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1、实际问题与一元二次方程,2021/3/5,泸溪县达岚中学,一、复习 列方程解应用题的一般步骤？ 第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。,2021/3/5,一元二次方程与实际问题的类型：,4、球赛问题,2、平均变化率问题,3、几何问题,1、数字问题,5、利润问题,2021/3/5,6、运动问题,一、数字问题：,两个连续奇数或偶数：,
2、两个连续自然数：,x、x+1,注意：自然数指的是0和正整数，不能为负数,x、x+2,奇数或偶数可以是负的,2021/3/5,2021/3/5,例题1：两个连续自然数 的积是90，求这两个数,解：设较小一个自然数为x，则较大一 个为（x+1）,依题意可得方程：,x(x+1)=90 x+x-90=0 (x-9)(x+10)=0 x1=9 x=-10,当x=9时，x+1=10 当x=-10时,x+1=-9(不符合题意，舍去）,例题2：两个连续整数 的积是90，求这两个数,解：设较小一个整数为x，则较大一 个为（x+1）,依题意可得方程：,x(x+1)=90 x+x-90=0 (x-9)(x+10)=
3、0 x1=9 x=-10,当x=9时，x+1=10 当x=-10时,x+1=-9,答：这两个连续自然数为9、10。,答：这两个连续整数为9、10或-9、-10。,2021/3/5,练习：两个连续偶数的积是168，求这两个偶数,解：设较小一个偶数为x,则较大一个偶数为 ，依题意可得方程,x+2,x(x+2)=168,x+2x-168=0,(x+14)(x-12)=0,x1=-14 x=12,当x=-14时，x+2=-12 当x=12时，x+2=14,答：这两个偶数为-14、-12或12、14.,2021/3/5,1、一个两位数，个位数字比十位数字大1，个位数字与十位 数字的积比原数大9，求这个两
4、位数,2、两数之和为8，积为9.75,求这两个数,解：设十位上的数为x，则个位上的数为x+1，依题意可得方程：,x（x+1）-【10 x+（x+1)】=9,解：设其中一个数为x，则另一个数为 ，依题意可得方程：,8-x,x(8-x)=9.75,二、平均增长率（下降率）问题,增长率用“+”，降低率用“”,x的取值范围是：,0x1,还有一个公式也请务必记住：,某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，三月份产值为72亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？,解：设平均每月增长的百分率为 x， 根据题意得方程为,50(1+x)2=72,可化为：,解得：,答：二月、三月平均每月的增长率是20%,有一
5、个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?,探究1,分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人,开始有一人患了流感,第一轮:他传染了x人,第一轮后共有_人患了流感.,第一轮的传染源,第一轮后共有_人患了流感.,第二轮的传染源,第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,第二轮后共有_人患了流感.,x+1,x+1,1+x+x(x+1)=(x+1)2,列方程得,(1+x)=121,x=10;x=-12,注意:1,此类问题是传播问题. 2,计算结果要符合问题的实际意义. 思考:如果按照这样的传播速度,三轮后有多少人患流感?,一、传播问题,1、有一个人用手机发短信，获
6、得信息的人也按这个人的发送人数发送该条短信，经过两轮转发后共有64人收到同一短消息，每轮发送短信平均一个人向多少人发送短信？,解:每轮发送短信平均一人向x人发送短信 (1+x)=64 解得：x1=7 x2 =-9(舍) 答：平均一人向7人发送短信。,试一试,1.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨.设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意,列出方程为 _ .,3.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值175亿元,设二月、三月平均每月增长的百分率为x,根据题意得方程为:,2某电视机厂1999年生产一种彩色电视机,每台成本 3000元,由于该厂不断进行技术革
7、新,连续两年降低成本, 至2001年这种彩电每台成本仅为1920元,设平均每年降低成本的百分数为x,可列方程_.,20(1+x)=35,3000(1-x)=1920,50+50（1+x)+50(1+x)=175,两年前生产一吨甲种药品的成本是5000 元,生产一吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现代生产一吨甲种药品的成本是3000元,生产一吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?,练习1：,若设甲种药品年平均下降率为x,可列方程,若设乙种药品年平均下降率为m,可列方程,5000(1-x)=3000,6000(1-m)=3600,练习2、小红的妈妈前年存了5
8、000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）,若设年利率为x，依题意可得方程：,5000（1+x)=5145,练习3.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.,若设年平均增长率为x，依题意可得方程：,48+48（1+x)+48(1+x)=183,例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.,整理后，得x2-
9、11x+30=0 解这个方程，得x1=5,x2=6,(与题设不符，舍去),答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。,由x1=5得,由x2=6，得,解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 （cm）. 根据题意，得,三、几何问题：,11-x,x(11-x)=30,（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米求鸡场的长和宽各多少米？,在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长
10、方形框的框边宽。,解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得,3020(302x)(202x)=400,整理得 x2 25x+100=0,得 x1=20, x2=5,当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10,答:这个长方形框的框边宽为5cm,探究3,分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积,4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向，一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地分成大小相等的六块试验地，要使试验地面积为570m，问道路的宽为多少？,4、学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于
11、管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。（精确到0.1米）,解:设截去的正方形的边长为xcm,用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少cm？,(28-2x)(20-2x)=180,x2-24x+95=0,解这个方程，得：x1=5,x2=19,经检验：x219不合题意，舍去 答：截去的正方形边长为cm.,练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个面积为32厘米的矩形？说明
12、理由。,2021/3/5,四、球赛问题,设一次比赛共有n个队参赛，则有：,单循环赛：,双循环赛：,n(n-1)=总场次,n(n-1)=总场次,此类型问题还可以引申到互赠礼物、握手等问题中,2021/3/5,例：某次篮球比赛中，规定每两队之间要打一场比赛， 若共进行了15场比赛，则有多少个队伍参赛？,解：设有x个队参赛，依题意有：,x(x-1)=15,x(x-1)=30,x-x-30=0,(x-6)(x+5)=0,x1=6 x=-5（不符合题意，舍去）,答：有6个队伍参赛。,2、某旅游团结束旅游时，其中一位游客建议，大家互相言别，细心的小明发现，每两个参加旅游的人互握一次手，所有人共握手66次，
13、这次旅游的旅客有多少人？,3、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，问该生物兴趣小组共有多少名学生？,解：设这次旅游的旅客有x人,解：设该生物兴趣小组共有x名学生,1、 某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?,单位利润销售量=每天的总利润,解:设每千克应涨价x元. 由题意得: (10+x)(500-20 x)=6000 解得: x1=5,x2=10 因为为
14、了使顾客得到实惠,所以x=5 答:每千克应涨价5元.,(10+x),(500-20 x),6000元,五、利润问题,总利润,=单位利润数量,=售价进价,2、商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，经市场调研，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？,本题的主要等量关系是什么？,每台冰箱的销售利润平均每天销售冰箱的数量5000元,如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是_元，每台冰箱的销售利润为_元，平均每天销售冰箱的数量为_台，这样就可以列出一个方程，进而解
15、决问题了,解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得,解这个方程，得,x1=x2=150.,2900150 = 2750.,所以，每台冰箱应定价2750元,（2900 x）,（2900 x2500）,有关“动点”的运动问题”,1)关键 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度,2)方法 时间变路程 求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度;,由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.,3）常找的数量关系 面积，勾股定理等；,六、质点运动问题,例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q
16、从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后 PBQ的面积等于8cm2？,解：设x秒后 PBQ的面积等于8cm2 根据题意，得 整理，得 解这个方程，得,所以2秒或4秒后 PBQ的面积等于8cm2,例2：等腰直角 ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?,练习在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？,这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求,列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似， 即审、设、列、解、检、答,小结,