《第一单元数与式.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一单元数与式.ppt（101页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1,第一单元 数与式,第1课时 实数的有关概念 第2课时 实数的大小比较及运算 第3课时 整式及因式分解（含代数式） 第4课时 分 式 第5课时 二次根式,第一单元 数与式,2,第1课时 实数的有关概念,中考考点清单 常考类型剖析,第一单元 数与式,3,中考考点清单 考点1 实数的相关概念 考点2实数及其分类 考点3科学记数法 考点4 平方根、算术平方根和立方根,第一单元 数与式,4,常考类型剖析 类型一 实数的相关概念 类型二 科学记数法 类型三 无理数、负数的识别,第一单元 数与式,正负数及其意义,（1）正负数的概念:大于0的数就是正数,在正数面加“-”号的数叫负数,如1, , ,1.5是
2、正数,-, ,-0.618, 是负数,考点1 实数的相关概念（高频考点）,第一单元 数与式,温馨提示,第一单元 数与式,(2)正负数的意义:正负数可用于表示具有相反意义的量.例如:若把向东走3 km,记作“+3 km”,那么向西走2 km可记作“-2km”.,一般地,常用来表示具有相反意义的量有:“收入”与“支出”,“升高”与“降低”,“零上”与“零下”,“前进”与 “后退”,“海平面以上”与“海平面以 下”等.,第一单元 数与式,.数轴,规定了 、 和单位长度的直线叫做数轴.任何实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示,即实数与数轴上的点是一一对应的.,原点,正方向,3.相反数,(1)如果两个数
3、只有 不同,那么其中一个数叫做另一个数的相反数.如与-2互为相反数,-3的相反数是3,符号,第一单元 数与式,(2)一般地,a的相反数是 -a,特别地,0的相反数是0;如-2014的相反数是2014; (3)若a,b互为相反数,则 a+b=0; (4)在数轴上,表示互为相反数(0除外)的两个点,位于原点两侧,并且到原点的距离相等.,第一单元 数与式,温馨提示,第一单元 数与式,4.绝对值,(1)概念:一般地,数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作.,|a|,(2)性质:,-a,第一单元 数与式,即正数的绝对值是它 ,零的绝对值是零,负数的绝对值是它的 ;互为相反数的两个数的绝对值
4、. 具有非负性,即 .如 的绝对值是 ,|2|= .,本身,相反数,相等,2,第一单元 数与式,【方法指导】 (1)若绝对值中带有计算的先计算， 再求绝对值,如 (2)若|a|中a为两数之差,需先比较两数大小,保证|a|去掉绝对值号后结果为非负数,如 = .,1,第一单元 数与式,5.倒数:实数a（a0）的倒数为 ,特别地,0没有倒数,倒数是其本身的数是或-.,【归纳总结】(1)若a、b互为倒数,则 ； (2)一个数 或 颠倒分子、分母的位置得到的 数 或 是原数的倒数.如的倒数是 -4的倒数是 的倒数是-2014.,第一单元 数与式,6.无理数 (1)概念:无限不循环小数叫做无理数 (2)常
5、见的几种无理数:根号型: 等开方开不尽的数；某些三角函数: ， 等（但 ， 等不是无理数）;构造型: 如0.1010010001（每两个之间零的个数依次 加）;及某些含的数:，等,第一单元 数与式,返回目录,试题链接,考点2实数及其分类,.实数 有理数和无理数统称为实数,2.实数的分类 （1）按定义分类,第一单元 数与式,(2)按正负分类 实数可分为正实数，零和负实数，其中正实数和零统称为非负数,第一单元 数与式,返回目录,考点3 科学记数法（高频考点）,科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成 的形式，其中是整数位数只有一位的数（即， ）这种记数法叫做科学记数法例如：1320000用科学记
6、数法表示为 ；15.2万用科学记数法可表示为 ；0.0032用科学记数法表示为 .,第一单元 数与式,【方法指导】 用科学记数法表示一个数时,关键是确定a和n的值,其中1|a|10,(1)当原数的绝对值大于或等于10时,n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1;(2)当原数的绝对值大于且0小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数 (小数点前的零);(3)含有计数单位(如:亿、万、千)的数用科学记数法表示时,若需转化单位，则先把计数单位转化为数字表示,再用科学记数法表示,其中亿、万、千的进制分别为,第一单元 数与式,近似数和有效数字 (1)近似数:一个与实际数很接
7、近的数 (2)有效数字:一个近似数 到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位;这时从左边数第一个不是零的数字起,到精确到的数位为止,所有的数字都是这个近似数的有效数字.对于用科学记数法表示的数 ,规定它的有效数字就是a中的 .,四舍五入,有效数字,第一单元 数与式,返回目录,试题链接,平方根、算术平方根 若 ,则 是 的一个平方根,记作 ,我们把 的正平方根叫做 的算术平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.如9的平方根为 .,考点4 平方根、算术平方根和立方根,立方根 若 ,则称 为 的立方根,记为 .正数有一个正的立方根;负数有一个负的立方根;0的立方根是
8、0.如8的立方根为2,-64的立方根为 -4.,第一单元 数与式,非负数 (1)在开立方运算中，被开方数为任意实数；(2) 1.定义：0和所有的正数统称为非负数初中所学的三种非负数形式有 2.性质：(1)所有非负数均大于0或等于0; (2)几个非负数的和为0，则这几个非负数各自为0.如 则 即 解得,【温馨提示】 (1)在开立方运算中，被开方数为任意实数； (2),第一单元 数与式,返回目录,类型一 实数的有关概念,例1 （13青岛改编） 的相反数是（ ）,A.-6 B.6 C. D.,【点评与拓展】掌握相反数的定义是求解此类问题的常用方法一般地，求一个数的相反数可直接在所给数字前加一个“负号
9、”，再运算得出结果.,【解析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可知 的相反数是 .,D,第一单元 数与式,变式题 （13昭通）4的绝对值是（） A. B. C. 4 D.- 4,【解析】,变式题2 （14原创)2014的倒数是（）,A.2014 B. C.2014 D.,【解析】 2014的倒数是,C,B,第一单元 数与式,返回考点,类型二 科学记数法（重点）,例2 (13常德)打开百度搜索栏,输入“数学学习法”,百度为你找到的相关信息有12000000 条,请用科学记数法表示12000000 .,【解析】科学记数法的表示形式为 其中 n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时
10、，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值大于0且小于1时，n是负数.,第一单元 数与式,【点评与拓展】将一个大数用科学记数法表示为 形式时,关键是确定a和n的值, ,n为正整数,其值等于原数的整数位数减去.在做这类题的选择题时,可先用 排除不合适选项,再用原数整数位数减确定n的值.,第一单元 数与式,变式题3 (13自贡)在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米.194亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D.,A,第一单元 数与式,返回考点,类型三 无理数、负数的识别,【解析】2、3.14、 都是有理数,故A、B、C
11、选项错误; 是无理数,故D选项正确.,例3 (13常州)在下列实数中,无理数是( ) A.2 B. 3.14 C. D.,【方法指导】识别无理数的关键是正确理解无理数的概念.熟悉常见的几种无理数形式,可参见本课时考点1中无理数的讲解.,D,第一单元 数与式,变式题(13桂林)下面各数是负数的是( ) A.0 B.-2013 C. D.,【解析】、0既不是正数,也不是负数;、-2013 是负数;C、 是正数,D、 是正数.,B,第一单元 数与式,返回考点,30,第2课时 实数的大小比较及运算,中考考点清单 常考类型剖析,第一单元 数与式,中考考点清单 考点1 实数运算 考点2 实数的大小比较,第
12、一单元 数与式,常考类型剖析 类型一 实数的运算 类型二 实数的大小比较,第一单元 数与式,考点1 实数的运算, 四则运算的法则 (1)加法：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值 相加.异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不 等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值 减去较小的绝对值.一个数同相加,仍得这个数. (2)减法:减去一个数等于加上这个数的 . (3)乘法:两数相乘,同号得 ,异号得 , 再将两数的绝对值相乘. (4)除法:除以一个不为的数,等于乘以这个 数 .,相反数,正,负,倒数,第一单元 数与式,2. 常见实数运算类型及法则, ，, .,1,1,第一单元 数与式,
13、，, .,-1,1,第一单元 数与式,3.实数运算步骤 步骤一:将实数混合运算中所涉及的每一小项的值计算出来,一般包含零次幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根等运算,对于其他运算符号保持不变 步骤二:按照实数混合运算顺序计算,具体操作如下:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行 步骤三:得出最终结果.,第一单元 数与式,考点2 实数的大小比较,.数轴比较法:数轴上的两个数右边的数总比左边的数大. .性质比较法:正数大于和一切负数，负数小于;两个负数比较大小,绝对值大的数反而小.如 .作差比较法:(1)a-
14、b0 ab ;(2)a-b ab ;(3) a-b= a =b. 4.平方比较法:,第一单元 数与式,【方法指导】在一组既有正数、0,又有负数的数字中,若求最大数,直接从正数中找,若求最小数,直接从负数中根据负数的大小比较法则找.,第一单元 数与式,类型一 实数的运算（重点）,【思路点拨】根据去绝对值法则和负整数指数幂以及零指数幂的运算法则化简，再由特殊角的锐角三角函数计算即可,解：原式= = =,例1 （14原创）计算：,第一单元 数与式,【解题模板】,第一单元 数与式,变式题1 （13湘西州）计算:,解：原式= = =,第一单元 数与式,类型二 实数的大小比较,例2 （13宜宾）下列各数中
15、,最小的数是 ( ) A. 2 B. -3 C. D.0,【解析】由正数负数知，要在2,-3, ,0中找最 小的数,只需在-3与 中找即可,再由两个负数比较大小,绝对值大的反而小可得结果. ,即-3最小.,B,第一单元 数与式,【点评与拓展】解答此类问题,关键是正确掌握比较两数大小的法则.也可利用数轴比较有理数的大小,法则是在数轴上的数右边的总比左边的大. 变式题2 （13钦州）比较大小-1 2（填“”或“” ）. 【解析】负数都小于正数， ,第一单元 数与式,44,中考考点清单 常考类型剖析,第课时 整式及因式分解（含代数式）,第一单元 数与式,中考考点清单,考点1 代数式及其求值 考点2
16、整式的相关概念 考点3 整式的运算 考点4 因式分解,第一单元 数与式,常考类型剖析 类型一 代数式求值 类型二 整式的运算 类型三 整式化简求值 类型四 因式分解,第一单元 数与式,考点1 代数式及其求值,1.代数式:把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫代数式 2.列代数式:用含有数、字母及运算符号的式子把问题中的数量关系表示出来,就是列代数式.,第一单元 数与式,3.代数式求值 (1)一般地，用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出结果,叫代数式求值. (2)常用代数式求值的方法:直接代入求值法、整体代入求值法.如:直接代入法:若 则代数式 的值为整体代入法:已知a
17、b=,a-b=,则 的值为 .,5,6,第一单元 数与式,考点整式的相关概念,1单项式:字母与字母或数字与字母的叫做单项式.一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数;单独的一个数或一个字母单项式,如:2a是单项式，a单项式(填“是”或“不是”). 2多项式:几个 的和叫做多项式.组成多项式的每个单项式叫做多项式的项,多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数,如:代数式 是 次项式 3整式: 和统称为整式,积,是,是,单项式,五,三,单项式,多项式,第一单元 数与式,1. 整式的加减运算 (1)同类项:所含 相同,并且 的指数也相同的项叫做同类项;所有常数项都是同类项. (2
18、)合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项;合并同类项时,把 相加,所含字母和字母的指数不变.如 (3)整式加减法的运算法则:先去括号,再合并同类项.,考点3 整式的运算,字母,相同字母,系数,第一单元 数与式,【温馨提示】去括号法则:(1)括号前是“”号,把括号去掉时,原括号里各项的符号都不变;(2)括号前是“”号,把括号和它前面的“”号去掉,原括号里各项符号都要改变.,第一单元 数与式,2.幂的运算(a 0，m，n都是整数),第一单元 数与式,3. 整式的乘法运算,第一单元 数与式,4.整式的除法运算,第一单元 数与式,5.整式混合运算及求值的一般解题步骤,第1步:运算各项
19、乘除法.利用整式乘除法法则（单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式等）及乘法公式（平方差公式: ,完全平方公式: 将每一项乘法展开,并给每项运算加上括号. 第2步:去括号.根据括号前的符号情况,若括号前为“”，则去括号时各项不变号;若括号前为“”,则去括号时各项要改变符号,第一单元 数与式,第3步:找出同类项并合并.将算式中同类项连同其 前面的符号放在一起,并用括号括起来,再用合并 同类项法则进行合并. 第4步:得出运算结果.整式化简的最后结果是算式 中各项都是单项式加法的形式,且不存在同类项. 第5步:代值计算.将所给值代入整式化简的结果 中,并按照运算法则计算数值.其实质是实
20、数运算.,第一单元 数与式,考点4 因式分解,1.把一个多项式化成几个整式的 的形式,像这样的式子变形,叫做把这个多项式因式分解;因式分解与整式乘法互为逆运算. 2.基本方法 (1)提公因式法: .,积,第一单元 数与式,（2）公式法,第一单元 数与式,3.一般步骤 （1）如果多项式各项有公因式,应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法:为两项时,考虑平方差公式;为三项时,考虑完全平方公式;为四项时,考虑利用分组的方法进行分解; （3）检查分解因式是否彻底,必须分解到每一个多项式都不能再分解为止 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”,中考考点清单,类型一 代数式求值,例1
21、 （13吉林）若 则 .,【解析】,1,第一单元 数与式,【点评与拓展】解决此类问题,一般注意有三种形式:所给代数式已是最简形式,直接代入数字求值即可;所给代数式通过变形后有的部分与已知代数式相同,可考虑用整体代入法;所求代数式虽复杂,但可进行因式分解、合并同类项等,先化简代数式,再代入求值,第一单元 数与式,变式题1 （13河北）若 ，则 ( ) A.3 B.-3 C.5 D.-5,【解析】将 代入得,A,第一单元 数与式,类型二 整式的运算,例2 （13安徽）下列运算正确的是 （ ）,A. B. C. D.,【解析】A. 无法计算,故此选项错误；B. ,故此选项正确;C. ，故此选项错误；
22、D. ，故此选项错误.,C,第一单元 数与式,【点评与拓展】掌握合并同类项、幂的运算、乘法公式是解决此类问题的关键，一般是运用法则对每个选项逐个判断并加以排除，直至选出正确项为止.,第一单元 数与式,变式题2 （13沈阳）下面计算一定正确的是（ ） A. B. C. D.,【解析】A. ,故本选项错误; B. ,故本选项错误；C. ， 故本选项正确；D. ,故本选项错误.,C,第一单元 数与式,类型三整式化简及求值,例3 （14原创）先化简,再求值： 其中 .,【思路点拨】先去括号，再合并同类项，将整式化为最简式，然后把的值代入即可,第一单元 数与式,解：原式= 当 时，原式= 【点评与拓展】
23、此类问题应先利用整式混合运算的法则对所给代数式进行化简，注意去括号法则的应用，最后代入字母的值求解.,第一单元 数与式,变式题3 （14原创）先化简，再求值： ，其中 .,解：,第一单元 数与式,类型四 因式分解,例4 （13烟台）分解因式： .,【解析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解，,第一单元 数与式,【点评与拓展】对于分解因式问题,首先观察所给代数式有无公因式,有公因式则先提公因式,再看是否能用公式,一般两项可考虑用平方差公式,三项考虑用完全平方公式.最后检验是否分解彻底.注意因式分解的结果一定是几个因式乘积的形式.,第一单元 数与式,变式题4 （13山西）因式分解： .,【
24、解析】,第一单元 数与式,72,中考考点清单 常考类型剖析,第4课时 分 式,第一单元 数与式,中考考点清单,考点1 分式的概念及性质 考点2 分式的运算,第一单元 数与式,常考类型剖析 类型一 分式化简 类型二 分式化简求值,第一单元 数与式,考点1 分式的概念及其性质,1.分式的概念:形如 (A、B是整式,B中含有字母,且B0)的式子叫做分式.,【温馨提示】(1)分式有意义:在分式 中,当分母B0时,分式 有意义;(2)分式无意义:在分式 中,当分母B=0时,分式 无意义;(3)分式的值为零:分式 的值为零的条件是分子 且分母 .,第一单元 数与式,分式的性质 (1)分式的基本性质： （A
25、、B、M 是整式,且 ）.,(2)约分：把分式的分子与分母的 约去，这样的分式变形叫做分式的约分最简分式：分子、分母无公因式的分式.,公因式,第一单元 数与式,【温馨提示】约分的关键是找最大公因式，确 定最大公因式的方法：（1）确定系数：求各个系数的最大公约数；（2）确定因式（如果分母是多项式，要先因式分解）：选择所有因式中出现的相同因式；（3）确定指数：选择相同因式中指数最低的次数,第一单元 数与式,（3）通分：把几个异分母的分式化成与原来分式相等的同分母分式 （4） ：通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母.,【温馨提示】通分的关键是找最简公分母,取最简公
26、分母的方法:系数应当是各个分母的系数的最小公倍数,字母和式子应当取各个分母的所有字母和式子,每个字母或式子的指数应当取各分母中次数最高的,最简公分母,第一单元 数与式,考点2 分式的运算,_,_,_,1,_,第一单元 数与式,_,第一单元 数与式,2.分式化简求值题的一般步骤,第一步：若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉简称：去括号； 第二步：若有除法运算的，将分式中除号（）后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“”变为“”，保证几个分式之间除了“、”就只有“或”，简称：除法变乘法；,第一单元
27、 数与式,第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算； 第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算直到化为最简形式； 第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义.,第一单元 数与式,类型一 分式化简,例1 （13咸宁）化简 的结果为 .,【解析】原式=,第一单元 数与式,变式题1 （13郴州）化简 的结果为（ ） A.-1 B.1 C. D.,B,第一单元 数与式,返回,类型二 分式化简求值,例2 (13永州)先化简,再求值: 其中 【思路分析】先将括号内的第一项约分，再进行同分母分式的加法运算，再将除法转化为乘法，进行化简，最后将代入化简后的式子计算即
28、可,第一单元 数与式,返回,变式题2 （14原创） 先化简，再把 取一 个你喜欢的数代入求值：,第一单元 数与式,第一单元 数与式,88,第5课时 二次根式,中考考点清单 常考类型剖析,第一单元 数与式,中考考点清单 考点1 二次根式及其性质 考点2 二次根式的运算及估值,返回目录,第一单元 数与式,返回目录,常考类型剖析 类型一 二次根式有意义的条 类型二 二次根式的运算,第一单元 数与式,考点1 二次根式及其性质,1. 二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式 2. 二次根式有意义的条件：被开方数 使 有意义的条件为： a ，即a. 3. 二次根式的性质： （1） （ a ）；如：
29、 （2） （ a ）；如： （3） （ a ，）；如：,大于等于0,第一单元 数与式,（4） （ a ，）；如：,考点2 二次根式的运算及估值,最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下两个条件： （）被开方数中不含； （）被开方数中不含能 的因数或因式如 故 不是最简二次根式. （填“是”或“不是”）最简二 次根式.,分母,开得尽方,是,第一单元 数与式,2.二次根式的除法 （1）乘法： （，）. （2）除法： （，）. 3.二次根式加减法的三个步骤： （1）把每个根式化简； （2）把被开方数相同的二次根式的系数相加减； （3）被开方数保持不变,第一单元 数与式,4二次根式混合运算：二次根式
30、混合运算法则与实数运算相同，即先算乘方，乘除，再算加减，有括号的先算括号内的. 【方法指导】对于二次根式的混合运算题，首先将所含二次根式化为最简形式，再做乘方，乘除运算，注意二次根式性质的合理应用，最后化为只含有加减的运算，再将被开方数相同的二次根式进行合并，从而得出结果.,第一单元 数与式,5.二次根式的估值 二次根式估值时，一般先对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，并对它们进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间，例如：估算 在哪两个整数之间时，先对 平方，得，再找与相邻的两个能开得尽方的数4和9，因为479，所以 4 9.,第一单元 数与式,类型一 二次根式有意
31、义的条件,例1 （13广州）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D.,【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被 开方数大于或等于0，分母不等于0，得：,D,第一单元 数与式,【点评与拓展】二次根式的性质要求被开方数必须大于或等于0，分式有意义的条件为分母不等于0，因此在计算该类代数式中字母的取值范围时，应同时考虑两个条件：二次根式及分式都有意义,第一单元 数与式,变式题1 （14原创）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的值可以是 .,【解析】根据题意得： 解得 在此范围内 取值均可以.,0（答案不唯一）,第一单元 数与式,类型二 二次根式的运算,例2 （14原创）计算：,【点评与拓展】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般按照先乘除，再加减的运算顺序进行.,第一单元 数与式,陕西万唯图书有限公司,变式题2 （14原创）下列各式计算正确的是( ） A. B. C. D.,A,第一单元 数与式,【解析】,第一单元 数与式,