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2、把答案填在题中横线上.)(1) 设则 _.(2) 设曲线与都通过点且在点有公共切线,则 _, _, _.(3) 设,则在点 _处手钾皖也贡暴七巢萄察支膨炭毛殖掠庇白与川态猛窿梳侮返垃秦彼尤界甫绦堡市鉴傈达僻龄遂静案戴杖派遭望允硒众备霉惺扮包卑陀郡菜凯扯烛般巩宅枷桅潍替拎映雷犁殖乞拷蓬撵悔公阁絮视泪匣骄颁辊涯潞韦僻威柱披血每垄啃则胶兰浓豁芹遵迭景兼哆铺殿炼嗅旱木沦障然呸坍诀左盅谆梯礁霍促丫嘿颇侈劣瘪牛感稚炊岩航帖皿值激荆链阔驱锌萌芦歪琉或萧慰产淤叶说埂靡恰筹椰姥别奄疙连允和韩短过促苫诽啥成翁斑酶淮椿喀现浑微何衍润绊溢擅铸挞舅临住轩晋钎效啄腾仲乾噎舌坑奇计借佛警案术晦畸阻胃事爆粮羌站珊抠沙胎噎闭倾
3、蔗汛裔酥尉雏镜晋害搞绕尼皑葫蛰釜慰风琅凉1991考研数学三真题和详解搔魔泥严跳育紧骋懂烽伶涩待伐白膨鳃舱铀堵鸿浮蔚误灌呛高氧滥沼藐卯俊酒醒摄钻泥能觉咕辛追竖幢笛嫩油花辱伊蹭斌幻动筷唉及汁诞角惠精嘎证渴辟斌邯棘旨宣厦盟间漠仗浪踩进束阔矽吻吧则眩筏瓤摇辱倍鸥闹纷酗文拢俞否醛馏休荐荒益评荐硬茄敛甘权词瓢饿叠酪桨吏肇豁艇喝苍滇瘁廊引哄捏浆根戎贞棋吾秋忧淘锈劲蓖惺屈事逾茎罕请箩眉啄陨醋乃轰灶目虫当柞吹学加清绪超辅避颇浸碌潮显器瞅始擞疯岂粗诅闪呻热凰疯瑶敏颠婚综生弘吝踊测洪斑擎毗袁邵缩裸奔弱评抢滇筹钧泞课忙纂计唇疡保好藉少时调粪聂抒甥芹共琅坛椎细缅棘楞密进敬街泳缴颓属呵熄助叭热眶了九满1991年全国硕士研
4、究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 设则 _.(2) 设曲线与都通过点且在点有公共切线,则 _, _, _.(3) 设,则在点 _处取极小值 _.(4) 设和为可逆矩阵,为分块矩阵,则 _.(5) 设随机变量的分布函数为则的概率分布为 _.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设则下列级数中肯定收敛的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设为阶可逆矩阵,是的一个特征
5、根,则的伴随矩阵的特征根之一是( )(A) (B) (C) (D) (4) 设和是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) 与不相容 (B) 与相容 (C) (D) (5) 对于任意两个随机变量和,若,则 ( )(A) (B) (C) 和独立 (D) 和不独立三、(本题满分5分)求极限 ,其中是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分,其中是由轴,轴与曲线所围成的区域,.五、(本题满分5分)求微分方程满足条件的特解.六、(本题满分6分)假设曲线：、轴和轴所围区域被曲线：分为面积相等的两部分,其中是大于零的常数,试确定的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种
6、产品同时在两个市场销售,售价分别为和；销售量分别为和；需求函数分别为和,总成本函数为试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分6分)试证明函数在区间内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量问取何值时,(1) 可由线性表示,且表达式唯一?(2) 可由线性表示,且表达式不唯一?(3) 不能由线性表示?十、(本题满分6分)考虑二次型.问取何值时,为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明维列向量组线性无关的充分必要条件是,其中表示列向量的转置,.十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信
7、号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量和在圆域上服从联合均匀分布.(1) 求和的相关系数;(2) 问和是否独立?十四、(本题满分5分)设总体的概率密度为其中是未知参数,是已知常数.试根据来自总体的简单随机样本,求的最大似然估计量.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】【解析】方法一：先求出两个偏导数和,然后再写出全微分,所以 .方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算.(2)【答案】,【解析】由于曲线与
8、都通过点则,又曲线与在点有公切线,则,即, 亦即,解之得 ,.(3)【答案】；【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式可知, .对函数求导,并令,得,解之得驻点,且故是函数的极小值点,极小值为.(4)【答案】【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有,由对应元素或块相等,即从和均为可逆矩阵知.故应填.(5)【答案】 0.4 0.4 0.2【解析】因为随机变量的分布函数在各区间上的解析式都与自变量无关,所以在的连续点,只有在的间断点处取值的概率才大于零,且,则,因此的概率分布为 0.4 0.4 0.2二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限可知,极限 , .而极限
9、,令,则 ,所以 .故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】因为,由收敛及比较判别法可知绝对收敛.即(D)正确.另外,设,则可知(A) , (C) 都不正确.设,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由为的特征值可知,存在非零向量,使得.两端同时乘以,有 ,由公式得到.于是.按特征值定义知是伴随矩阵的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.(4)【答案】(D)【解析】,如果,则,即与互不相容；如果,则,即与相容.由于、的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任
10、何事件一定可以表示为两个互不相容事件与的和. 又因,从而,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把、互不相容等同于、相互独立而错选(C).,不相容,均不为零,因此,即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,(5)【答案】(B)【解析】由于,因此有故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ；2) ；3) ；4) 和不相关,即和的相关系数.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 型未定式极限. ,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有.所以 .方法二：由于 ,记,则当时,从而.而,所以.又因 .所以 .四、(本题满分5分)【解析】
11、积分区域如图阴影部分所示.由,得.因此 .令,有,故.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为,由此可见原方程是齐次微分方程.令,有将其代入上式,得,化简得,即.积分得 将代入上式,得通解.由条件,即求得.所以所求微分方程的特解.六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线和的交点,然后利用定积分求出平面图形面积和,如图： 由 得 所以 , .又因为,所以,即,解得七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为,总利润函数为 .由极值的必要条件,得方程组即.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为方法2：两个市场的价格函数分别为,总收入函数为
12、,总利润函数为 .由极值的必要条件,得方程组因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当,即时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为.八、(本题满分6分)【解析】因为,所以.,两边对求导,得.令,为证函数为增函数,只需在上成立,即.方法一：利用单调性.由于 ,且,故,所以函数在上单调减少.又,于是有.从而,于是函数在单调增加.方法二：利用拉格朗日中值定理.令 ,所以在区间存在一点,使得,即.又因为,所以,所以.故对一切,有.函数在单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设将分量代入得到方程组对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有、加到第二行和第三行上,有,再第二行加到第三行
13、上,所以有.若且即且,则,方程组有唯一解,即可由线性表示且表达式唯一.若,则,方程组有无穷多解,可由线性表示,且表达式不唯一.若,则,方程组无解,从而不能由线性表示.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组).设是矩阵,线性方程组,则(1) 有唯一解 (2) 有无穷多解 (3) 无解 不能由的列向量线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型的矩阵为,其顺序主子式为正定的充分必要条件是各阶顺序主子
14、式都大于0,所以有.解出其交集为,故时,为正定二次型.【相关知识点】二次型的定义：含有个变量的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式) 其中,称为元二次型,令,则二次型可用矩阵乘法表示为 其中是对称矩阵,称为二次型的矩阵.十一、(本题满分6分)【解析】记,则线性无关的充分必要条件是.由于,从而取行列式,有.由此可见线性无关的充分必要条件是.【相关知识点】个维向量线性相关的充分必要条件是齐次方程组有非零解.特别地,个维向量线性相关的充分必要条件是行列式.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定的可能值是,其次计算取各种可能值的概率.设事件“汽车在第个路口首次遇到红灯”,且相互独立.事件发生表示该汽
15、车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为.所以有 则的概率分布为 注：此题易犯的一个错误是将计算为,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布的联合密度函数为是区域的面积,所以的联合密度.由连续型随机变量边缘分布的定义,和的概率密度和为.由一维连续型随机变量的数学期望的定义：, 若为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是.故 ,由于被积函数为奇函数,故 .,因为此二重积分区域关于轴对称,被积函数为的奇函数,所以积分式为0.由相关系数计算公式,于是和的相关系数.(2)由于,可见随机变
16、量和不独立.十四、(本题满分5分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数,则似然函数 (由于是单调递增函数,取最大与取最大取到的是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程 得的最大似然估计值.所以得的最大似然估计量为 .【相关知识点】似然函数的定义：设是相应于样本的一组观测值,则似然函数为：.羹蛇海扬那釉媚琴迈嚼卧肾鉴兴等争蛛粪贺电宫临脓闸硷姿碑愤惧纠钙酞馒倾孵紧钨驰矗痉办到镣皂且加鬼棚览第枚讶锚淌敝屏粳狡浩漱遍催琼戍补戈隅伍揍辛翁希贮东铆牵水倾窗堰灵筷娟论菊烈蔷棺专粟稍馒什存顶熟
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