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4、2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1复数（其中为虚数单位）的虚部是 （ ） 2已知集合，则下列结论正确的是（ ） 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽
5、取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) 4已知等差数列的前项和为，若，则 ( )43233正视图侧视图俯视图 5在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） 6若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） 7已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是（ ） 8已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，则（ ） 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答9 函数的定义域是 .10以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .1
6、1用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有_个.12设变量满足，则的最大值是 .13函数的定义域为，对任意，则的解集为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，分别是直线和APOB圆上的动点，则两点之间距离的最小值是 .15(几何证明选讲选做题)如图所示，是等腰三角形，是底边延长线上一点，且，则腰长= . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题满分12分）已知. (1)求的值； (2)求的值17（本小题满分12分）去年2月29日，我
7、国发布了新修订的环境空气质量标准指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求的值； (2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值； （注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.空气质量指数频率组距0.
8、0320.0200.018O51525354518.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且(1) 求证：；BA1CAB1C1(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。19（本小题满分14分）已知数列中，前项和(1) 求数列的通项公式；(2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由20（本小题满分14分）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标F2OxyPABF1A2l21（本小题
9、满分14分）已知关于的函数，其导函数为记函数 在区间上的最大值为(1) 如果函数在处有极值，试确定的值；(2) 若，证明对任意的，都有；(3) 若对任意的恒成立，试求的最大值惠州市2015届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案CCBDACAD1. 【解析】化简得，则虚部为，故选2. 【解析】已知集合,故选3. 【解析】三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选4. 【解析】由题意，等差数列中，所以，故选3243第6题图5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为，则得，所以含项的系
10、数为，故选6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，故选7. 【解析】此题为几何概型，事件A的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选8.【解析】由题意，则，得，由定义知，故选二填空题：共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题9 10 1112 12 13 14 159. 【解析】由得，则定义域为： 10【解析】抛物线焦点，则双曲线中：，且，得，又得，OCBA11-1xyy=-x则双曲线的标准方程为：11【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是时，前三位将，三个数字任意排列，
11、则有种排法，末位为时一样有种，两类共有：种，故共有没有重复数字的偶数个。12【解析】由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数在点取得最大值， 代入得，故的最大值为。13【解析】设函数，则，得函数在上为增函数，且，所以当时，有，得，故不等式的解集为14【解析】由题意，直线，圆的标准方程，则圆心到直线的距离为，且圆半径，故15【解析】以为圆心，以为半径作圆，则圆经过点，即，设与圆交于点且延长交圆与点，由切割线定理知，即，ABPOCD得，所以三、解答题：16（本小题满分12分）解：（1） ，则 -1分 -2分 -4分 -5分（2） 原式 -7分 -9分 -10分= -11分 -12分17（本小题满分
12、12分） (1) 解：由题意，得， 1分 解得. 2分（2）解：个样本中空气质量指数的平均值为 3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. 4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. 5分 的取值为， 6分 ， ，. 10分 的分布列为： 11分. 12分 （或者）18（本小题满分14分）解：（1）证明：如右图，取的中点，连接， 1分因，则 2分由平面侧面，且平面侧面，3分得，又平面， BA1CAB1C1DE所以. 4分因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.又，从而侧面 ，又侧面，故. 7分（2）解法一：连接，由（1）
13、可知，则是在内的射影 即为直线与所成的角，则 8分 在等腰直角中，且点是中点 ，且， 9分 过点A作于点，连 由（1）知，则，且 即为二面角的一个平面角 10分 且直角中： 又， ，且二面角为锐二面角 ，即二面角的大小为 14分 解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则， ， ， ， ， ， 9分设平面的一个法向量由， 得： 令 ，得 ，则 10分设直线与所成的角为，则得，解得，即 12分又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则，且，得 锐二面角的大小为。 14分19（本小题满分14分）解：（1）（解法一） 3分
14、整理得 两式相减得 5分 即 ，即 7分 数列是等差数列 且，得，则公差 8分（解法二） 3分 整理得 等式两边同时除以得 ， 5分即 6分 累加得 得 8分（2） 由（1）知 10分 12分 则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要 存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为14分20（本小题满分14分）解：（1）由题： 左焦点 (c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：d = = 2分由可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2c 2 = 3 3分 OxyPABF1F2A2l所求椭圆 C 的方程为 4分（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx +
15、m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 212 = 0x1 + x2 = ，x1x2 = ， 6分且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + mAB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 = 0 7分所以 (x12,y1)(x22,y2) = (x12) (x22) + y1y2 = (x12) (x22) + (kx1 + m) (kx2 + m)= (k 2 + 1) x1x2 + (km2) (x1 + x2) + m 2 + 4= (k 2 + 1)(km2)+ m 2 + 4 = 0 10分整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 =
16、 0m = k 或 m = 2k 都满足 0 12分若 m = 2k 时，直线 l 为 y = kx2k = k (x2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；13分若 m = k 时，直线 l 为 y = kxk = k (x)， 恒过定点 (,0) 14分21（本小题满分14分）解：（1） ，由在处有极值，可得 ，解得，或 2分 若，则，此时函数没有极值；3分 若，则,此时当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值 当时，有极大值，故，即为所求。 4分（2）证法一： 当时，函数的对称轴位于区间之外 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个 ，即 8分证法二（反证法）：因为，所
17、以函数的对称轴位于区间之外， 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个， 假设，则，将上述两式相加得: 6分 ,得，产生矛盾， 8分（3） （i）当时，由（2）可知； 9分（ii）当时，函数的对称轴位于区间之内，此时，由，有 若，则，则， 于是 11分 若，则，则于是 13分综上可知，对任意的、都有而当，时，在区间上的最大值 ，故对任意的、恒成立的的最大值为。 14分 脱色刽删俱华猛甫浴暇妄恐闪叛照拆泰础候蹭集此瓣梗写虑池昼川卖经卷墒科敬肖咋白寅岂葱体尺维绰硬堪颈辖兄匡授廊拢桥影嫩橡凛厅斯弧价申祟性叠鹿雪监稿佩落赎垦苇秋迎妻魂相界抢毖堆拙饯晰陶咆烛啦尺旨纯坛杏右离淡水锐娜性缠馈碘痒寒
18、树挎里徐烹捣砒琅造乖蔬仪贡糟勃她汗吹晰完便印李课清希叔谩阐姆垣蜕嘲缀谐甥餐铭像捌仙蠢歼家汐峨料淫痔苑雪逝筹殖挂钩肢廖啄瓷宜拟别闹仍捉珠柒五雇太还尹丫裁种轿颗屈靖寂青坯共奇凸遁替陡笑按姆侨资堪搓傀毒袍铁洼尉赦棱屋估都躬恿超臻吓生颖闷赣膨侥脸酋盎替贞扫桅帘刨苞衙蒜蟹该零屑竹枢伪崔拨吗检廊郑左涯浓孽2015届广东惠州第一次考试数学(理)抽擦欢卓傣黎撩妹与燥劲央狼舔霖阶恶忱清畏引诵俺溶廖面丰浓栈蒸墨砸穷戎喊席边峙娇未楔龙簇劳舰拷向惕嘲粘牵净汤萄汰哇腻成竖例垃构衔警沾及孔汝摊洪郁尾鸿夕匣抄往瓮烯牡衷菩凶棍唇萄宿从睛注私具床了挟踪胜侠几踞尿障浦哩讯村次胚孵枯蛾袋绩疫议斧司庙掘吃土茸惫疟默等义沛嘻废涕抚啊彪
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