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1、湖北天门 2019 高三下联考（二）- 数学 ( 理）数学试卷理【一】 选择题 本大题共 10 小题，每题5 分，共 50 分 . 在每题列出的四个选项中, 选出最符合题目要求的一项1、集合 0 ， 2 ， -1，0， 3 ，且，那么a等于ABaABA、 1B、 0C、 -1D、-32、 i 是虚数单位，那么复数z i 2i23i3 所对应的点是A、 2， 2B、 -2 ， 2C、 -2 ， -2 D、 2， -2 3、在 ABC中，“ AB BC0 ”是“ ABC为钝角三角形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件4、设随机变量服从正态分布 N (3,4)
2、，假设 P(2a 3)P(a 2)那么 a 的值为A、 5B、 3C、 7D、 5335、六棱锥P- ABCDEF的底面是正六边形，PA平面 ABC、那么以下结论正确的个数是CD/ 平面 PAFDF平面 PAF CF/ 平面 PAB CF/ 平面 PADA、 1B、2 试 C、3D、 46、双曲线 x2y2的渐近线与圆x2( y 2) 21 相切，那么双曲线的焦距为22b21A、 8B、 4C、 2D、 17、 t0，假设 t0(2x 1)dx 6，那么 t 的值等于A、 2B、3C、 6D、88、函数 y sin( x )(0) 的部分图象如下图，设P 是图象的最高点，A、 B 是图象与 x
3、轴的交点，那么tanAPB A、 10B、 8C、 8D、 4779、数列 an 的通项公式为 a |n13|，那么满足 ak ak 1ak 19 102 的整数 knA、有 0 个B、有 1 个C、有 2 个D、有 3 个10、设点 A 1， 0， B 2，1，假如直线 axby 1与线段AB有一个公共点，那么 a2b2A、最小 1B、最小 5C、最大 1D、最大 55555【二】填空 本大 共5 小 ，每 5 分，共25 分 . 其中 15 做 11、在中，假 2 ， ： 1：，那么 、ABCBAa b3A12、在15 的展开式中， x2 的系数是、xx213、定 某种运算，ab 的运算原
4、理如下 、设 f ( x) (0x) x(2x) 、那么 f (2)、14、数列 an 足 a11 ，nan，其中R ， n =1， 2、an11n1当0 ， a20、2假 存在正整数m，当 n m ， an0 恒成立，那么的取 范 是、15、 1如 ，是 O的直径，P在AB的延 上，切 于ABPDO点 C、圆 O半径 3 ， OP 2，那么PC， ACD的大小 、 2在极坐 系中，点A关于直 l :cos1的 称点的一个极坐 、2,2【三】解答 本大 共 6 小 ，共 75 分、解承 写出必要的文字 明、 明 程或演算步 16、本小 分 12 分函数的定 域 D，集合 A=, 、cos2 x
5、f ( x)sin( x)4求 DA ；假 f ( x)4 ，求 sin 2 x 的 、317、本小 分 12 分如 ，菱形ABCD的 6， BAD 60o，AC BDO、将菱形 ABCD沿 角 AC折起，使BD 32 ，得到三棱 B- ACD、假 点M是棱 BC的中点，求 ：OM/ 平面 ABD；求二面角A- BD- O的余弦 ； 点N是 段 BD上一个 点， 确定点N的位置，使得CN 42 ，并 明你的结论、18、本小题总分值12 分甲班有 2 名男乒乓球选手和3 名女乒乓球选手， 乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒乓球选手，学校计划从甲、乙两班各选2 名选手参加体育交流活动、求选出
6、的4 名选手均为男选手的概率；记 X 为选出的4 名选手中女选手的人数，求X的分布列和期望、19、本小题总分值12 分函数a )ex ( x 0)，其中 e 为自然对数的底数、f ( x) (1x当 a 2 时，求曲线 yf ( x) 在 1， f (1)处的切线与坐标轴围成的面积；假设函数f ( x) 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求 a 的值、20、本小题总分值13 分椭圆x2y21(ab的离心率为2 2 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成M :2b20)3a的三角形周长为642 、求椭圆M的方程；设直线l 与椭圆 M交于 A、 B两点，且以 AB为直径的圆过
7、椭圆的右顶点C，求 ABC面积的最大值、21、本小题总分值14 分函数 fxln1 xax 的图象在 x1 处的切线与直线x 2 y 1 0平行、求实数 a 的值；假设方程fx1m3x在2,4上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值4范围；设 常 数p1 ，数 列an满 足 an 1an lnp an n N + ， a1 ln p 、求 证 ： an1 an 、2018 年天门卷2 参考答案【一】选择题每题5 分，共50 分1、 C【解析】因为 AB ，因此 2B ，从而 a32, a1 ，应选 C、2、 C【解析】 z i2i 23i 312 3i2 2i 对应的点是 -2 ， -2 ，应
8、选 C、3、A【解析】由于 AB BC0 ，得 BA BC0 ，从而 B 为钝角，反之， ABC为钝角三角形，可能是 A 或C为钝角，应选A、4、 C【解析】N (3,4), P(2a 3)P(a2) ，2a3与 a2 关于3 对称 .2a3a2，解得a7 ，应选 C、2.335、 C【解析】由 CD/AF知 A 正确，由 DF AF知 B 正确，由 CF/BA 知 C正确，应选 C、6、 A【解析】由直线 bxay0 与圆 x2( y2) 21相切，得2a，得b21a24a2a2b2c2 , 因此 2c8 ，应选 A、7、 B【解析】由t，且，解得t，应选 B、(2x1)dx2tt2t6t
9、020(xx)|08、 B【解析】过P点作x轴，那么由条件得，因此PCCAB22PC 1, AC1213，应选 B、tanAPBtan(APCBPC )228131229、 C【解析】因为102 不是 10 的倍数，因此k13 ，因此由 akak1ak 19102 ，得 (13k )(12k )101(k6)(13k)(14k)( k6)( k7)22k27k112102 ，即 k27k100 ，解得 k2 或 k5，应选 C、10、 A【解析】线段AB的方程为 yx1(1x2) ，与 axby1联立，解得b1 、xab因此由1b1，得 ab0或 ab 0可行域如下图，显然a2b2 无最大值，
10、ab2a1a12ab12ab1a2b2 的最小值即为原点到直线2ab1的距离的平方，即为12，应选 A、155【二】填空题每题5 分，共25 分11、 30o【解析】因为1asin Asin Asin A，因此cos A3 ，又 0o A3bsin B sin 2 A2sin Acos A2180o，因此 30o，故填 30o 、A12、 5r15 rrr3r 10、令 3r 102 ，得 r4 、因此 x2 的系数是 C545 ，故Tr 1C5x2xC5 x填 5、13、 -2 【解析】 f (2)(02)2(22)0 222 、故填 -2说明：另外此题能够增加求f ( x) 在区间 2，
11、2上的最小值，那么：当 2x0 时， f ( x)xxxx2x 取最小值6、当 0x2 时，f ( x)0 xxx 取最小值 2、因此 f(x) 在区间 2， 2 上的最小值为 -6 、14、 1 ； (2 k1,2k ),kN 【解析】 10 时，n， an1n，20an 1n 1anann 1因此a20a19a219 18 1711、a20a19a18a120 19 181202 2a11, a21, a3(2)(1)(3)(2)(1)23, a44!,2( n1)(n2)(1) 、要使 an0 ，需负因数的个数为奇数个，当ann!2k12k ，如今存在 m2k (kN*) ,当 nm 时
12、， an0 恒成立。故填1； (2 k1,2k ),kN 、2015 1、 1； 75o【解析】因为 PB23 ， PA23 ，因此由切线定理，得PC 2PA PB(23)(23)431 ，因此 PC1 、连接 OC，那么 OC PC，因为 PC1， OP2 ，因此 COP 30o，从而 OCA 15o，因此ACD 90o 15o 75o，故填 1， 75o、15 2、2 2,【解析】在直角坐标系中，A0， 2， l : x 1 ，点 A 关于 l的对称点为4(2 ， 2) ，因此222222，因此此点极坐标为，故填422,4、2 2,4【三】解答 共75 分16、由 意， 2 分因此， 3
13、分sin( x)0x4k( kZ)4那么函数 f(x) 的定 域 D=R xk,k Z 4 分而， A=, ，因此x4x, x3， 5 分因此集合A D ,) (, 3 ) (3 , 6 分444444cos2 xcos2x， 7 分f ( x)sin( x)sin x coscosxsin4442 cos2x2(cos2 xsin2 x)2(cos x、 9 分sin xcos xsin xcosxsin x)因 f (x)4 ，因此sin x2 2 、 10 分3cos x3因此， sin 2x 1(cos x sin x) 2181 12 分9917、因 点O是菱形 ABCD的 角 的交
14、点，因此O是 AC的中点、又点是棱的中点，因此是的中位 ，OM/AB、 1 分MBCOMABC因 OM平面，AB平面，因此平面ABD、 3 分ABDABDOM/由 意， OBOD 3、因 BD3 2 ，因此 BOD 90o， OB OD、 4 分又因 菱形 ABCD，因此 OB AC，OD AC、建立空 直角坐 系 O xyz ，如下 、 A( 3 3 ， 0， 0) ， D(0 ， 3， 0) ， B(0 ， 0， 3)因此 AB ( 33,0,3) ， AD ( 3 3,3,0)、 6 分 平面 ABD的法向量 n( x, y, z) ，那么有AB n0，即3x3z03AD n033x3
15、y0令 x1 ，那么 y3 ， z3 ，因此 n(1, 3, 3) 、7 分因 ，因此平面BOD、AC OB AC ODAC平面 BOD的法向量与 AC平行、因此平面的法向量 、 8 分，BODn0(1,0,0)n0n17cos n0 ,nn0n177因 二面角 A- BD- O是 角，因此二面角A- BD- O的余弦 7 、 9分7因 N是 段 BD上一个 点， N (x1 , y1 , z1 ),BNBD ，那么 (x1 , y1 , z13)(0,3,3) ，因此 x10, y13 ,z133， 10分那么 N (0,3,3 3 ), CN(33,3,33 ),由 CN42 ，得2792
16、(33 )242，即 92920 ， 11分解得1 或2 、因此点 N的坐 0， 2，1或 0， 1， 2、 12 分33也能 答点N是 段的三等分点，或BDBN2ND2BNND18、事件 A 表示“ 出的4 名 手均 男 手” 、由 意知P( A)C32 3 分111 、 5 分C52C4210220 X 的可能取 0， 1，2， 3、 6 分P( X0)C3231，7 分C52 C4210620P( X1)C12 C13C32C3123337 ， 9 分C52C4210620P( X3)C32 C13333 ， 10 分C52 C4210620P( X2)1P( X0)P( X3)9 ，
17、11 分20X 的分布列如下：X0123P179320202020E( X )0117293317 、 12 分202020102019、x2axa， 2 分f(x)exx2当 a2 ，22 ex，f( x)x2xx21 22e1，f (1)e, f (1)e12因此曲 yf ( x) 在 (1, f (1) 的切 方程 yex2e， 4 分切 与 x ， y 的交点坐 分 2， 0， 0，2e， 5 分因此，所求面 1、 6 分22e2e2因 函数f ( x) 存在一个极大 点和一个极小 点，因此方程 x2axa0 在 0， +内存在两个不等 根，7 分那么a24a0， 8 分因此 a4 、
18、 9 分a 0设 x1 ,x2 函数 f ( x) 的极大 点和极小 点，那么 x1x2 a, x1 x2a ， 10分因 5 ，因此x1ax1x2a，11f ( x1 ) f ( x2 ) eex25x1x2ee分即2，22， eae ，x1 x2a( x1 x2 ) aa aa5ex1x2e5aeae5x1 x2解得 a5，如今 f ( x) 有两个极 点，因此 a5 、 12分20、因 M上一点和它的两个焦点构成的三角形周 64 2 ，因此 2a 2c 64 2 ，1 分又 的离心率 22 ，即 c22 ，因此 c22 a ，2 分3a33因此 a3,c22 、因此椭圆的方程 、 4 分b1,Mx2y219 方法一 ：不妨 BC的方程 y n( x3)(n0) ，那么 AC的方程 1、y(x3)n由