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1、长方体和正方体 一、知识识要点 在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的 问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点 ： 1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成 几何图形的诸多条件沟通起来； 2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补 后物体的表面积或体积所发生的变化； 3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形 的方法来解决。 二、精讲精练 【例题1】 一个零件形状大小如下图：算一算 ，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平 方厘米？（单位：厘米） 【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部 分来求它的体积，左边的长方体体积是 1042=80（立方厘米），右边的长方体的体 积是10（62）
2、2=80（立方厘米），整个 零件的体积是802=160（立方厘米）；（2） 求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实， 朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面 积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一 个面的面积相等。因此，此零件的表面积就是（ 10610422）2=232（平方厘米）。 想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？ 练习1： 1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体， 被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体 积各是多少？ 2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段， 表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体 积。 3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体
3、 木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图 ），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？ 【例题2】 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方 体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积 吗？（单位：厘米） 【思路导航】 （1）先求出长方体的体积，856=240（立 方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了 222=8（立方厘米），这个零件的体积是 2408=232（立方厘米）； （2）长方体完整的表面积是（8586 65）2=236（平方厘米），但由于挖去了一 个孔，它的表面积减少了一个（22）平方厘米 的面，同时又增加了凹进去的5个（22）平方 厘米的面，因此，这个零件的表面积是236 2
4、24=252（平方厘米）。 练习2： 1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面 积。（单位：厘米）。 2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点 处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体 的体积和表面积各是多少？ 3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上 （如图），那么得到的物体的体积和表面积各是 多少？ 【例题3】 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方 体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的 表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面 积是多少平方厘米？ 【思路导航】 一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其 表面积比原来的长方体增加了2块正方形的面 积，每块正方形的面积是
5、502=25（平方厘 米）。正方体有6个这样的面，所以，原来正 方体的表面积是256=150（平方厘米）。 练习3： 1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方 体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的 表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方 体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那 么它的体积是多少立方厘米？ 2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢 材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它 的表面积减少了多少平方厘米？ 3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体 ，它们的表面积最多会减少多少平方分米？ 【例题4】 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。 已知每
6、块砖的体积是288立方厘米，求大长方 体的表面积。 【思路导航】 要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽 和高。我们用a、b、h分别表示小长方体的 长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b 即b=2/3a，砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。 由1/6a3=288可知， a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。 大长方体的长是122=24厘米，宽12厘米， 高是83=11厘米，表面积就不难求了。 练习4： 1.一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么 ，由1000个这样的小正方体所组成的大正方 体的表面积是多少平方厘米？ 2.一个长方体的体积是385立方厘
7、米，且长、 宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。 3.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立 方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长 方体？用图画出来。 【例题5】 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平 方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单 位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积 各是多少？ 【思路导航】 长方体的前面和上面的面积是长宽长高 =长（宽高），由于此长方体的长、宽、 高用厘米为单位的数都是质数，所以有 209=1119=11（172），即长、宽、高 分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求 体积和表面积就容易了。 练习5： 1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是 88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么 这个长方体的体积是多少？ 2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数， 体积是96立方厘米，求它的表面积。 3.一个长方体和一个正方体的棱长之长相等， 已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分 米、25分米，求正方体体积。