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1、,1.4 Stirling近似公式,1.2 一一对应原理,2,1.4 Stirling近似公式,组合计数的渐进值问题是组合论的一个研究方向。 Stirling公式给出一个求n!的近似公式，它对从事计算和理论分析都是有意义的。,1) Wallis公式,3,1.4 Stirling近似公式,则有递推关系,令n! =,135(n-2)n，n是奇数。 246(n-2)n，n是偶数。,则,n是奇数,n是偶数,4,1.4 Stirling近似公式,5,1.4 Stirling近似公式,所以,(2k)! (2k-1)!,2,6,1.4 Stirling近似公式,2)stirling公式,7,1.4 Stir
2、ling近似公式,令An= lnxdx=xlnx| dx=nlnnn+1 tn=ln1+ln2+ln(n1)+lnn=ln(n!)lnn tn的几何意义是由x轴,x=n,以及连接(1,0), (2,ln2),(n1,ln(n1),(n,lnn)诸点而成的折线围成的面积。,n n n 1 1 1,1 1 2 2,1 2,8,1.4 Stirling近似公式,Tn=+ln2+ln(n1)+lnn,1 1 8 2,Tn是由三部分面积之和构成的。一是曲线 y=lnx在x=k点的切线和x轴，以及x=k, x=k包围的梯形，当k分别为2,3,n-1 时的面积之和；一是由y=lnx在x=1点的切 线，x=3
3、/2线，以及x轴围城的梯形；另一 是由y=lnn,x=n,x=n及x轴包围的矩形 面积。因而有 tnAnTn,1 2,1 2,1 2,9,1.4 Stirling近似公式,所以n! 2n () 令bn=An tn.序列b1,b2,是单调增，而且有上界，故有极限，令 limbn=b1 由(1-3-4),(1-3-5) 得 bn=nlnnn+1ln(n!)+lnn = lnnn+1ln(n!)+ln n ln(n!)=1bn+ lnn ln n lne n!=e n (),0AntnTntn=,1 8,n,1 2,n,n n,1-bn,n e,n,10,1.4 Stirling近似公式,令n=e ,limn=. 将(1-3-8)代入(1-3-3),整理得 = 2 .,n,1-bn,n e,n,