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1、第三节 数量积 向量积 混合积,一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、两向量的混合积,启示,实例,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,1.定义,数量积也称为“点积”、“内积”.,一、两向量的数量积,关于数量积的说明：,证,证,这个数叫做向量,在向量,上的投影.,结论：两向量的数量积等于其中一个向量的模和另 一个向量在这向量方向上的投影的乘积.,（4）基本向量的数量积公式,2.数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若 为数：,若 、 为数：,设,3.数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,4.两向量夹角余弦及向量方向余弦
2、的坐标表示式,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,解 （1）,（2）,（3）,证：,（4）,实例,二、两向量的向量积,1.定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,2.向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）若 为数：,证,/,/,设,向量积的坐标表达式,3.向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,补充,例如，,解,解,三角形ABC的面积为,定义,设,混合积的坐标表达式,三、向量的混合积,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,解,例5,解,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,