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1、河北唐山 2019 年高三上学期年末考试数学（理）试题（word 版）数学理试题说明：【一】 本试卷分为第 I 卷和第 II 卷，第 I 卷为选择题；第 II 卷为非选择题，分为必考和选考两部分，【二】答题前请认真阅读答题卡上的“考前须知” ，按照“考前须知”的规定答题、【三】 做选择题时， 每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑、如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，【四】考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回、参考公式：样本数据 x1 , x2 , xn 的标准差；1 ( x1 x) 2为样本平均数；s( x2 x) 2( xnx)2 ,其中 xn柱体体积公式：
2、 VSh,其中 S为底面面积 、 h 为高；锥体体积公式：1为高；VSh, 其中 S为底面面积 , h3球的表面积、体积公式：其中 R 为球的半径。S 4 R 2 ,V4 R 3 ,3【一】选择题：本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求、1、复数=2 2i1 2iA、 2B、2C、 2 iD、2 i2、以下函数中，满足2) f ( x)2的是f ( xA、 f ( x)ln xB、C、 f ( x)x3D、f ( x)| x1|f ( x)ex3、执行右边的程序框图，输出的结果为A、 15B、 16C 、 64D、 654、椭圆 x2y2
3、1(a的左焦点为F，右顶点为A，以 FA 为直径的圆通过椭圆的a2b2b 0)上顶点，那么椭圆韵离心率为A、51B、31C、2D、322225、设 x， y 满足xy4,的最大值为x2 y1,则 z2xyx1,A 、 3B、 5C、 16D、 19336、一个三棱锥的三视图如图，那么该三棱锥的体积为A、 1B、 132C、 2D、 1367、等比数列 an 中, a1a317, a2a468,则 a2 a3=A、 32B、 256C、 128D、 64A、， -2B、 2 ， +C、， -2 D、 2，+9、 ABC中，点 P 满足 APt ( ABAC ), BP APCP AP ，那么 A
4、BC一定是A、直角三角形10、函数exxyexxB、等腰三角形C、等边三角形D、钝角三角形的一段图象是11、已如点M 1， 0及双曲线x2 y2 1的右支上两动点 A， B，当 AMB最大时，它的3余弦值为A、 1B、 1C、 1D、 1223312、四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=23 ， BD= 6 ，那么该球的表面积为A、 14B、 15C、 16D、 18第 II卷【二】填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上、13、 3 位数学教师和3 位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3 位，且每所学校既有数学教师，也
5、有语文教师，那么不同的分配方案共有种、14、=。tan()2,则 cos2415、曲线 y0, yx , y x2 所围成的封闭图形的面积为、16、数列的前 80 项的和等于。 an 满足 a12, an 11an , 则 an 1an【三】解答题：本大题共70 分，其中 17一 21题为必考题， 22， 23， 24题为选考题，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、本小题总分值12 分在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为a， b， c，且 ab,sin A3 cos A2sin B. I 求角 C 的大小； II 求 a b 的最大值、c18、本小题总分值12 分从某节能灯生
6、产线上随机抽取100 件产品进行寿命试验，按连续使用时间单位：天共分5 组，得到频率分布直方图如图、 I 以分组的中点数据作为平均数据，用样本可能该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；II 将以上统诗结果的频率视为概率，从该生产线所生产的产品中随机抽取3 件，用表示连续使用寿命高于350 天的产品件数，求X 的分布列和期望、19、本小题总分值12 分X如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形， 侧面 BB1 C1C 为菱形， CBB1=60，AB B1C。 I 求证：平面 AA1B1B平面 BB1C1C； II 求二面角 B-AC-A1 的余弦值、20、本小题总分
7、值12分设圆 F 以抛物线 P： y24x 的焦点 F 为圆心，且与抛物线 P 有且只有一个公共点、I 求圆 F 的方程；过点 M -1 ，0作圆 F 的两条切线与抛物线P 分别交于点 A， B 和 C，D，求通过 A，B， C，D 四点的圆 E 的方程、21、本小题总分值12分函数 f ( x)ax2ln x.I 讨论函数f x单调性；当1时，证明：曲线yf ( x) 与其在点 P(t, f (t) 处的切线至少有a,0t 28两个不同的公共点、请考生在第 22， 23， 24三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分、作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑、22、
8、本小题总分值10 分选修4-1 ：几何证明选讲如图， O是 ABC的外接圆， D 是 AC 的中点， BD交 AC于点 E、2 2 I 求证： CD=DE=AEEC; II 假设 CD的长等于 O的半径，求 ACD的大小、23、本小题总分值 10分选修 4-4: 坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位， 以原点 D 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴， 曲线 C 的极坐标方程为2cos ，曲线 C 的参数方程为xt cos ,为参数。l2yt sin(tI 当时，求曲线 Cl与 C2 公共点的直角坐标；4 II 假设，当变化时，设曲线C1 与 C2 的公共点为A，B，试求
9、AB 中点 M轨迹的2极坐标方程，并指出它表示什么曲线、24、本小题总分值10 分选修4-5: 不等式选讲设f ( x)| xa |, aR.I 当 1 x3时 , f ( x) 3 ，求 a 的取 范 ；II 假 任意x R， f ( x a) f (x a) 12a 恒成立，求 数a 的最小 、参考答案一、 ：A 卷： CCDADADCBBCAB 卷： ACDBCADCABDA【二】填空 ：410 1318 14 5 15 3 16 70 2【三】解答 ：17解： sinA3cos A2sinB 即 2sin (A 3 ) 2sin B，那么 sin (A 3 ) sin B、 3分因 0
10、 A， B ，又 a b 而 A B，2 6 分因此 3 ，故 ， 、ABA B3C 3由正弦定理及得a b sinA sin B2A sin (A 3 )3sin A cos A 2sin (A 6 )、 10c sin C3sin分当 A 3 ，a b2、 12 分c取最大 18解： 本数据的平均数 ：175 0.05 225 0.15 275 0.55 325 0.15 375 0.1 280、因此， 生 所生 的 能灯的 期 使用寿命 280 天、 5 分1依 意，X B(3，10)、X 的可能 0， 1， 2， 3、93729192243P( X 0) (10) 1000 ， P(
11、X 1) C31 10 (10) 1000，12927131P( X 2) C32() ， P( X 3) ()、9 分10100010001010X 的分布列 X0123P7292432711000100010001000 10 分() 313 12 分数学期望1010件、E X19解：由 面AA1B1B 正方形，知ABBB1、又 AB B1C， BB1 B1C B1，因此 AB平面 BB1C1C，又 AB 平面 AA1B1B，因此平面AA1B1B BB1C1C、4 分zCC1BOB1yAxA1由 意， CB CB， O是 BB 的中点， CO，那么 CO BB、111由知，平面1 1建立如
12、下 的坐 系-、COABB A、O xyz其中 O是 BB 的中点， OxAB， OB为 y ， OC为 z 、11设 AB 2，那么 A(2 ， 1， 0) ， B(0 ， 1，0)， C(0 ， 0， 3)， A (2 ， 1， 0) 、1 6 分AB ( 2， 0， 0) ， AC ( 2， 1，3) ， AA1 (0 ， 2， 0) 、设 n ( x ， y ， z ) 面 ABC的法向量，那么 n 0， n ABAC 0，111111即 2x1 0，取 z1 1，得 n1(0 ， 3， 1) 、 8 分 2x y13z 011设2 (2，2，2) 面1 的法向量，那么2 1 0，n2
13、 0，n xyzACAnAAAC即2y2 0，取 x2 3，得 n2 (3，0， 2) 、10 分 2 223z2 0xy因此 cosn1， n2n1 n27 | n1|n2| 7 、因此二面角 B- AC- A1 的余弦 7 12 分7 、20解： F 的方程 ( x 1) 2 y2 r 2 r 0、将 y2 4x 代入 方程，得( x 1) 2 r 2，因此 x 1 r 舍去，或 x 1 r 、 与抛物 有且只有一个公共点，当且 当1 r 0，即 r 1、故所求 F 的方程 ( x1) 2 y2 1、 4 分 点( 1， 0) 与 F相切的斜率 正的一条切 的切点 、MT连结 TF，那么
14、TF MT，且 TF 1，MF 2，因此 TMF 30、6 分直 MT的方程 x3y 1，与 y2 4x 立，得 y24 3y 4 0、 直 与抛物 的两个交点 A( x，y) 、 B( x， y ) ，那么1122y12 43， 1 24，x123(y12) 2 10、 8 分yy yxy从而 AB的垂直平分 的方程 y 23 3( x 5) 、令 y0 得， x7、由 与抛物 的 称性可知 E的 心 E(7 ， 0) 、 10 分122122(1 3)(122122、| AB| ( x x )( y y ) y y ) 4y y 87 0122又点 E到直 AB的距离 d2 4，因此 E的
15、半径 R 43 、(4 2) 4因此 E 的方程 ( x 7) 2 y2 48、 12 分yBTAMO FxCD21解：1 f ( x) 的定 域 (0 ， ) ， f( x) 2ax x 、 1假 a 0，那么 f ( x) 0， f ( x) 在 (0 ， ) 是减函数；2 分2a2a 2假 a 0，那么当 x (0， 2a ) ， f ( x) 0， f ( x) 在 (0， 2a )是减函数；22aa当 x ( 2a ， ) ， f( x) 0， f( x) 在 ( 2a ， )是增函数、4 分曲 y f ( x) 在 P( t ， f ( t ) 的切 方程 y f ( t )(x
16、t ) f ( t ) ，且 P 它 的一个公共点、设 g ( x) f ( x) f ( t )(x t ) f ( t ) ，那么 g ( x) f ( x) f( t ) ，有g ( t ) 0，且 g ( t ) 0、 6 分1111设 h ( x) g ( x) 4 x x f( t ) ，那么当 x (0 ，2) ， h ( x) 4 x2 0，因此 g ( x) 在 (0 ， 2) 是增函数，且g ( t ) 0，因此当 x(0 ， t ) ， g ( x) 0， g ( x) 在(0 ， t ) 是减函数；当 x( t ， 2) ， g ( x) 0， g ( x) 在( t
17、， 2) 是增函数、故当 x (0 ， t ) 或 x ( t ， 2 ， g ( x) g ( t ) 0、9 分假 x (2 ， ) ，那么11111xg ( x) 8x2 ln x f( t )( x t ) f ( t ) 8x2 (4 t t)x 8 t 21 ln t1111181 8x2 ( 4 t t)x 8 t 2 1 8x(x 2t t ) 8 t 2 1、81当 x2t t ， g ( x) 8 t 2 10、8因此在区 (2， 2t t )至少存在一个 数x0 2，使 g ( x0) 0、因此曲 y f ( x) 与其在点 P( t ，f ( t ) 的切 至少有两个不
18、同的公共点、12 分22解： ABD CBD， ABD ECD， CBD ECD，DE DC2又 CDB EDC， BCD CED， CDDE DB，DC DB2 DE DB DE( DE BE) DE DE BE， DEBE AEEC，22 6 分 CDDE AE EC、 OC， OD，由可知 ODC 等 三角形，1 COD 60 、 CBD 2COD 30， ACD CBD 30 、 10 分BOCEAD23解：曲 C1 的直角坐 方程 x2 y22x 0、当 4 ，曲 C2的一般方程 y x、由，得曲 1 与2 公共点的直角坐 方程 (0 ， 0) ， (1 ， 1) 、 4 分CC C
19、1 是 极点的 ，C2 是 极点的直 、设 M( ， ) ，不妨取 A(0 ， ) ，B(2 ， ) ，那么 2 2cos 、 7 分故点 M 迹的极坐 方程 cos 2 、11它表示以 (2 ， 0) 心，以2 半径的 ，去掉点(0 ， 0) 、 10 分24解： f ( x) | x a| 3，即 a 3x a 3、a3 1，依 意， a3 3由此得 a 的取 范 是 0 ， 2 、 4 分 f ( x a) f ( x a) | x 2a| | x| |( x 2a) x| 2| a| 、6 分当且 当 ( x 2a) x 0 取等号、1解不等式 2| a| 1 2a，得 a 4 、1故 a 的最小 4 、 10 分