物理学马文蔚第七章气体动理论.的要点.docx

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1、第七章气体动理论7 1处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们 ()(A) 温度，压强均不相同(B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强(C) 温度，压强都相同(D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强分析与解理想气体分子的平均平动动能k 3kT / 2 ，仅与温度有关 因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时，温度也相同又由物态方程pnkT ，当两者分子数密度 n 相同时，它们压强也相同故选(C) 7 2三个容器 A 、 B 、 C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比v A21 / 2: v B2 1 / 2: vC21/ 21 :

2、 2 : 4 ，则其压强之比pA : pB : pC 为 ()(A) 1 2 4(B) 1 4 8(C) 1 4 16(D) 4 2 1分 析 与 解分 子 的 方 均 根 速 率 为23RT / M， 因 此 对 同 种 理 想 气 体 有vvA2 :vB2 :vC2T1 :T2 :T3 ，又由物态方程 nkT ，当三个容器中分子数密度 n 相同时，得 p1 : p2 : p3T1: T2 : T31: 4 : 16 . 故选 (C) 7 3在一个体积不变的容器中，储有一定量的某种理想气体，温度为T0 时，气体分子的平均速率为 v0，分子平均碰撞次数为Z0 ，平均自由程为0 ，当气体温度升高

3、为 4T0 时，气体分子的平均速率v 、平均碰撞频率Z 和平均自由程分别为 ()(A)v4v0 , Z4Z0 , 40(B)v2v0 , Z2Z0 ,0(C)v2v0 ,Z 2Z0 ,4 0(D)v4v0 , Z 2Z0 ,0分析与解理想气体分子的平均速率v8RT / M ，温度由 T0升至 4T0，则平均速率变为2v0；又平均碰撞频率Z22，由于容器体积不变，即分子数密度n 不变，则平d nv均碰撞频率变为2Z 0 ；而平均自由程1， n 不变，则也不变因此正确答案2 2nd为 (B) 1 / 107 5 有一个体积为 1.0105 m3 的空气泡由水面下50.0 m 深的湖底处 ( 温度为

4、 4.0o C )升到湖面上来若湖面的温度为.o( 取大气压强为17 0 C ，求气泡到达湖面的体积p01.013 105 Pa )分析将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态 利 用 理 想 气 体 物 态 方 程 即 可求 解 本 题 位于 湖 底 时 ， 气泡 内 的 压 强 可用 公 式pp0gh 求出， 其中 为水的密度 ( 常取1.0 103 kg m 3)解设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为(p 1，V1 ，T1 )和 (p 2 ,V 2 ，T 2 )由分析知湖底处压强为 p1p2 gh p0 gh ，利用理想气体的物态方程p1V1p2V2T1T

5、2可得空气泡到达湖面的体积为V2p1T2V1p0gh T2V16.11 10 5 m3p2T1p0T17 6 一容器内储有氧气，其压强为1.01105 Pa ，温度为 27 ，求： (1) 气体分子的数密度； (2)氧气的密度；(3) 分子的平均平动动能； (4)分子间的平均距离(设分子间均匀等距排列 )分析在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为V0d 3 ，由数密度的含意可知V01/ n ， d 即可求出解 (1) 单位体积分子数np2.44 1025

6、 m3kT(2) 氧气的密度m /VpM1.30 kg m-3RT(3) 氧气分子的平均平动动能k3kT / 26.21 10 21 J2 / 10(4) 氧气分子的平均距离d3 1 / n3.45 10 9 m通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、 分子间平均距离等物理量的数量级有所了解7 72.0 10-2 kg 氢气装在 4.0 10 -3 m3 的容器内，当容器内的压强为3.90 10 5 Pa 时，氢气分子的平均平动动能为多大？分析理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的，即k3kT / 2 因此， 根据题中m给出的条件，通过物态方程pV RT

7、，求出容器内氢气的温度即可得k MMpV解由分析知氢气的温度T，则氢气分子的平均平动动能为mRk3 kT3pVMk3.89 10 22 J22m R7 8 某些恒星的温度可达到约1.0810 K ，这是发生聚变反应 (也称热核反应 )所需的温度 .通常在此温度下恒星可视为由质子组成.求： (1)质子的平均动能是多少？(2) 质子的方均根速率为多大？分析 将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度i 3 ，因此，质子的平均动能就等于平均平动动能.此外，由平均平动动能与温度的关系2/ 2 3 / 2 ，mvkT可得方均根速率v 2.解 (1) 由分析可得质子的平均动能为kmv 2

8、/ 23kT / 22.0710 15 J(2) 质子的方均根速率为v 23kT1.58 106 m s-1m7 9 日冕的温度为 2.0106.试求其中电子的方均根K，所喷出的电子气可视为理想气体速率和热运动平均动能 .解方均根速率 v 23kT9.5106m s 1me3 / 10平均动能k324 1 1017JkT /.7 10在容积为 2.010 -3 m 3 的容器中，有内能为 6.75210 J的刚性双原子分子某理想气体.(1)求气体的压强；22(2) 设分子总数为 5.4 10 个，求分子的平均平动动能及气体的温度.分析(1) 一定量理想气体的内能Em i RT ，对刚性双原子分

9、子而言， i 5.由上述内能M 2公式和理想气体物态方程pV RT可解出气体的压强.(2) 求得压强后，再依据题给数据可求得分子数密度，则由公式p nkT 可求气体温度. 气体分子的平均平动动能可由k3kT / 2 求出 .解(1) 由 Ei RT 和pV RT可得气体压强2p 2E 1.35 105 Pa iV(2) 分子数密度 n N/V ，则该气体的温度Tp / nkpV / nk3.62102 K气体分子的平均平动动能为3kT / 27.4910 21 Jk7 11当温度为 0 C 时，可将气体分子视为刚性分子，求在此温度下：（ 1）氧分子的平均动能和平均转动动能；（2 ） 4.010

10、 3 kg 氧气的内能；（ 3） 4.010 3 kg 氦气的内能.分析（1）由题意，氧分子为刚性双原子分子，则其共有5个自由度，其中包括3 个平动自由度和 2 个转动自由度.根据能量均分定理，平均平动动能kt3 kT ，平均转动动能2kr2 kTkT .（ 2）对一定量理想气体，其内能为Em i RT ，它是温度的单值函2M 2数. 其中 i为分子自由度，这里氧气i=5 、氦气 i=3. 而 m 为气体质量， M 为气体摩尔质量，其中氧气 M3210 3 kg mol 1 ；氦气 M4.010 3 kg mol 1 .代入数据即可求解它们的内能 .4 / 10解根据分析当气体温度为T=273

11、 K 时，可得（1 ）氧分子的平均平动动能为kt3 kT 5.7 10 21 J2氧分子的平均转动动能为kr2 kT3.8 10 21 J2（2 ）氧气的内能为Emi RT4.010 358.31273 J7.1102JM 23210 32（3 ）氦气的内能为Emi4.010 338.31273 J3.43JRT4.010 3210M 27 12 已知质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为v2gr ，其中 r为地球半径 .(1)若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；(2)6说明大气层中为什么氢气比氧气要少.(取 r 6.40 10m)气体分子热运动的平均速率

12、 v8RT分析，对于摩尔质量 M 不同的气体分子， 为使 vM等于逃逸速率 v，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M 较小的就容易达到逃逸速率 .解 (1) 由题意逃逸速率 v2gr ，而分子热运动的平均速率v8RTv 时，.当 vM有MrgT4R由 于 氢 气 的 摩 尔 质 量 M H 22.0 10 3 kg mol 1， 氧 气 的 摩 尔 质 量M O 23.2 10 2 kg mol 1 ，则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为TH 21.18 104 K, TO 2 1.89 105 K5 / 10(2) 根据上述分析， 当温度相同时， 氢气的平均速率比氧气的要大(约

13、为 4倍 )，因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多.按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程.在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高.因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸.另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率.从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子.故大气层中氢气比氧气要少.7 13容积为 1 m 3 的容器储有 1 mol氧气，以 v 10 m s-1 的速度运动， 设容

14、器突然停止，其中氧气的 80的机械运动动能转化为气体分子热运动动能.试求气体的温度及压强各升高了多少 .分析容器作匀速直线运动时，容器内分子除了相对容器作杂乱无章的热运动外，还和容器一起作定向运动.其定向运动动能(即机械能 )为 1 mv2 .按照题意，当容器突然停止后，80 2定向运动动能转为系统的内能.对一定量理想气体内能是温度的单值函数，则有关系式：E1 m v280%m 5 R T 成立，从而可求T.再利用理想气体物态方程，可求压2M 2强的增量 .解 由分析知E0.8mv 2T ，其中 m 为容器内氧气质量.又氧气的摩尔质m 5 R2M 2量为 M3.210 2kg mol 1 ，解

15、得T 6.16 10-2 K当容器体积不变时，由pV m RT 得Mpm RT0.51 PaM V7 14有 N个质量均为 m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.(1)说明曲线与横坐标所包围的面积的含义；(2)由N 和 v0求a 值；(3)求在速率 v0 /2 到3 v0 /2间隔内的分子数；(4) 求分子的平均平动动能 .6 / 10题 7-14 图分析处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数f v 的物理意义 .dN，题中纵坐标 Nf vdN / dv ，即处于速率 v 附近单位速率区间内的分子数 .f vNd同时要掌握 fv 的归一化条件， 即f v dv 1.在此

16、基础上， 根据分布函数并运用数学方0法( 如函数求平均值或极值等)，即可求解本题.解 (1) 由于分子所允许的速率在 0 到 2 v0 的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积2 v0S0Nf v dvN即曲线下面积表示系统分子总数N .(2 ) 从图中可知，在0 到 v0 区间内，Nf vav / v0 ；而在 0 到 2 v0 区间， Nf v.则利用归一化条件有v0av dv2v0Nvadv00v0(3) 速率在 v0 /2到 3 v0 /2间隔内的分子数为a3v0 / 2v0v dvNadv 7N /120v0v0(4) 分子速率平方的平均值按定义为v 2v 2dN / Nv 2 f

17、 v dv00故分子的平均平动动能为7 / 10k1 mv21 mav 3dv2vav 2dv31mv02v00220Nv0v0N367 15一飞机在地面时，机舱中的压力计指示为1.01105Pa ，到高空后压强降为8.11 104 Pa . 设大气的温度均为27.0 .问此时飞机距地面的高度为多少？( 设空气的摩尔质量为 2kg mol 12.89 10)分析当温度不变时，大气压强随高度的变化主要是因为分子数密度的改变而造成.气体分子 在 重 力 场 中 的 分 布 满 足 玻 耳 兹 曼 分 布 . 利 用 地 球 表 面 附 近 气 压 公 式pp0 exp mgh / kT，即可求得飞

18、机的高度h .式中 p 0是地面的大气压强 .解飞机高度为hkT ln p0 / pRT ln p0 / p1.93 103 mmgMg7 16目前实验室获得的极限真空约为 11Pa ，这与距地球表面41.33 101.0 10 km 处的压强大致相等 . 而电视机显像管的真空度为1.33 10 3Pa ，试求在 27 时这两种不同压强下单位体积中的分子数及分子的平均自由程.( 设气体分子的有效直径d 3.0 10 8cm)n p ； kTd p ，压强为解理想气体分子数密度和平均自由程分别为22kT1.33 10 11Pa 时，np / kT 3.21 109 m-3kT7.8108m2d

19、2 p从的值可见分子几乎不发生碰撞.压强为 1.33 10 3Pa时，np17m-3，kT7.8 m3.21102kT2pd此时分子的平均自由程变小，碰撞概率变大.但相对显像管的尺寸而言，碰撞仍很少发生.7 17在标准状况下，1 cm 3 中有多少个氮分子？氮分子的平均速率为多大？平均碰撞次数为多少 ?平均自由程为多大？（已知氮分子的有效直径d 3.76 10 10 m ）8 / 10分析标准状况即为压强 p1.013 105 Pa，温度 T273 K .则由理想气体物态方程pnkT 可求得气体分子数密度n ，即单位体积中氮分子的个数.而氮气分子的平均速率、平均碰撞次数和平均自由程可分别由公式

20、直接求出 .解由分析可知，氮分子的分子数密度为v8RT， Z2vn 和12d2nM2dnp2.69 1025 m 3kT即 1 cm3 中约有 2.69 1019 个.氮气的摩尔质量为 M=28 10 3kg mol 1，其平均速率为v 8RT =454 m s 1M则平均碰撞次数为Z2d 2 vn7.7109 s-1平均自由程为1 6 10 8 m2d 2n讨论 本题主要是对有关数量级有一个具体概念.在通常情况下，气体分子平均以每秒几百米的速率运动着， 那么气体中进行的一切实际过程如扩散过程、热传导过程等好像都应在瞬间完成， 而实际过程都进行得比较慢， 这是因为分子间每秒钟上亿次的碰撞导致分

21、子的自由程只有几十纳米，因此宏观上任何实际过程的完成都需要一段时间.7 18 在一定的压强下，温度为 20 时，氩气和氮气分子的平均自由程分别为9.9 10 8m和 27.5 10 8m. 试求： (1) 氩气和氮气分子的有效直径之比；(2)当温度不变且压强为原值的一半时，氮气分子的平均自由程和平均碰撞频率.分析 ( 1 ) 气体分子热运动的平均自由程1kT/d 2p，因此，温度、222d n压强一定时，平均自由程 1/ d2.(2)当温度不变时，平均自由程 1/ p .9 / 10解 (1) 由分析可知dA r/ dN 2 / 1.67N 2A r(2) 由分析可知氮气分子的平均自由程在压强降为原值的一半时，有N22N25.5 10 7 mvN28RT/ 而此时的分子平均碰撞频率ZN 2M N 22N2N 2将T 293K ， MN22kg mol1代入，可得 2.8 10Z N 28.56 108 s-110 / 10