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1、汕头金山中学高二下学期月考考试试题（数学理）第卷（选择题共 40 分）一、选择题（本大题共8 小题，每小题 5分，共 40 分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1下列各组向量中不平行的是（）A a(1,2,2), b(2, 4,4) B c(1,0,0), d(3,0,0)C e(2,3,0), f(0,0,0)D g(2,3,5), h(16,24, 40)2命题“若 x, y 都是偶数，则xy 也是偶数”的逆否命题是A若 xy 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B 若 xy 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C若 xy 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数 D若 xy
2、不是偶数，则x 与 y 都不是偶数x2 23函数 y x1 ( x1) 的最小值是 ()A 2 3 2B 2 3 2C 2 3D 24若抛物线 y2422x 的焦点与椭圆xy1 的左焦点重合，则m 的值为（）A - 1mB 173C-2D2225已知命题p :x0,cos 2 xcos xm0 为真命题，则实数 m 的取值范围是（）2A.9 , 1B.9 , 2C. 1,2D. 9 ,)8886.已知函数 f ( x)exmx 的图像为曲线C，若曲线 C 不存在与直线 y1 x 垂直的切线，2则实数 m的取值范围是A.m1B.1C.m 2D.m22m2设函数 f ( x)1 xln x( x
3、0), 则 yf (x)()131A 在区间 (,1),(1,e) 内均有零点。B在区间 (,1),(1,e) 内均无零点。eeC 在区间 (1,1) 内有零点，在区间(1,e) 内无零点。eD 在区间 ( 1 ,1) 内无零点，在区间(1,e) 内有零点。e8.定义方程 f ( x)f( x) 的实数根 x0 叫做函数 f (x) 的“新驻点” ，如果函数 g( x)x ，用心爱心专心- 1 -h(x)ln( x 1) ， ( x)cos x（ x(， ) ）的“新驻点” 分别为， ，那么，的大小关系是（）ABCD第卷（非选择题共 110 分）二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共
4、30 分）9在长方体 ABCDA1B1C1 D1 中， B1C 和 C1D 与底面所成的角分别为60和 45，则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为10若双曲线x2 y 2 =1 的渐近线与圆( x 2) 2y23 相切，则此双曲线的离心率a2b2为11直线3ykxb与曲线 yx ax1相切于点（2 3），则 b 的值为_，12.周长为 20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_13设曲线 yxn1 (n N * ) 在点（ 1 ， 1 ）处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn , 令anlg xn ，则 a1a2a99 的值为14. 如图所示，f (x) 是定
5、义在区间 - c, c （ c 0 ）上的奇函数，令g ( x) = a f (x) +b ，并有关于函数g(x) 的四个论断：若 a 0 ，对于 - 1, 1内的任意实数 m, n （ m 0 恒成立；n- m函数 g( x) 是奇函数的充要条件是b = 0 ；若 a 1， b 0 ，则方程 g(x) =0 必有 3 个实数根；aR ， g ( x) 的导函数 g (x)有两个零点；其中所有正确结论的序号是用心爱心专心- 2 -三、解答题（本大题共 6小题，共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分 12 分）由曲线 y x2 和直线 y t2(0 t 1) ，
6、x 1， x 0 所围成的图形 ( 阴影部分 ) 的面积的最小值是多少？x 2y2x 轴16（本小题满分 12 分） 已知命题 p ：方程tt1 所表示的曲线为焦点在31上的椭圆；命题q ：实数 t 满足不等式 t2(a1)ta （ 1）若命题 p 为真，求实数 t 的取值范围；（ 2）若命题 p 是命题 q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围17（本小题满分 12 分）如图，圆柱的高为 2，底面半径为 3， AE、 DF 是圆柱的两条母线， B、 C 是下底面圆周上的两点 , 已知四边形 ABCD是正方形。D（ 1）求证： BCBE ；（ 2）求正方形 ABCD的边长；A（ 3）求直线
7、EF 与平面 ABF 所成角的正弦值。FCEB18. （本小题满分 14分）某学校拟建一座长60 米 , 宽 30米的长方形体育馆按照建筑要求,每隔 x 米需打建一个桩位 , 每个桩位需花费4.5 万元（桩位视为一点且打在长方形的边上）,桩位之间的 x 米墙面需花 (23x) x 万元 , 在不计地板和天花板的情况下, 当 x 为何值时 ,所需总费用最少？用心爱心专心- 3 -19. （本小题满分x2y214 分）已知椭圆b2 1 (0 b 2 2) 的左、右焦点分别为128F和 F，以 F1 、F2 为直径的圆经过点M（ 0， b）.（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设直线 l 与椭圆相交于A，
8、B 两点，且 MAMB0 . 求证：直线 l 在 y 轴上的截距为定值 .20. （本小题满分 14 分）设函数 f (x) x2b ln( x 1) ，其中 b0 .（ 1）讨论 f ( x) 在定义域内的单调性；（ 2）是否存在最小的正整数N ，使得当 nN 时，不等式 ln n 1n31 恒成立 .nn用心爱心专心- 4 -汕 金山中学高二下学期月考 （数学理）参考答案一、 （共8 小 ，每小 5 分，共40 分）12345678DCAACCDD二、填空 （本大 共6 小 ，每小 5 分，共30 分）9610 211 -15 12.4三、解答 ：15（本小 分12 分）4000cm2 1
9、3 -2 14. 27解： S(t)t1x2t 2dx = 4 t 3t 21t 2x2dx0t33令 S (t)0 得 t0（舍）或1 6 分2函数在 (0, 1) 减；在 (1 ,) 增22当 t1 取最小 1 14 分2416（本小 分12 分）x 2y2x 上的 解（ 1）方程1 所表示的曲 焦点在3 tt 1 3tt10 3 分解得：1t1 6 分（ 2）命 P 是命 q 的充分不必要条件1t1 是不等式 t 2( a1)ta (t1)(ta)0 解集的真子集分法一：因方程t2(a1)ta (t1)(ta)0 两根 1,a 故只需 a1 1分法二：令f ( t)t 2(a1)ta ，
10、因 f ( 1)0, 故只需 f (1)0 分用心爱心专心- 5 -解得： a1 12 分17（本小 分 12 分）解：（1）AE 是 柱的母 AE 底面 BEFC, 1 分又 BC面 BEFCAEBC 2分又ABCD是正方形ABBC又 AEAB ABC面 ABE 3分又 BE面 ABEBCBE 4分z（ 2） 四 形AEFD 矩形，且 ABCD是正方形EF/BCDBCBE四 形 EFBC 矩形BF 柱下底面的直径 5 分A 正方形ABCD的 xx， AD=EF=AB=FCy在直角AEB 中 AE=2，AB=x ，且 BE2+AE2 = AB 2 ，得 BE2 = x 2-4在直角BEF 中
11、BF=6， EF=x ，且 BE2+EF2 = BF 2 ，的x EBBE2=36- x 2 6 分解得 x = 25 ，即正方形 ABCD的 2 5 7 分（ 3）解法一：如 以F 原点建立空 直角坐 系 ,则 A( 25 ，0，2),B(25 ，4，0),E(25 ，0，0),FA ( 2 5 ，0， 2),FB ( 25 ，4，0),FE( 2 5 ， 0， 0) 8 分 面 AEF的法向量 n( x ， y ， z ) ， nFA(x ,y ,z )(25,0 ,2)25x + 2z0 10 分nFB(x ,y ,z )(25, 4 ,0)25x - 4y0令 x1， y5 , z5,
12、 即 n( 1 ，5 ， - 5 ) 11 分22 直 EF 与平面 ABF 所成角的大小 ， nEF2 52 29sinCOS n, EFEF529n21554 13 分用心爱心专心- 6 -所以直 EF 与平面 ABF 所成角的正弦 2 29 。 14 分2918（本小 分14 分）解： 由 意可知，需打2( 601)2( 30 1)180xxx 面所需 用 ： (23x )x180180(23x)x个 位3 分， 5 分所需 用y1809(23x )x18029360180(3x )2x（0x30 ） 9 分33令 t93x ， t9233( 32x2 ) ，2x2 x2x2x2当0x3
13、 ， t0 ；当 3x30 ， t 0 当 x3 ， t 取极小 t293 39 32而在 (0,30)9当 x91170 （万内极 点唯一，所以tmin3 ， ymin 18036022元），即每隔3 米打建一个 位 ，所需 用最小 1170 万元 14 分19.（本小 分14 分）（ 1）由 知 bc ，又 a2 2 ，所以 b c2，故 方程 x2y281 ； 4 分4（2）因 M (0,2) ，所以直 l 与 x 不垂直 . 直 l 的方程 ykxm ，x2y21得 (2 k 21)x24kmx 2m2A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) . 由 8480 ，ykxm所以
14、 x1x24km, x1 x22m28 ，2k 212k 21又 MAMB0 ，所以 (x1, y12)(x2 , y2 2)0 ，用心爱心专心- 7 -即 x1 x2y1 y22( y1y2 ) 4 0 ，x1 x2(kx1m)( kx2m)2(kx1mkx2m)40 ，整理得(k 21)x1 x2k (m2)( x1x2 )(m 2)20 ，即 (k 21) 2m28k (m2)(4km)(m2)20 ，2k212k 21因 m 2，所以 2(k 2 1)(m 2) 4k2 m(2 k 21)(m 2) 0 ，2展开整理得 3m20，即 m3. 直 l 在 y 上的截距 定 2. 14 分
15、320.（本小 分14 分）解：（ 1）函数定 域 ( 1, )/b2x22xbf (x)2xx1x 1记 g ( x)2x22xb 3 分1）当 g( x) 在 (1,) 无解，即 b11,) 增 ， f ( x) 在 (22）当 g( x) 在 (1,) 有两个不等 根，即2x22x b0 在 ( 1,) 有两个不等 根， ， 48b01 ， f (x) 在 ( 1,112bg ( 1)0，即 0 b2) 增，在2( 112b ,112b ) 减，在 ( 112b,) 增2223）当 g( x) 在 (1,) 有一 根，f (x) 在 ( 1,112b ) 减，在2112b) 增9 分(,2（ 2） 于函数 f xx2ln( x1) ，令函数 h xx3f ( x) x 3x2ln( x 1) ，则 h/ x 3x22xx13x3( x1) 2，当 x0,)时， h /x0，1x 1所以函数 h x 在 0,)上 增，又h( 0)0, x( 0,) ，恒有 h xh(0) 0 ，用心爱心专心- 8 -即 x 2x3ln( x 1) 恒成立 . 取 x1(0, ) ， 有 ln n111恒成立 .nnn2n3 然，存在最小的正整数N=1，使得当 nN ，不等式n111lnnn2n3 恒成立 . 用心爱心专心- 9 -