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1、广东广州 2019 年高三年级1 月调研测试 - 数学（理）数学理总分值： 150 分、时间： 120 分钟本卷须知1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 . 用 2B 铅笔将试卷类型 A填涂在答题卡相应位置上 .2、选择题每题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 .3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 . 不按以上要求作
2、答的答案无效 .4、作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答 . 漏涂、错涂、多涂的，答案无效 .5、考生必须保持答题卡的整洁 . 考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回.【一】选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，总分值 40 分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、i 为虚数单位，那么复数i ( 23i 对应的点位于A、第一象限 B. 第二象限 C、第三象限 D、第四象限2、集合 A 0,1,2,3,4 ，集合 B x | x2n, n A ，那么 A BA、 0 B、 0,4 C、 2,4 D、 0,2,43、函数log2, 那么1的值
3、是fxx x 03x , x0f f4A、 9 B、 1 C、 9 D、 1994. 设向量 a2, x 1， bx 1, 4，那么“ x 3 ”是“ a / b ”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件5、函数 y f ( x) 的图象向右平移单位后与函数 ysin 2x 的图象重合，6那么 y f (x) 的解析式是A、C、fxcos(2x)B、 f xcos(2x)36fxcos(2x)D、 f xcos(2x)636、四棱锥 P ABCD 的三视图如图 1 所示，那么四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积最大的是334A、 3 B、 2 5 C、 6
4、 D、 87、在区间1, 5 和 2, 4 分别取一个数 , 记为 a, b ,正视图侧视222俯视图图1那么方程 x2y 2表示焦点在 x 轴上且离心率小于3 的椭圆的概a2b212率为A、 1 B、 15 C、 17 D、 3123232328、在R 上定义运算: x y x(1y). 假设对任意x 2 ，不等式x axa 2都成立，那么实数 a 的取值范围是A、1, 7 B、, 3C、, 7 D、, 17,【二】填空题：本大题共7 小题，考生作答 6 小题，每题 5 分，总分值 30 分、一必做题 913 题9. 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，假设 a3a4a512 ，那么
5、S7的值为 .10. 假设2-19的展开式的常数项为84，那么 a 的值为 .(ax)x11. 假设直线 y 2x m 是曲线 y x ln x 的切线，那么实数 m 的值为 .12. 圆 x2y22x 4 y150 上到直线 x 2 y0 的距离为5 的点的个数是 _.13. 图 2 是一个算法的流程图，那么输出 S 的值是 .二选做题 1415 题，考生只能从中选做一题14. 几何证明选讲选做题如图3， AB 是 O 的一条弦，点 P 为 AB上一点，PCOP ， PC 交 O 于 C ，假设 AP4 ， PB2 ，BC POA图 3那么 PC 的长是15 、 坐 标 系 与 参 数 方
6、程 选 讲 选 做 题 圆 C 的 参 数方 程 为xcos ,( 为参数 ), 以原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极ysin,2坐标系，直线l那么直线l的极坐标方程为sincos1 ,截圆 C 所得的弦长是 .【三】解答题：本大题共6 小题，总分值80 分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、16. 本小题总分值 12 分 V ABC 的内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且.a1, b2, B3(1) 求 sin A 的值；(2) 求 cos 2C 的值 .17. 本小题总分值 12 分某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数
7、如下表所示：中学为了了解参加考人数状况，该高校采ABCD30402010试的学生的学习纳分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50 名参加问卷调查 .1问 A, B,C , D 四所中学各抽取多少名学生？2从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率； 3在参加问卷调查的 50名学生中，从来自 A,C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用 表示抽得 A 中学的学生人数，求 的分布列 .18. 本小题总分值 14 分如图 4, 四棱锥 P - ABCD ，底面 ABCD 是正方形， PA 面 ABCD ，点 M 是 CD 的中点，点N 是 P
8、B 的中点 , 连接AM , AN , MN .(1) 求证： MN / 面 PAD ；P2假设 MN = 5 , AD3，求二面角 N - AM - B 的余弦值 .N19. 本小题总分值 14 分如图 5, 抛物线 P : y2x ，直线 AB 与抛， uur uuur uuurA物线 P 交于A, B两点，OA OB，OC与 AB 交于点 M .OA + OB = OCyDMC1求点 M 的轨迹方程；A图 42求四边形 AOBC 的面积的最小值 .MC图 5OxB20.本小题总分值 14 分在数 1和 2 之间插入 n 个实数 , 使得这 n 2个数构成递增的等比数列, 将这 n2 个数
9、的乘积记为 A , 令 alogA , n N*.nn2n(1) 求数列 An 的前 n 项和 Sn ；(2)求 Ttan atan a4tan atan atan a2 ntana.n2462 n 221.本小题总分值14 分假设函数f ( x) 对任意的实数 x1， x2 D ，均有f (x2 ) f (x1)x2x1，那么称函数f ( x)是区间D 上的“平缓函数”(1)判断 g(x) sin x 和 h(x)x2x 是不是实数集 R 上的“平缓函数”，并说明理由；(2)假 设 数列 xn对 所 有 的正 整 数 n 都 有xn1， 设xn 1(2n1)2ynsin xn ,求证：1 .
10、yn 1y14参考答案【一】选择题1.A分析：，其对应的点为，位于第一象限2.D分析：，3.B分析：，4.A分析：当时，有，解得；因此，但，故“”是“”的充分不必要条件5.B分析：逆推法，将的图象向左平移个单位即得的图象，即6.C分析：三棱锥如下图，7.B分析：方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，有，即，化简得，又，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故8.C分析：由题意得，化简得上恒成立，由二次函数，故不等式，故原题等价于图象，其对称轴为化为在，讨论得或，解得或，综上可得【二】填空题9.28分 析 ： 方 法 【 一 】 差 不 多 量 法 由得，即，化简
11、得，故方法【二】等差数列中由可将化为，即，故10.1分析：，令，得其常数项为，即，解得11.-e分析：设切点为，由得，故切线方程为，整理得，与比 得，解得，故12.4分 析 ： 圆 方 程化 为 标 准 式 为，其 心坐 ，半径，由点到直 的距离公式得 心到直 的距离，由右 所示， 上到直 的距离 的点有 4 个、13.3018分析：由 意得，；以上共 503 行， 出的14.分析：如 ，因 ，因此是弦中点，由相交弦定理知，即，故15.分析： 的参数方程化 平面直角坐 方程 ，直 的极坐 方程化 平面直角坐 方程 ，如右 所示， 心到直 的距离，故 截直 所得的弦 【三】解答 16. 本小 要
12、 考 同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知 ， 考 化 与 化的数学思想方法， 以及运算求解能力1解 : ,依据正弦定理得 : 1 分即, 解得. 3 分(2) 解: ，. 4 分. 5 分, 6 分. 7 分,. 8 分 9 分 10 分. 12 分17、本小 要 考 分 抽 、概率、离散型随机 量的分布列等基 知 ，考 数据 理、推理 、运算求解能力和 用意 ，以及或然与必定的数学思想 1解：由 意知，四所中学 名参加 高校今年自主招生的学生 人数 100 名，抽取的 本容量与 体个数的比 . 应 从四 所 中 学 抽 取 的 学 生 人 数 分 别 为. 4 分2解：
13、“从参加 卷 的名学生中随机抽取两名学生， 两名学生来自同一所中学” 事件，从参加 卷 的名学生中随机抽取两名学生的取法共有C种， 5 分这 两 名 学 生 来自 同 一 所 中 学的 取 法 共 有CCCC. 6 分.答：从参加 卷 的名学生中随机抽取两名学生，求 两名学生来自同一所中学的概率 . 7 分(3) 解：由 1知，在参加 卷 的名学生中，来自两所中学的学生人数分 .依 意得，的可能取 ，8 分，11 分的分布列 ： 12 分18、本小 要 考 空 面位置关系、二面角等基 知 ，考 空 想象、推理 、抽象概括和运算求解能力，以及化 与 化的数学思想方法1 法 1：取的中点， 接，点
14、是的中点 ,. 1 分点是的中点，底面是正方形，. 2 分.四 形是平行四 形 . 3 分平面，平面，面 4 分 法 2： 接并延 交的延 于点， 接，点是的中点，, 1 分点是的中点 . 2 分点是的中点 ,. 3 分面，平面，面. 4 分 法 3： 取的中点， 接，点是的中点，点是的中点 ,，.面，平面，面. 1 分面，平面，面. 2 分，平面，平面，平面面. 3 分平面，面. 4 分2解法 1：，面，面. 5 分面，. 6 分过作，垂足 ， 接，面，面，面. 7 分面，. 8 分是二面角的平面角 . 9 分在 Rt中，,，得， 10 分在 Rt中，得，. 11 分在 Rt中， 12 分.
15、 13 分二面角的余弦 . 14 分解法 2：，面，面.在 Rt中，,，得， 5 分以点 原点，所在直 ，所在直 ，所在直线为 ，建立空 直角坐 系， 6 分那么.，. 8 分 平面的法向量 ，由，得令，得，.是平面的一个法向量 . 11 分又是平面的一个法向量，12 分. 13 分二面角的余弦 . 14 分19. 本小 要 考 抛物 、求曲 的 迹、均 不等式等基 知 ，考 数形 合、函数与方程、化 与 化的数学思想方法，以及推理 能力、运算求解能力、 新意 解法一 :1解： ，是 段的中点 . 2 分， 3 分. 4 分，. 5 分依 意知，. 6 分把、代入得：，即. 7 分点的 迹方程
16、 . 8 分(2) 解：依 意得四 形是矩形，四 形的面 9 分.11 分，当且 当 ，等号成立，12 分.13 分四 形的面 的最小 .14 分解法二 :(1) 解: 依 意 , 知直 的斜率存在 , 直 的斜率 ,由于, 那么直 的斜率 . 1 分故直 的方程 , 直 的方程 .由消去, 得.解得或. 2 分点的坐 . 3 分同理得点的坐 ，是 段的中点 . 5 分4 分 点的坐 ,那么 6 分消去, 得. 7 分点的 迹方程 .8 分(2) 解：依 意得四 形四 形 的面 是矩形， 9 分 10 分 11 分. 12 分当且 当四 形, 即 时 , 等号成立 . 13 的面 的最小 .
17、14 分分20. 本小 要 考 等比数列的通 公式、数列的前 和等基 知 ，考 合情推理、化 与 化、特 与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理 能力、运算求解能力(1) 解法1: 设构成等比数列, 其中,依 意 , 1 分, 2 分由于, 3 分得. 4分,. 5 分, 6 分数列是首 , 公比 的等比数列7 分. 8 分解法2: 设构成等比数列 , 其中, 公比 ,那么, 即 1 分依 意 , 得 2 分 3 分 4 分. 5 分, 6 分数列是首 , 公比 的等比数列.7分(2) 解:由(1)得,. 8 分, 9 分, 10 分N . 11 分. 14 分21. 本小 要 考 函数
18、、 不等式等基 知 ，考 函数与方程、分 与整合、化 与 化的数学思想方法， 以及抽象概括能力、推理 能力、运算求解能力、 新意 (1) 解：是 R上的“平 函数”，但不是区 R的“平 函数”；设，那么, 那么是 数集R上的增函数，不妨 ，那么，即，那么.1 分又也是 R上的增函数，那么，即， 2 分由、得.因此 ,， 都成立 . 3 分当 ，同理有成立又当 ，不等式，故 任意的 数 ，R,均有.因此是 R上的“平 函数” . 5 分由于 6 分取，那么， 7 分因此，不是区 R的“平 函数” . 8 分2 明 : 由 1得：是 R上的“平 函数”，那么，因此. 9 分而，. 10 分, 11 分. 12 分 13 分. 14 分