或无心型二次曲线。,例2 求二次曲线 的中心.,解 (x0,y0)是对称中心必须且只需满足中心方程,即 解得(x0,y0)=(0,3). 所以(0,3)是曲线的中心 .,2) 旋转变换下二次曲线方程的系数的变化规律,将旋转公式： x = xcos ysin , y = xsin + ycos 代入曲线方程，化简整理，曲线方程变为 F(x,y)
5、=a11x2+2a12xy +a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 比较方程系数，得旋转变换下曲线方程系数的变化规律: (1) 二次项系数一般可变,但新系下方程的二次项系数仅与旧系下方程的二次项系数及旋转角 有关,而与一次项系数及常数项无关； (2) 一次项系数一般也可变，但新系下方程的一次项系数仅与旧系下方程的一次项系数及旋转角 有关，而与二次项系数及常数项无关； (3) 常数项不变。,根据公式的表达式，若选取角，使,则方程中没有交叉乘积项。 注：若要通过旋转变换消去交叉项，只须旋转角 满足： a12=(a22-a11)cos sin +a12(cos2 -sin2)=0, 即 (
6、a22-a11)sin2 + 2a12cos2 =0 从而得旋转角 满足,因为余切的值可以是任意实数，所以一定存在 满足上式。这就是说，一定可以通过转角 消去交叉项。 上式中的 不是唯一的，为确定起见，一般规定0 需要说明的是,我们为什么不用 ? 这是因为当 a11=a22 时, 该式没有意义,而 完全可以决定旋转角= /4.当a12=0时,虽然 也无意义,但这时方程中已经不含交叉项,就用不到转轴变换了.,例 利用转轴变换,消去二次曲线x2+2xy+y2-4x+y-1=0中的交叉项.,解 设旋转角为,由决定方程得 可取 , 故转轴公式为： 代入原方程化简整理得转轴后的新方程为,4.2.3 二次
7、曲线的判别（Quadratic curve discriminant）,从前面的讨论可知，二次曲线化简的关键是如何消去方程中的交叉项xy和一次项。化简一般二次曲线方程，首先要判别二次曲线的类型，然后根据曲线的类型，采用不同的坐标变换。 二次曲线的类型可以用I2来判别：当I20时,二次曲线是中心型曲线；当I2=0时,二次曲线是非中心型曲线.又可以细分为以下3种类型： (1) 椭圆型：I20， (2) 双曲型：I20， (3) 抛物型：I2=0。 注：二次曲线类型判别的严格证明，参看后文的利用不变量化简曲线方程部分。,4.2.4 二次曲线的化简与作图（Simplification and grap
8、hing of Quadratic curves）,根据坐标变换下方程系数的变化规律，对于中心型二次曲线，可以先求出曲线的中心，通过移轴变换消去一次项，然后再作转轴变换时，就不用整理一次项了。而对于非中心型二次曲线，由于曲线没有中心，只能先作转轴变换。这就是说，要根据曲线的类型，采用不同的化简方法。,1)中心型二次曲线(I20)的化简与作图：,对于中心型二次曲线，采用“先移后转”，较为简便。 其具体步骤是： 1、解中心方程组，求出曲线的中心(x0,y0) ； 2、作平移变换，消去一次项； 3、利用旋转角公式，求出cos 、sin ； 4、作旋转变换，消去交叉项，得到曲线的标准方程； 5、将旋转
9、变换代入平移变换，得到直角坐标变换公式； 6、作出新旧坐标系O-xy、O-xy和O-xy ，在新坐标系下按照标准方程作出曲线的图形。,例 化简二次曲线方程5x2+4xy+2y2-24x-12y+18=0，并画出它的图形。,解 因 I252-2260，所以曲线为中心型二次曲线。“先移后转”。 1、解中心方程组 得到曲线中心（2,1） 2、做移轴变换 原方程变为5x2+4xy + 2y2-12=0 这里实际上只需计算F (2,1)12，因为移轴时二次项系数不变,一次项系数变为0。 3、再做转轴变换消去xy项，令 得 tan =1/2 或 tan =-2 取 tan =1/2，可得 cos =2/5
10、1/2，sin = 1/51/2,4、转轴变换公式 ：,代入,可将方程化简为 标准方程是 这是一个椭圆,如图所示. 作图要点：要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形,必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角.本题中坐标系O-xy平移到(2,1)成O-xy,再把坐标系O-xy旋转角得 O-xy.在新坐标系O-xy 中根据椭圆的标准方程作图.,注：本题转轴时若取tan-2，,则可得cos =1/51/2，sin = -2/51/2 ，所得的转轴公式是 得到的标准方程为 , 图形相对于原坐标系的位置不变。此时Ox轴的正向恰好是图中y 轴的反向。,例 化简二次曲线方程x2-3xy+y2+10
11、x-10y+21=0,写出坐标变换公式并作出它的图形,解 因为I20,所给的二次曲线是双曲型的. 中心方程组 解得中心坐标为 ( 2,2) .作移轴变换 原方程化为 再作转轴变换 ， 得旋转角为 .故转轴变换为,二次曲线的方程化简为,标准方程为 这是一条双曲线,其图形如图所示。 作图时,先将坐标系O-xy平移到(-2,2)成O-xy,再把坐标系O-xy旋转角 / 4得 O-xy.在新坐标系O-xy 中根据双曲线的标准方程作图.,将转轴公式,代入移轴公式, 得坐标变换公式为,注：利用移轴可以直接化简缺少xy项的二次曲线方程,化简的关键是找到恰当的移轴公式.常用的方法有配方法和代入法.在应用配方法
12、时必须注意,要分别先对关于x与y的项进行集项,然后把x2与y2项的系数括出来再配方. 利用直角坐标变换的方法化简曲线方程，不仅能够得到曲线的标准方程，而且同时得到坐标变换公式，并能作出曲线的图形，这是其它方法所不能做到的。,2)非中心型二次曲线( I2=0)的化简与作图：,对于非中心型二次曲线，采用“先转后移”，较为简便。其具体步骤是： 1、利用旋转角公式，求出cos 、sin ； 2、作旋转变换,消去交叉项，同时消去1个二次项； 3、对转轴后的方程“配方”，先配二次项,再配一次项； 4、令“配方”后的括号内分别为x和 y (相当于作平移变换),得到曲线的标准方程。 5、将平移变换代入旋转变换
13、,得到直角坐标变换公式。 6、作出新旧坐标系O-xy，O-xy和O-xy ,在新坐标系下按照标准方程作出曲线的图形。,例 化简二次曲线方程下x2+4xy+4y2+12x-y+1=0 ,写出坐标变换公式并画出它的图形。,解 由于I2=14-22=0,曲线是非中心型的,应先转轴后移轴。 1、设旋转角为,则有 得 tan =-1/2 或 tan =2 取 tan =2(若取 tan =-1/2 ,同样可将原方程化简),则有： cos =1/51/2，sin = 2/51/2 2、得转轴公式为,代入原方程化简整理得转轴后的新方程为,配方得： 3、再做移轴变换 曲线方程就化为最简形式 4、写成标准方程为
14、：,这是一条抛物线.它的顶点是新坐标系O-xy 的原点,原方程的图形可以根据它在坐标系O-xy 中的标准方程作出,如图 所示.,将移轴公式代入转轴公式,得坐标变换公式为 作图要点：坐标系O-xy旋转角tan2成O-xy,再把坐标系O-xy 平移,得到O-xy.在新坐标系O-xy 中可根据抛物线的标准方程作图.为了看出曲线在原坐标系中的位置,作图时需要将新旧坐标系同时画出.,例 化简二次曲线方程 2x2+xy-3y2-13x-2y+21=0,解 计算得I2 0, I3 = 0,可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线,表示两条相交直线直接将原方程左边分解因式,得 (x-y +3)(2x + 3y-7)
15、 = 0, 故原二次曲线的方程表示两条相交直线 x-y + 3 = 0 和 2x + 3y-7 = 0. 综上所述,利用直角坐标变换化简二次曲线方程,不仅可以得到二次曲线的标准方程,还可以写出所作的坐标变换公式,并作出曲线的图形,这正是直角坐标变换的优势所在.,4.2.5 二次曲线方程的分类（Classification of equation of Quadratic curves),根据上面的讨论可知,对于中心型二次曲线,先通过移轴消去一次项,再通过转轴消去交叉项,曲线的方程可化为标准方程 按照标准方程系数的正负,中心型二次曲线又分为椭圆型和双曲型 () 椭圆型: I2=a11a220。
16、1 实椭圆: a330, a11 a330 ； 3 点椭圆: a33=0。,() 双曲型： I2=a11a220。,4 双曲线： a330； 5 两条相交直线： a33=0。 对于非中心型曲线也称为抛物型曲线,通过转轴消去交叉项,再对转轴后的方程“配方”,曲线的方程可化为标准方程 或 按照系数情况分为,() 抛物型：I2=0， a11=0， a220。,6 抛物线： a130； 7 一对平行的直线： a13=0， a22 a33 0; 8 无轨迹(两平行共轭虚直线)： a13=0， a22 a33 =0; 9 一条直线(两重合直线)： a13=0， a33=0。 抛物线6没有对称中心,称为无心曲线。7-9类型的曲线有无穷多对称中心,他们构成一条直线,也称为线心曲线。 综上所述,通过适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面9种标准方程中的一种形式(为简便起见,标准方程中的撇号略去),一般二次曲线按照标准方程，可以分为3类9种： 椭圆 椭圆型：I20 虚椭圆 点椭圆 双曲型：I20 双曲线 一对相交直线 抛物型：I2=0. 抛物线 一对平行直线 一对虚平行线 一对重合直线,End,