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1、2021年高考数学解答题专项练习立体几何四如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点. 已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：(1)三棱锥P-ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.【答案解析】解：(1)SABC=22=2，三棱锥P-ABC的体积为V=SABCPA=22=.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).在ADE中，DE=2，AE=，AD=2，cosADE=.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，A
2、B=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点.(1)设F是棱AB的中点，证明直线EE1平面FCC1；(2)求证：平面D1AC平面BB1C1C.【答案解析】答案：证明：(1)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2，且ABCD，所以CD=A1F1，CDA1F1，四边形A1F1CD为平行四边形，所以CF1A1D.又因为E，E1分别是棱AD，AA1的中点，所以EE1A1D，所以CF1EE1.又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，所以直线EE1平面FCC1.(2)在直棱柱中，CC1平面ABCD，A
3、C平面ABCD，所以CC1AC.因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，F是棱AB的中点，所以CF=CB=BF，BCF为正三角形，BCF=60，ACF为等腰三角形，且ACF=30，所以ACBC.又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，所以AC平面BB1C1C，而AC平面D1AC，所以平面D1AC平面BB1C1C.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA平面EDB；(2)求证：PB平面EFD.【答案解析】证明(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图.底面ABCD是正方
4、形，点O是AC的中点.在PAC中，EO是中位线，PAEO.而EO平面EDB且PA平面EDB.所以PA平面EDB.(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD.PDDC.PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC.同样由PD底面ABCD，得PDBC.底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC.而DE平面PDC，BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC，DEPB.又EFPB且DEEF=E，PB平面EFD.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC=90，AD=SD，BC=CD=AB，侧面SAD底面ABCD.(1)求证：平面SBD平面S
5、AD；(2)若SDA=120，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面SAB的面积【答案解析】解：(1)证明：设BC=a，则CD=a，AB=2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD=90，则BD=a，CBD=45，所以ABD=ABCCBD=45，在ABD中，AD=a，因为AD2BD2=4a2=AB2，所以BDAD，由于平面SAD底面ABCD, 平面SAD平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD平面SAD，又BD平面SBD，所以平面SBD平面SAD.(2)由(1)可知AD=SD=a，在SAD中，SDA=120，SA=2SDsin 60=a，作SHAD，交AD的延长线于点H，则SH=SDsin
6、 60=a，由(1)知BD平面SAD，因为SH平面SAD，所以BDSH，又ADBD=D，所以SH平面ABCD，所以SH为三棱锥SBCD的高，所以VSBCD=aa2=，解得a=1，由BD平面SAD，SD平面SAD，可得BDSD，则SB=2，又AB=2，SA=，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为 =，则SAB的面积为=.如图，四棱锥P-ABCD中，PA地面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN平面PAB;（II）求四面体N-BCM的体积.【答案解析】（I）见解析；（II）。如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边
7、形，E,F分别为AB,CD的中点，求证：AF平面PEC【答案解析】将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，弧AC长为，弧A1B1长为，其中与在平面的同侧(1) 求三棱锥的体积(2) 求异面直线与所成角的大小【答案解析】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=135，侧面PAB底面ABCD，BAP=90，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上(1)求证：EF平面PAC； (2)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PM:PD的值【答案解析】如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面
8、ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.（1）证明：平面AEC平面AFC;（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【答案解析】平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A,A1B,A1C,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（1）证明：AA1BC；（2）求AA1的长；（3）求二面角A-BC-A1的余弦值.【答案解析】【解题指南】（1）通过线线垂直证明
9、线面垂直进而得到线线垂直；（2）构造RtAA1D,在AA1D中求AA1；（3）先找到平面角，然后在三角形中求出.【解析】（1）取BC,B1C1的中点为点O,O1，连接AO,OO1,A1O,A1O1，则由AB=AC知AOBC，由面ABC面BB1C1C可知AO面BB1C1C；同理，A1O1面BB1C1C，由此可得AOA1O1，即A,O,A1,O1共面.又OO1BC,OO1AO=O，则BC面AOA1O1，所以AA1BC；（2）延长A1O1到D，使O1D=OA，则O1DOA,ADOO1；OO1BC，面A1B1C1面BB1C1C，则OO1面A1B1C1，AD面A1B1C1，在RtAA1D中， （3）因为
10、AOBC,A1OBC，则AOA1是二面角A-BC-A1的平面角.在RtOO1A1中，在RtOAA1中，所以二面角A-BC-A1的余弦值为.如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上（异于点，），平面与棱交于点.（1）求证：；（2）若平面平面，求证：.【答案解析】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，ABCD，AB=2CD，BCCD，DBC=30，点E，F分别为AD，PB中点（）求证：CF平面PAD；（）求证：平面PAD平面PEB【答案解析】证明：（）取PA 中点M，连结MF、MD由题意，MFCD且MF=CD，所以MDCF 为平行四边形所以CFMD又因为CF?平面PAD，MD?平面PA
11、D，所以CF平面PAD（）因为侧面PAD 为等边三角形，所以PEAD由已知可得BD=2CD=AB，所以BEAD，而BEPE=E，故AD平面PBE因为AD?平面PAD，所以平面PAD平面PEB如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，过A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于D点.（1）求证：CDAB；（2）若四边形BCC1B1是正方形，且，求二面角D-A1C-B1的余弦值. 【答案解析】如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB 平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,EA的中点。（1）求证:EB/平面MOC.（2）求证：平面MOC平面 EAB;（3）求三棱锥E-ABC的体积. 【答案解析】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PABE，AB=PA=4，BE=2（）求证：CE平面PAD；（）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由【答案解析】