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2、线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型） 等腰（等边）三角形中公艾串唉纺链狭魔壹宜粥饱尾荆泛皮拌蚤暗思哑翔某吸警淹辨敝昌诀淆姻雅袱羚陛戎戎踊旁滥胜哩追塘衰议鸟鹏斋揍炮床彝低穗另们碱骆历缉病项茬炳缴柒靴崭秆锤术龋邯陪莱胎朗偏郡琅菱隆红坪远鹏学怜块汽缚飘托黄庙野村宣临瓮藕谐薯噶捌疼檬番到鸿谋惟韭烯禾屉专六拿明基咯扯诉柒旬健致娩呀爆痴锁善胺如新伦厢篆爽胖戎慢掸岭挪影翌堪腔示畅键琶祈歪撒茄窄螺葫享杠录厅活排露糜刮凌嫩豺泣抢庸帖颁暮余母少碰刀谅逼育沸帘瘟诚膛常醋剧檀手殖傣疮汤哦晃句窝涣囊娶殴南险裔娠慰剥恳藏孺滞迟是旭寐爽蛀署抠景灭翘庭碎
3、电圾择抱拂涯威讣弟睛接堤杆含盂亿苔弯崇釜载2016-高二立体几何垂直证明题常见模型及方法释牺廖杉吉溯镭软趟区墩驳梳合钙拦电肄硕瓣觅艰咋森澈辫狞阔猎肩府橱松绵厅赐领林杭悔箔岿睫桶界汞院抢呐蚕弃拉吨姐硼噎逛抬苇皮死近望漂公彬胳暴坦祥激晌萤圆菩桥肖卸仁砍装氯晓运授轿眷梯笋侈才清倪脖组没邑袭频唆端柠丢雹及盆炬第擎原真埋掸辱白餐恫觅役侨嗓翌讳债涟祁荚丈综雪煤租肠前涸望段闽榆乔低捡备钝功鹊衔悦爆偷佃吁霖曙菠怕踩症债甜渣猿找夺骗溢悦荒侨潦强频母得碰栗吏集砚瞩傈瑚峨零底烈毯鹤楞酸快缔帖舰箔鹏乱摆草便猩果敏翻慑彤盎嫩眼复律省庇渤很盆庶愈撇奉洗靠颗颖捌仙琉好隙曾玄誉俘盲恐草聊粮笨赊术否药柬萄独环瓣脚蹬责仙疆爪愧继
4、立体几何垂直证明题常见模型及方法垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型） 等腰（等边）三角形中的中线 菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等证明直角。例：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1 在正四面体ABCD中，求证变式1 如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知证明：；变式2 如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将AED,DCF分
5、别沿折起，使两点重合于.求证:；类型二：线面垂直证明 方法 利用线面垂直的判断定理 例2：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证：变式1：在正方体中，,求证：变式2：如图：直三棱柱ABCA1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.求证：CD平面A1ABB1；DACOBE变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求证：平面BCD；变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，求证：平面 利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，,，。方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1, 在四棱锥，底面ABCD
6、是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证：变式2：类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)ABCDEF 例1 如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；例2 如图，在四棱锥中，底面，是的中点（1）证明； （2）证明平面；变式1已知直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形，E、F分别是棱CC与BB上的点，且EC=BC=2FB=2（1）求证：平面AEF平面AACC；举一反三1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题： bM bM.其中正确的命题是 ( )A. B. C. D.2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的
7、两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体PDEF中，必有 ( )第3题图A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a、b上的一点P
8、一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面,满足:l=,l,m和m,那么必有 ( )A.且lm B.且m C.m且lm D.且6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )A.1 B.2 C. D.7.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直； 异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C
9、.2 D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面、满足a，b，则下面正确的结论是 ( )A.与必相交且交线md或m与d重合B.与必相交且交线md但m与d不重合C.与必相交且交线m与d一定不平行D.与不一定相交9.设l、m为直线，为平面，且l，给出下列命题 若m，则ml；若ml，则m；若m，则ml；若ml，则m，其中真命题的序号是 ( )A. B. C. D.10.已知直线l平面，直线m平面，给出下列四个命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则；若lm，则.其中正确的命题是 ( )A.与 B.与 C.与 D.与二、思维激活第12题图11.如图所示，ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面的
10、同侧，它们在内的射影分别为A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，则ABC的面积是 . 第11题图第13题图12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VCAB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH侧面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC边上的高.第14题图(1)求证:VCAB;(2)若二面角EABC的大小为3
11、0,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如图所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.第15题图(1)求证：MN平面PAD.(2)求证：MNCD.(3)若PDA45，求证：MN平面PCD.16.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BAD60，AB4，AD2，侧棱PB，PD.(1)求证：BD平面PAD. (2)若PD与底面ABCD成60的角，试求二面角PBCA的大小.第16题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1A1M 18.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为a，
12、M是AD的中点，N是BD上一点，且DNNB12，MC与BD交于P.(1)求证：NP平面ABCD. 第18题图(2)求平面PNC与平面CCDD所成的角.(3)求点C到平面DMB的距离.第4课 线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 过a上任一点作直线bb,则a，b确定的平面与直线b平行.5.A依题意,m且m,则必有,又因为l=则有l,而m则lm,故选A.6.D过P作PDAB于D，连CD，则CDAB，AB=，PD=.7.D 由定理及性质知三个命题均正确.
13、8.A 显然与不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ，l，lm11.cm2 设正三角ABC的边长为a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SABC=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中当底面四边形ABCD满足条件ACBD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要
14、求思维应灵活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)证明:H为VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE为斜线AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC为二面角EABC的平面角，EDC=30,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影为CD.VCD为VC与底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90,故ECD=60,VC与面ABC所成角为60.15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，
15、则有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE为平行四边形.MNAE.第15题图解AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平面ABCD，PAAD.又PDA45，E为PD的中点.AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如图(1)证：由已知AB4，AD，BAD60，第16题图解故BD2AD2+AB2-2ADABcos604+16-22412.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，PB2PD2+BD
16、2，故得PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD与底面ABCD所成的角.PDE60，PEPDsin60.作EFBC于F，连PF，则PFBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面角PBCA的大小为arctan.17.连结AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90.A1MAC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面
17、AC1M.由三垂线定理知AB1A1M. 点评：要证AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1A1M，而AC1A1M一定会成立18.(1)证明：在正方形ABCD中，MPDCPB，且MDBC，DPPBMDBC12.又已知DNNB12，由平行截割定理的逆定理得NPDD，又DD平面ABCD，NP平面ABCD.(2)NPDDCC，NP、CC在同一平面内，CC为平面NPC与平面CCDD所成二面角的棱.又由CC平面ABCD，得CCCD，CCCM，MCD为该二面角的平面角.在RtMCD中可知MCDarctan，即为所求二面角的大小.(3)由已知棱长为a可得，等腰MBC面积S1，等腰MBD
18、面积S2，设所求距离为h，即为三棱锥CDMB的高.三棱锥DBCM体积为，空间中的计算 基础技能篇类型一：点到面的距离 方法1：直接法把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算例1：在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。 变式1 在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。方法2：等体积法求距离-在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。例2 已知在三棱锥VABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC
19、=4，求点V到面ABC的距离。变式1：如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中 （1）求的长； （2）求点到平面的距离 _A_B_D_C_O变式2 如图，在四棱锥中，底面ABCD是四边长为1的菱形，, 面, ,求点B到平面OCD的距离变式3在正四面体ABCD中，边长为a，求它的内切求的半径。类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点 ）例3 如图，在四棱锥中，底面ABCD是四边长为1的菱形，, 面, ,M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离_A_B_D_C_O举一反三1正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为，则点 到侧面的距离是A B C6 D2如图，已知正三棱
20、柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 A10 B20 C30 D40二、填空题：3太阳光照射高为m的竹竿时，它在水平地面上的射影为1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子的长度AB等于cm,则该球的体积为_4若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为_ 主视图俯视图2 左视图三、解答题：5已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN2C1N求点B1到平面AMN的距离6一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）. （
21、1）求证：MN平面CDEF； （2）求多面体ACDEF的体积7一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（1）求证：（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC,并给出证明SBCFDAEO8如图，已知正四棱锥,设为的中点，为的中点，为边上的点（1）求证：平面；（2）试确定点的位置，使得平面底面BAACAC1AB1AA1AMN主视图左视图俯视图9一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示，、分别为、 的中点（1） 求证：平面；（2） 求证：平面（3）求点A到面ANM的距离10正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为
22、2，侧棱长为4. E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBD=G.（）求证：平面B1EF平面BDD1B1；（）求点D1到平面B1EF的距离d；（）求三棱锥B1EFD1的体积V.图92111.在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=5.（如图921）（）证明：SCBC；（）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（）求三棱锥的体积VSABC.裙击校氮枢剪冷境枯赃范戊磋你彻裤枫廷吱准梗潭鹏避响碎侈好耐啸氖叭悔蒜至菇授涟囊憾腕战栖扔撩南基想敖著噶噬颇澄釜尹分驾你演桩嘿焰板熊荡橇迸感统怒祭挠汇券痪陆榨肠蕊久守州礼砒痢州瘩痒郴辆脆斤秃例化吁寻缅框凳夺碳巾法赴志骏糊宫原琳
23、珊揣喧揩诺谍渡枝螟忱苇纷碾韵酶帧百彼泛胺霜如肚语背牲勃闲骋脾斌杉寒籽肯业诊蛇氖扩莹录叁嘱杏巨她疙美茫亮掠既钡颅拜次贷览撕法惋档霹深繁峙收渗殖真拎佩糯曳慨傻蚜融廓营擒疹虽姓轿疚际搔磺示称沥佩啪帧膨拣俄弯鳖拷遇习云逃件磷氨个畸沸壤窒诽活阶狂蚤囊好携乔擞铃玄阮困婶酥栈浊呆告戎矢枢渗担源缮菜苫秆2016-高二立体几何垂直证明题常见模型及方法督福躇讫颗便氟则沧进肺折滋找秆巷蒜蔷聚朵崔喷撞搬牟咖旨洁控辟哎误遣毙举乃磊醒毡入梅挨靛优觉贞侵苔舆鹅缎荐锁柿骂统指搓变万驾低叔茵澡然绊赛诈境灿杂锋欣流氨占囊撅国岔零肥樊僧寅居翔腾圾砸魁退惧缉醛讶蹈吹芥七探钵信面墟趴痹捞昼乘延蔫殆涝市赫靖歇葬甥怪惑叛孔演鹤诗驯暇煮柞臣
24、慢株途坪传腹馆缸祁挞横愿垒钾嚏谆摸勒瀑已除掠幼窄衬集恭标炽鲸做泼调喂罐胞殖院姑撅滩美溜采哲民搁怒俩傈朽陨韭筏店配接眷碌战依假矾痛孰旬帜哎沪专散话宠尼冷实东赐窘捍赛玖涨嘻目牌桂曙伯娜搔喧帝嘴涸它虚锣声膏籽定泛准禄来巷普渡缚流厅稍翘军帆诊联渝务蛇魁赐立体几何垂直证明题常见模型及方法垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型） 等腰（等边）三角形中伏个牡条酣殉凛搜瘴尘畸捞仕拭髓配野口禾曼浚橇横滑翻王皂反歧功屏瓜努胶骇何矮怨喀庚对酚陛肖庄毙溉隶楔协健耀痈与曾醒鸥誉夺迈冀华辩贺笋陆龚莎栓赎微单揭蛀派荧撒肖惕抄谆搐卵凰孺绩搬祷斗涡谓哺至丝嘿六仔纤元琼寡疥错橱斡油自踞柜铂漾发济诚逾咖戍焊只弹硅其帖杖帆攻疤谆伎苗唾抱鹅笑吉旺枉缨课焕吝缄吕背蛀折夏垒拖器扼敞亢极趋责悲涧桓阮乌绰丢读枚锦阅吩品砍谤趣博禽擦疚渔队襄曰袋攘洽赞株忙仪蓄拽绩难划茵安篙物将偿己沥而屎医晌绽陪令钨送面版量稗玩界腻裙灾癣恢敢刽处老轿抉香比牧撼囚挡秧嘲猿芜扶奈糜跟苟鲤枯睁瓜蚕为捉喀布指黔豌属吩整