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1、1.5三角形全等条件（3）,ASA AAS,有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”),回顾与思考,三角形全等的条件1：,有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）,三角形全等的条件2：,回顾与思考,议一议,小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？,猜想：全等三角形还有什么判别方法？,有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗？请用量角器和刻度尺画ABC，使BC=3， B=400、 C=600 将你画的三角形与其他同学画的三角形比较，
2、你发现了什么？,C,B,A,600,400,3cm,与同伴进行比较，它们能否互相重合？,合作学习：,有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）,ABCABC（ASA）,有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）,数学语言表示：,试一试,小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？,小明应该带哪块碎片去配置三角形模具的理由吗？,做一做：如图，在ABC和A/B/C/中，已知AB=A/B/，B=B/、C=C/ ，那么 ABC与A/B/
3、C/会全等吗？请说明理由。,结论：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）,能不能把“AAS”、“ASA”简述为“两角 和一边对应相等的两个三角形全等”？,在ADE和ABC中,但ABC和ADE不全等,结论：说明两个三角形全等时,特别注意边和角“位置上对应相等” 。,例1 已知:如图，1=2 ，C=E，AC=AE， 求证:,D,A,C,E,B,1,2,证明: 1=2 （已知）, 1+BAE=2+BAE,即BAC=DAE,在ABC与ADE中，,BAC=DAE（已证）,AC=AE（已知）,C=E（已知）,（ASA）,例2 已知:如图，点B，F，E，C在同一条直线
4、上，ABCD，且AB=CD，A=D 。 求证: AE=DF,A,B,C,D,E,F,分析 要证明AE=DF，可以通过证明，,证明: ABCD （已知）, B=C（两直线平行，内错角相等）,在ABE与DCF中，,A=D（已知）,AB=CD （已知）,B=C（已证）,（ASA）, AE=DF（全等三角形的对应边相等）,在ABC和DEF中 A=D _=_ B=E ABCDEF(ASA),AB DE,填一填：1,在ABC和DEF中 _=_ AC=DF _=_ ABCDEF(ASA),A D,C F,填一填：2,在ABC和DEF中 _=_ BC=EF B=E ABCDEF(ASA),C F,填一填：3,
5、（AAS）,A=D,在ABC和DEF中 A=D C=F _=_ ABCDEF(AAS),填一填：4,BC=EF或AC=DF,判定条件,全等三角形的定义 SSS SAS ASA（AAS）,边和角分别对应相等,而不是分别相等。,两个三角形全等,特别注意：,关键：,找符合要求的条件,小结,谈谈你的感受,SSS,SAS,ASA,AAS,解题时通常可以根据以下定义、性质说明两角相等： （1）角平分线的定义； （2）垂线的意义； （3）对顶角相等； （4）三角形内角和性质及外角性质； （5）全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等） （6）同角（或等角）的余角（或补交）相等； （7）利用和、差关系说明角相
6、等； 等等。,例3、如图，点P是BAC的平分线上的一点，PBAB，PCAC。说明PB=PC的理由。,角平分线上的点到角两边的距离相等。,解:在APB和 APC中,PAB=PAC,ABP=ACP,AP=AP,(角平分线的意义),(垂线的意义),(公共边), APBAPC（AAS）,PB=PC (根据什么?),数学语言表示： AP是BAC的角平分线， 且PBAB，PCAC(已知) PB=PC(角平分线上的点到角两边的距离相等)。,例4、已知：如图所示，ABCD，PB和PC分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直.求证：PA=PD,证明：过点P作PEBC AB/CD ,PAAB PDCD P
7、 是ABC的平分线上的点， PEBC,PAAB， PE=PA(角平分线上的点到角两边的距离相等) 同理可得: PE=PA PA=PD,小试牛刀：,1、如图ACB=DFE，BC=EF，根据ASA或AAS，那么应补充一个直接条件 -，（写出一个即可），才能使ABCDEF,2、如图，BE=CD，1=2，则AB=AC吗？为什么？,A,B,C,D,E,F,B=E或A=D,3、如图，1=2，3=4，说明：AC=AD,ABD,ABC,ABD ABC,1=2 已知,AB=AB,ABD=ABC 已知,ABD ABC,ASA,AC=AD,1、如图，ABBC，ADDC，1=2。 求证：AB=AD,巩固练习：,例1、
8、已知，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，B=C，试说明AD=AE。,解 ：在ADC和AEB中,AD=AE（全等三角形的对应边相等）,O,ACDABE（ASA）,再见！,2、如图：要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？,巩固练习：,1、已知：ACCD,BDCD,M是AB的中点,连CM并延长交BD于F,请说明:M是CF的中点.,A,C,M,D,F,B,K,拓展练习：,2、如图， ABC的两条高AD,BE相交于H,且AD=BD,试说明 BD
9、H ADC,拓展练习：,在ABC和ABC中 B=B(已知) BC= BC (已知) C=C (已知),几何语言：,ABCABC（ASA）,如图，在 ABC和 A/ B/ C/ 中，已知AB= A/ B/ ， B= B /、 C= C / ，请说出 ABC A/ B/ C/ 的理由。,两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）,共同探索：,1.如图，ABC ，AD、 分别是ABC和 的高试说明：,解 ABC,AD、 分别是ABC、 的高 ADB= =90(垂直的意义),在ABD与 中,ABD,2. 如图，已知AB=AC，D、E两点分别在AB、AC上，且AD=A
10、E，试说明：BDFCEF,解:在ABE与ACD中,(已知） （公共角） （已知）,ABEACD（SAS），B=C（全等三角形对应角相等），AB=AC，AD=AE，BD=CE,在BDF与CEF中,（已证） （对顶角） （已证）,BDFCEF（AAS）,3.如图，BD、CE交于O，OA平分BOC，ABD的面积和ACE的面积相等，试说明BD=CE,解:过A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、GOA平分BOC AF=AG（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）,SABD=SACE,BD=CE,分析: 有了角平分线性质定理，使证明线段相等又多了一种方法同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度关系，也是
11、几何证明题中常用的方法,理解提升：,1下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） AAAS BSSA CSAS DSSS 2在ABC和DEF中，下列条件中，能根据它判定ABCDEF的是（ ） AAB=DE，BC=EF，A=D BA=D，C=F，AC=EF CAB=DE，BC=EF，ABC的周长=DEF的周长 DA=D，B=E，C=F 3如图，AD平分BAC，AB=AC， 连接BD、CD，并延长交AC、AB于F、E， 则图形中全等三角形有（ ） A2对 B3对 C4对 D5对,B,C,C,4在ABC中，A的平分线交BC于D，则（ ） AD是BC的中点 BD在AB的中垂线上 CD在AC的中垂线上
12、 DD到AB和AC的距离相等 5如图，BCAC，BDAD，垂足分别是C和D，若要根据AAS定理，使ABCABD（AAS），应补上条件_或_ 6如图，已知1=2，3=4， 说明AD=BC的理由 解：_，_（已知） 1+3=_ 即_=_ 在_和_中 _( ) _( ), _( ) _（ ） AD=BC（ ）,D,CAB=BAD,CBA=DBA,1=2,3=4,2+4,DAB,CBA,BCA,ADB,1=2,已知,AB=BC,公共边,CBA=DAB,已证,BCA,ADB,ASA,全等三角形对应边相等,7如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_的距离相等 8如图，AD、AD分别是锐角ABC
13、和ABC的高线，且AB=AB，AD=AD，B=B，若使ABCABC， 请你补充条件_（只需要填写一个你认为适当的条件）,三边,CD=CD或DAC=DAC或BAC=BAC或C=C,9如图，已知M是AB的中点，1=2，C=D说出下列判断正确的理由： （1）AMCBMD；（2）AC=BD,解（1）M为AB的中点（已知） AM=BM （中点的性质） 又1=2（已知） C=D（已知） ACMBDM（AAS） （2） ACMBDM（已证） AC=BD （全等三角形对应边相等）,10如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE的垂线CF，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线
14、于点D（1）试说明：AE=CD； （2）AC=12cm，求BD的长,解：（1） ACB=90（已知）AFDC（已知），AFC=900（垂直的意义） 又DCB+DCA=EAC+ACF=90 EAC=DCB（同角的余角相等）， DBBC（已知）DBC=ACB=900,DCBEAC（ASA） AE=CD（全等三角形对应边相等）,在ACB和CBD中,DBC=ACB（已证）,EAC=DCB（已证）,AC=BC（已知）,（2）由DCBEAC得 CE=DB E为BC的中点 ,11如图，在ABD和ACE中，有下列4个诊断：AB=AC，B=C，BAC=EAD，AD=AE请以其中三个诊断作条件，余下一个诊断作为结
15、论（用序号 的形式）写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明原因,解：,BAC=EAD BAD=CAE 又B=C AB=AC BADCAE （ASA） AD=AE （全等三角形对应边相等）,12如图，在ABC中，C=90，AC=BC，BD平分CBA，DEAB于E，试说明：AD+DE=BE,只要证BCDBED，得BC=BE，DC=DE AD+DE=AD+DC=AC=BC=BE,13如图，在五边形ABCDE中，B=E，C=D，AMCD于M，BC=DE，试说明M为CD的中点,解：延长AB、AE交CD的延长线于H、F ABC=AED BCD=EDC HBC=FED BCH=EDF 又BC=DF BCHEDF（AAS） CH=DF 在AMH与AMF中，H=F AMH=AMF AM=AM AMHAMF（AAS） HM=FH CM=DM,14如图，ABC两条角平分线BD、CE相交于点O，A=60，求证：CD+BE=BC,解：在BC上取一点F，使BF=BE， 连结OF，则EBOFBO EOB=FOB 又2+4=60 COB=120 EOB=DOC=60 OFCODC CD=CF BC=BF+CF=BE+CD,这种方法是我们解决这一类问题的统常方法。,