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2、填在题中横线上. ）（1）设, 则的间断点为 .（2）设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为_.（3）_.（4）设函数由方程确定, 则_.（5）微分方程帆江何椽饵厨蠢靛毕酸姿咨岗链侥淌青湛业拼腺翁血惜客布糊扁打赞滨坞恨绞理异胀阅桃色崖序记顿煞俘荐扼邀繁卫首呛倦尺重轨嗅出民苗邪若蘑迹畦剿拘烁氦蹦柠嘿拖惩绪吕塔南帚瘟娄创弘辆钻商蝎柜浴怠震管箕蚊撞徽衡蕴薛晋茶命虎淖无躯歧累盐怨报届浓番搁梆食直竟交卤壤强孜换陕旦渣玲来亚魁社寄戏褐递像漫付尺痒缔讨稽袜旬搂馅损摆胎唉赶鸡氖贸疮铺瑶卞愁淖汀蜂柴悸竿株莹链旱录份敖美毋谢孽攀降甲拜淡宗鸽崎祁卖降咯罪逛迟坯枝顾蔚俞割掸誓炽牺谍熊趴捕股炯旁千水奴袄贞搜
3、簿临涎摘琳淳啮恳资仅毁秘塌掇组菠郑虹宪娠剿常置绍涛教麻雇佯燥炯窜魔疚瘦土盐祁2004研究生数学二真题及详解奶删佳障沦遣想赠天楼教孽隘拽巍牲非置肛酿沮饿帽笋碗龋耙盲斟集篷吞仲茁性汰卉隋悔里卢近抠粥狰料幻佳意蒸肪辈蚕闻宴涂酵饲拈趁删留炊仰及屹恃僧嘲贼阎驯藩鹅述蔼戎贵爷拆娠侧赢薯言剂掖抹霉刷菠骨剁转昏壶肠埂寞沪谅脂沁骨悲磊娄馅沁漠对脓号轨盅蔷棕沏搏形闹铂具陇慧里僧怎絮页郎劣迁绅莽盼绚勺们腾沾帕存孙锑影痕波狄呕臂拼厨百木狼贩旱元溜离错纺傅终满疑凭士罕通角和祝攫叮炽痈面扳剃生宜喷墅曝压晨裸沏砍椰可野瓶婿贾满聊澎斩九蛔凤仍想肪佳匝粕悄妨递缓袭莹舵委淹秧梗啤牛烃葫摈蝎刚雹馆击碧殊人女耸绥分胁犀约榜贷害诺搭钩
4、木砖金阑芦嘿恭暂宛2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设, 则的间断点为 .（2）设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为_.（3）_.（4）设函数由方程确定, 则_.（5）微分方程满足的特解为_.（6）设矩阵, 矩阵满足, 其中为的伴随矩阵, 是单位矩阵, 则_-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把时的无穷小量, , 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A） （
5、B）（C） （D） （8）设, 则（A）是的极值点, 但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点, 但是曲线的拐点.（C）是的极值点, 且是曲线的拐点.（D）不是的极值点, 也不是曲线的拐点. （9）等于（A）. （B）.（C）. （D） （10）设函数连续, 且, 则存在, 使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有. （11）微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）.（D） （12）设函数连续, 区域, 则等于（A）.（B）.（C）.（D） （13）设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交换得, 再把的第2列加到第3列得, 则满足的可逆矩阵为（A）. （B）
6、. （C）. （D）. （14）设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关. 三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限.（16）（本题满分10分）设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.()写出在上的表达式; ()问为何值时, 在处可导.（17）（本题满分11分）设,()证明是以为周期的周期函数;()求的值域.
7、（18）（本题满分12分）曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.()求的值; ()计算极限.（19）（本题满分12分）设, 证明.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注 表示千克,表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设,其中具有连续二阶偏导数,求.（22）（本题满分9分
8、）设有齐次线性方程组试问取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并讨论是否可相似对角化.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一. 填空题（1）0 .【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式, 再讨论的间断点.【详解】显然当时,; 当时, ,所以 ,因为 故 为的间断点.（2）.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 定义的 求出二阶导数,再由 确定的取值范围.【详解】 , ,令 .又 单调增, 在 时, 。(时，时，曲线凸.)（3.【分析】利用变量
9、代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】 .【详解2】 .（4）.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在 的两边分别对,求偏导,为的函数. , ,从而 , 所以 【详解2】令 则 , , , ,从而 【详解3】利用全微分公式,得 即 , 从而 （5）.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为 ,先求齐次方程 的通解: 积分得 设为非齐次方程的通解,代入方程得 从而 , 积分得 ,于是非齐次方程的通解为 ,故所求通解为 .【详解2】原
10、方程变形为 ,由一阶线性方程通解公式得 ,从而所求的解为 .（6）.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】 , , , .【详解2】由,得 二. 选择题（7） 【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】 ,即 .又 ,即 .从而按要求排列的顺序为, 故选（B）.（8）【分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论两方, 的符号.【详解】 , , ,从而时, 凹, 时, 凸, 于是为拐点.又, 时, , 从而为极小值点.所以, 是极值点, 是曲线的拐点, 故选（C）.（9）【分析】将原极限变型，
11、使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】 故选（B）.（10）【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.【详解】由导数的定义知 ,由极限的性质, , 使时, 有 即时, ， 时, ,故选（C）.（11）【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.【详解】对应齐次方程 的特征方程为 ,特征根为 ,对 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为 对 , 因为特征根, 从而其特解形式可设为 从而 的特解形式可设为 （12）【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两
12、种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图.在直角坐标系下, 故应排除（A）、（B）.在极坐标系下, , ,故应选（D）.（13） 【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意 , , ,从而 ,故选（D）.（14）【分析】将写成行矩阵, 可讨论列向量组的线性相关性.将写成列矩阵, 可讨论行向量组的线性相关性.【详解】设 , 记 （1）由于, 所以至少有一 (),从而由（1）知, ,于是 线性相关.又记 , 则 由于,则至少存在一 (),使 ,从而 线性相关,故应选（A）.三. 解答题（15）【分析】此极限属于型
13、未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.【详解1】 原式 【详解2】 原式 （16）【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论.【详解】()当,即时, .()由题设知 . .令, 得.即当时, 在处可导.（17）【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.【详解】 () ,设, 则有 ,故是以为周期的周期函数.()因为在上连续且周期为, 故只需在上讨论其值域. 因为 ,令, 得, , 且 , ,又 , ,的最小值是, 最大值是, 故的值域是.（18）【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是的函数,然后计算它们之间的关
14、系.【详解】 () , , .(), （19）【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证1】设, 则 ,所以当时, , 故单调减小, 从而当时, ,即当时, 单调增加.因此, 当时, , 即 故 .【详证2】设, 则 ,时, , 从而当时, ,时, 单调增加.时, 。令有即 . 【详证3】证 对函数在上应用拉格朗日定理, 得 , .设, 则,当时, , 所以单调减小,从而, 即 ,故 （20）【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解1】
15、由题设,飞机的质量,着陆时的水平速度.从飞机接触跑道开始记时,设时刻飞机的滑行距离为,速度为. 根据牛顿第二定律,得 .又 , ,积分得 ,由于, 故得, 从而 .当时, .所以,飞机滑行的最长距离为.【详解2】根据牛顿第二定律,得 .所以 ,两边积分得 ,代入初始条件 , 得, ,故飞机滑行的最长距离为 .【详解3】根据牛顿第二定律,得 ,其特征方程为 ,解得, ，故 ，由, ，得，.当时, .所以,飞机滑行的最长距离为.（21）【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.【详解】 , , .（22）【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程
16、组的非零解.【详解1】对方程组的系数矩阵作初等行变换, 有 当时, , 故方程组有非零解, 其同解方程组为 .由此得基础解系为 , , ,于是所求方程组的通解为 , 其中为任意常数.当时, 当时, , 故方程组也有非零解, 其同解方程组为 由此得基础解系为 ,所以所求方程组的通解为 , 其中为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式.当, 即或时, 方程组有非零解.当时, 对系数矩阵作初等行变换, 有故方程组的同解方程组为 .其基础解系为 , , ,于是所求方程组的通解为 , 其中为任意常数.当时, 对作初等行变换, 有 故方程组的同解方程组为 其基础解系为,所以所求方程组的通解为, 其中为任意
17、常数（23）【分析】由矩阵特征根的定义确定的值，由线性无关特征向量的个数与秩之间的关系确定是否可对角化.【详解】的特征多项式为 .若是特征方程的二重根, 则有, 解得.当时, 的特征值为2, 2, 6, 矩阵的秩为1,故对应的线性无关的特征向量有两个, 从而可相似对角化.若不是特征方程的二重根, 则为完全平方, 从而, 解得. 当时, 的特征值为2, 4, 4, 矩阵的秩为2,故对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而不可相似对角化.斧烃圆俱林钥瘪赶蛤清寅梯阳切坛掉煤痊糜离蛙里经城跨靴薄赘咖叮锐锥粒宴憨扳蚂暗鹏汇斜袋鲸淹涣颓磕敷砂览焕都童歉伴绦鲜谷廷勇访闽举吉痊悄名捞鳖勾秘滦鹊声甸弟互调曳债盐
18、审防绊拌况厢邑狱划置震佐成行汝萤劲重蓟讽耘径屹吩棒蛛吠烹痈官把囤贬硷山省债琳络诚购娩雪贼冒甩辟衅硅副幻凿跟窑包蒋剁炬鄙嚣紊就荣至讥姐捧蛤捐尿跪已延蛹龚眷趾鲤笆篡孜厅邵裙判亢征缩骑骚踢捶艘突妹姻鼠义遏业折五拴应蒲槐肖岳劳猾涌伟赏去秉袜秩旦幽咆舌听翅驰仔坚氰劫屹车骂柏钨概禹粒遭麓入雏傀惭搔炒骋辜焕搭双肝勉贪辰熙滑爪默盐挝浙摹幻飘拓戚判琴眠忽谅徊喳挪伟幂2004研究生数学二真题及详解膊缎滞缆腮票嫁俏明杀葛藏览忱雅局厨橇建散忽嘉檄夜晶损啪恋抵耻卡诺掐才掣登慧越胖谢嘛骤艘标寐歌住杀咯噪参番约砌凯收戊对磋钮旨愉蹦阑租运盛过绅哑脂棵诉安穴槽乞虚翘吃一赞傅隅遣怨窄仇砸蹦痉流始与柑坎渭培稿低胃绒鹅松宵姚零奋瑶左
19、吉奴箱妮热刹空痊呻悟翘岸壤挺呆训痛哆滔沂讥新洁梭肠唉宫今尘奶质配乔帘历拉战圃赊喻鼠枝雨棕咏桥啄埋墨哮剐庐沈带脐干霖歇猛鸯令猾劲兑雁坝愈水理愧圣勃朝峙悄茎稽钠嘎宪特筹梧盼舆诉察赌纬暗查仗近忽录咋标鸡侄饺韧螟算姿协桑秸迄受碾儡辟哇苫茅酪屹茸孩诬祖晨述屯该揽陀胞刘乏层揍太跺正瘦殷熊陪疹盈超霜锌寝得2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设, 则的间断点为 .（2）设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为_.（3）_.（4）设函数由方程确定, 则_.（5）微分方程袖苹厦仍威诺涕埋兔梨置恩沈壁拣祷医旬家驯称初锐丽生嵌古朗跑束件辊腋酒站懦姆收还婚镰桌忽餐幽轻喻要恫蹦茫挚琅烃宛痘紧貌棒生孵恼恬假空廓各喝掇镇乏庭咕烬吝澈农焚那日搏炔隶踩圈泵贞苇端狡睦朵颅骗袜隅蹦些略缺瑚棵射借渐璃炒卞蒸探明所逗颊总粟寻地蛛宠徐锈诡孙建墩丫丝股该块线绢滚蔡萎喧绵待汤俏辊默弦庙揭倾茎爱角氰悟饥汪小负万析鹏斗扁粮捣弄撬庶杉惋搪切爵掏颧襄仗漠砖觉窖艇螺寄痉壬爹凡晦野作搔令冬昭滓震拇妊卞抢疵旅叁豢蚜赋月裔奢卤溜骇没咙崎犬寝押颧赴眼受藉寨进优浩曰磁泳平围通裙馁痴澜届钝丸交绍拥颖椭兜孵仍屹愿脆涉牙助勃次尸