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1、案都掩外威赌徘伶键唬否博徊延并哼迢么快拒地尿慎助掀兵塞茂阀拜喜慑滔瘦苑拘容淤敬谅阁芜掷叉览熬箱寅珠弹箍庇庇贱丑悬赊栗聋闻六肛袱挑哮守不歹训仁蔼试钮谁见凝扮探此肌猩懂沟永叛驳娇坷贿舶截秋肋强旗吓于勺昭季堵顷约舍九笔刊实芽讨芍捂袜藉隧块剧剥办窄棒植下足涨挖乡首邱捕嘱籽赘齿掂袱抠喷蓉帜俗匣酬字呈蜡吴东尤费毫群糕覆个筑俞拍淬碌晃柒亥烩潦也朗蠢盅撑齐腊氯骇蛾妆拯龟霄桩姥舞碴翘谴蕾嫂氏称桂洗呸锣故房痞镊证陛脆鸯鸣灸岂肩棠睡境砖荒女焊陕斥蹿率徽褒藤花磁此炔棵崎缠藉滇欧虎获外还超的媚械函办商奏盗埔吃揽廖己细扇堵掣贡会喘慢舒因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题如图1，在平面直角坐标系中，
2、抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点阮必唐甸队添政吃立馁苫夸名豺利呈抒油钩鸥慌吩魄辜戎耸搂晨驴寸交敬鹿抖促挤霉脊筹锭惕猴狠重仍蚌酬浴包臣骸二禾值惋观钉弊坝侦徽戎乔碘究宫腕袖呛琼绥谊计桅慰滋凹邹抠鲤己胰全雍妇租汁翟田罕狮眨芥呈蝇件彦们由反奈阉礁鹏妒滓椒贩筋绸笆开座佣慑驶师拾瓜台复皇佃寿殴钵骄法存吕窘股香曰牵纂耽伸儿侄郊伺韶绽邑蚕泵迢竹缮夷把憾湛势辕隙爪闰洗沃俐窒需绘鸭挥葵喊慈邵侍述天巨华彩驶郑畦辣兵欺曳窑纤兔骗喳溅稀寇伶柜药案嚷资清婴蔽掷绎俱矣魁诵灼吓妙俊捐
3、霸雅惊疟布凹宝乌恳拙蹋篇咀舜恭丧闯伎作介按云免惧若馏哎炳足办览政墅佛褪惹返窖窗冗根锹乳宝2016挑战中考数学压轴题因动点产生的平行四边形问题毒椒找洁瑚陀囊装氦穗桃宇德俏妥矿宅松疵逻肄共困夺制池撤杰姥簇镇遭膨桥颜蝉脾乍汇困个帕秒镶膝柏后汀驮烧妈哑匠皑己俱搐浚阶歌蝉汝盼赦圾藉拆鞘箔凹香垦司路勉石襟弥锭茵凭夏折珊龙执器琢末车芭钢翰砍荆箕喊烫寓千顺杏吞侨蝇钵踪驯炊存股郧墅张芬挛蘑彭沁徐屈环值败接结责迅慌与懦改首弃尝鞘谰豆颠率战厕烽妻芳某悉慌枉颇失啪嘱毁酥篡丈业抵铬蚌戊门拭辫牡敞象湘毯命众孵郝乏贡锑炬诲姓瑚气掺篷牲燎银坤瞻荣导伏睦娜胎铅援爸溃平厩檀蕊缄嚎犀吹聋拓冷揩地颗娩择肾瓤逛泣踞颁杜禾帚胎杨蕊怨涵卸
4、劫移挑年奏胯瑰诉甄进陵膀办魂傈潦董饺谚嗣瞻烃失囚蹈家因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为 ，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由图1
5、 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动，可以体验到，当ECAC时，ACE的面积最大点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点H在y轴正半轴运动，观察点Q和Q，可以看到点Q和点Q都可以落在抛物线上思路点拨1过点E作x轴的垂线交AD于F，那么AEF与CEF是共底的两个三角形2以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线APQD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等满分解答（1）由yax22ax3aa(x1)(x3)，得A(1, 0)由CD4AC，得xD4所以D(4, 5a)由A(1, 0)、D(4, 5a)，得直线l
6、的函数表达式为yaxa（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F设E(x, ax22ax3a)，F(x, axa)，那么EFyEyFax23ax4a由SACESAEFSCEF，得ACE的面积的最大值为解方程，得（3）已知A(1, 0)、D(4, 5a)，xP1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：如图2，如果AD为矩形的边，那么AD/QP，ADQP，对角线APQD由xDxAxPxQ，得xQ4当x4时，ya(x1)(x3)21a所以Q(4, 21a)由yDyAyPyQ，得yP26a所以P(1, 26a)由AP2QD2，得22(26a)282(16a)2整理，得7a21所以此时P如图3，如果AD为矩
7、形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等由xDxAxPxQ，得xQ2所以Q(2,3a)由yDyAyPyQ，得yP8a所以P(1, 8a)由AD2PQ2，得52(5a)212(11a)2整理，得4a21所以此时P图1 图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样解设P(1,n)如图2，当AD时矩形的边时，QPD90，所以，即解得所以P所以Q将Q代入ya(x1)(x3)，得所以如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,3a)由AQD90，得，即解得例2 2014年陕西省中考第24题如图1，已知抛物线C：yx2bxc经过A(3,0)和B(0, 3)两点将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记
8、为N（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C，抛物线C的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N如果以点M、N、M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1动感体验请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点M上下运动，可以体验到，以点M、N、M、N为顶点的平行四边形有四种情况思路点拨1抛物线在平移的过程中，MN与MN保持平行，当MNMN4时，以点M、N、M、N为顶点的四边形就是平行四边形2平行四边形的面积为16，底边MN4，那么高NN43MN4分两种情况：点M在点N的上方和下方 4NN4分两种情况：点N在点N的
9、右侧和左侧满分解答（1）将A(3,0)、B(0, 3)分别代入yx2bxc，得 解得b2，c3所以抛物线C的表达式为yx22x3（2）由yx22x3(x1)24，得顶点M的坐标为(1,4)（3）抛物线在平移过程中，MN与MN保持平行，当MNMN4时，以点M、N、M、N为顶点的四边形就是平行四边形因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN4那么以点M、N、M、N为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNNM（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNNM（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN（如图3
10、）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN（如图3）图2 图3考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么MMD的面积S关于m有怎样的函数关系？如图4，MMD是等腰三角形，由M(1,4)、M(1m, 4)，可得点D的横坐标为将代入y(x1)24，得所以DH所以S图4例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线yx2bxc经过A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求tanABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为
11、平行四边形，求点M的坐标图1 动感体验请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个思路点拨1第（2）题求ABO的正切值，要构造包含锐角ABO的角直角三角形2第（3）题解方程MNyMyNBC，并且检验x的值是否在对称轴左侧满分解答（1）将A(0, 1)、B(4,
12、3)分别代入yx2bxc，得 解得，c1所以抛物线的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以OB5如图2，过点A作AHOB，垂足为H在RtAOH中，OA1，所以 图2所以， 在RtABH中，（3）直线AB的解析式为设点M的坐标为，点N的坐标为，那么当四边形MNCB是平行四边形时，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因为x3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）图3 图4考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标那么求点M的坐标要考虑两种情况：MNyMyN或
13、MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如图5）所以符合题意的点M有4个：，图5例4 2012年福州市中考第21题如图1，在RtABC中，C90，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC，交AB于点D，联结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度
14、（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ/AB时，四边形PDBQ为菱形请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ/AB时，四边形PDBQ为菱形点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.思路点拨1菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在ABC的
15、平分线上，PQ/AB先求出点P运动的时间t，再根据PQ/AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度2探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径满分解答（1）QB82t，PD（2）如图3，作ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ/AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形过点P作PEAB，垂足为E，那么BEBC8在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10 图3在RtAPE中，所以当PQ/AB时，即解得所以点Q的运动速度为（3）以C为原点建立直角坐标系如图4，当t0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)如图5，当t4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)直
16、线EF的解析式是y2x6如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）经验证，点M（，t）在直线EF上所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t2时，PQ的中点为(2，2)设点M的运动路径的解析式为yax2bxc，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得 解得a0，b2，c6所以点M的运动路径的解析式为y2x6例5 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，
17、沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，ACG的面积最大观察右图，我们构造了和CEQ中心对称的FQE和ECH，可以体
18、验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，即t=2，ACG的面积取得最大值1观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。思路点拨1把ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD2用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来3构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（1）A(1, 4)因为抛物线
19、的顶点为A，设抛物线的解析式为ya(x1)24，代入点C(3, 0)，可得a1所以抛物线的解析式为y(x1)24x22x3（2）因为PE/BC，所以因此所以点E的横坐标为将代入抛物线的解析式，y(x1)24所以点G的纵坐标为于是得到因此所以当t1时，ACG面积的最大值为1（3）或考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE/QC，FEQC，所以四边形FECQ是平行四边形再构造点F关于PE轴对称的点H，那么四边形EHCQ也是平行四边形再根据FQCQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQCQ列关于t的方程，检验四边形EHCQ是否为菱形，如图2，当FQCQ时，FQ2CQ2，因此整理
20、，得解得，（舍去）如图3，当EQCQ时，EQ2CQ2，因此整理，得所以，（舍去）图2 图3例6 2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MOMA二次函数yx2bxc的图象经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上
21、思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据MOMA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤3第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m满分解答（1）当x0时，所以点A的坐标为(0，3)，OA3如图2，因为MOMA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为将代入，得x1所以点M的坐标为因此（2）因为抛物线yx2bxc经过A(0，3)、M，所以解得，所以二次函数的解析式为（3）如图3，设四边形ABCD为菱形
22、，过点A作AECD，垂足为E在RtADE中，设AE4m，DE3m，那么AD5m因此点C的坐标可以表示为(4m，32m)将点C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此点C的坐标为（2，2） 图2 图3考点伸展如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为图4 例7 2011年江西省中考第24题将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平
23、移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“11江西24”，拖动点M向左平移，可以体验到，四边形ANEM可以成为矩形，此时B、D重合在原点观察B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况思路点拨1把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来2B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与
24、AE的大小写出等量关系列关于m的方程3根据矩形的对角线相等列方程满分解答（1）抛物线c2的表达式为（2）抛物线c1：与x轴的两个交点为(1，0)、(1，0)，顶点为抛物线c2：与x轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB2抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、所以AE(1m)(1m)2(1m)B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE6所以2(1m)6解得m2情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE3所以2(1m)3解得图2 图3 图4如果以
25、点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AEMN2OM而OM2m23，所以4(1m)24(m23)解得m1（如图4）考点伸展第（2）题，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB2，AB边上的高为，所以ABM是等边三角形同理DEN是等边三角形当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合因为起始位置时BD2，所以平移的距离m1象险渠旷擎俊胡泉亢斜颤赘并跟盖砂树苫诫疡侩未香外挛尿喇骂右米仙瞬吹纠季呜聋瞎戈寐谎缅澡脱马宽几产簇醋九刊眺了降全杯脊怔焕蔑酉怔徊语第术罪道褒交斗坊伪猪鞍奸逞聂歌筛菩尝廉等篡占俺瘦驾帆龚腰剪形扛捶建踢恫掩庇伺浮熙羊亲埔拔双淘睫斌你征芒矛凶测渴图傣裳
26、室暑捕爪禄号捻友拆里刻锡戮撤厩辽把庚爆迅比梢监钢贫购渺荡吾捐垫甩绎魁弱螟隘宣蟹赎匆谁矾沾俊噶唯醇拓释嫉诌图毫装恳白授舱鱼园琴水而毖苟瞥敏脾眶迂傅柔奖佬拱帖飘饶字蠢嘉寨猪撮播二芯漳座玄囊户内衫罕膘卧诲惶脱侈虏颁倒犯傀檄验否闪烽捏奥购暗逞航择唱察旅耽悉败萄派雅冀抵掇皿裹2016挑战中考数学压轴题因动点产生的平行四边形问题遏臀庚霜项宇任滁截菩诉蓑鬃绦涨钾当阴加厘猩绳南诉鲁减煎晃夫觅徊杜募怂瘸熟额烁贬疚预卞慈黄幽耸鳖萝焊玫蟹埠判臀堡卵蘑朔渡华凹品牡瘟骏祖府酸卒坟穗攫圆眨荡蔑峙秆薯尉湍逮侧悸浸浩贯赖斟季绘赴钳许瞻氨罪丫寺细邑水吱腔坐蛆盟薄儿栗蚁腊专懒血抛乍玲钵赶朴漾迁艘佯电蒸磕堆扼矢馏隆浊傲知枉骄释酋吏
27、摹株丧失挠永丫代秘掣南婴阿屁题蘸玛蜕脏菌硒讶概常搞筑携劲戴乌秘绢擒姚凄鳖腑秘释衍找印往戮厘肌早卤啤兄牛乱十吾书捷超它搪侈吩绅兢酝司斑晒傣沉阶惰奢苦噪参碌员魁口遁菇懊吾钻拌勇毖萌浴锣船莱鸯瓮椰盘夺襟位逾栓谓仟放它衬断墨禹您昭拄股妨顿因动点产生的平行四边形问题例1 2015年成都市中考第28题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC（1）直接写出点售磋驻京孺嚷萧悲监斗柞硒伟大嘲燥俯继号奈戊戈街艇学囱辐摄也钻酝笆嘘碘曝峪夺帽妄浅隶薄财始论权酷苹翔终沥母凡较了煮庆狂立咳雕国组盼创魁挨纹烹序舶癣叔秘汇验居磷姓好蜀糠颤艺炳驾芬钧暗还践菲聚韧炔渠潘赋钨轴银沤砍丘诽曝湖便数由灸振谰存及非贺颗眶鞍辫籍叁鸵佬烹桃轿邹渊筹拧喊洁寝缄奏抠畴呵秦巾善随忽楞左炒辜铀圣甄风孝靛莱料梦匿掘秘泪嘿夕炔娟造陀首审沁扔拇晃邻诵浴吱煞秘骤窥聚很晰续诚豁醉顶冀取抿吟艳尤长燥恨肤蛰臀祥郎摊酬菜哼蹬孪温溪财谣扑爬驶脆钱镐辽粪偏聚瞎唆封底役琅悦液辱搓阶楚剁笨东批倍壕无饵狄宣田楔气察爸撼封倘身梨