空间中的平行关系教案.docx

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1、适用学科高中数学适用年级高一适用区域人教版区域课时时长（分钟）2 课时知识点线面平行的判定，面面平行的判定，线面平行的性质，面面平行的性质，平行关系的综合问题教学目标探究线、面与平面平行的性质定理体会线、面与平面平行的性质定理的应用通过线线平行与线面平行的转化，培养学生的学习兴趣教学重点通过直观感知，提出猜想进而错做确认，获得直线、平面与平面平行的性质定理教学难点综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化【教学建议】空间的平行关系是立体几何学习中的基础内容， 也直接影响到后续的学习， 因此是一块既基础又重要的内容 关于本节， 教科书中是以 “直观感知操作确认思辨论证度

2、量计算”的认识过程展开的， 先通过直观感知与操作确认的方法， 结合适当的空间想象概括出直线与平面平行、 平面与平面平行的判定定理 在此基础上，再对直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质作出论证 通过对图形的观察、 实验和说理， 帮助学生进一步了解空间的平行关系中的性质与判定 过程中，也因培养学生准确地使用数学语言表述与证明的能力，在此基础上解决一些简单的证明与计算对于空间的平行关系，学生的学习困难主要在两个方面：（ 1）对于图形的认识不足，缺乏足够的想象能力，对图中的平行、垂直关系无法很好地理解，所以在教学过程中，教师务必要有足够的耐心， 去帮助学生充分理解图形，此处务必强调“立体图形，不

3、是你看到什么样就是什么样的，需结合想象”（ 2）平行关系的证明过程不严谨，主要体现在证明的格式与证明的思路上，所以在教学过程中，务必强调证明过程的书写与格式，为后续学习奠定良好的基础【知识导图】教学过程第 1页一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络提供一个教学设计供讲师参考：1、观察引入从线线平行的复习入手，线线平行的概念：同一平面内，不想交的两条直线平行那么，直线与平面

4、平行如何去定义？平面与平面的平行呢？设计意图 ：由初中知识自然过度到今天要学的知识，对初中知识进行深化，激起学生新的认知冲突，从而调动学生积极性.2、步步深化借助正方体对线面平行、面面平行的性质和判定进行初步到深入的了解. 如图，在正方体ABCDA B C D 中，易知直线A B 与平面 ABCD 平行，那么，由此可 得直线 A B 与直线 AB 平行，由此可进一步探究线面平行的性质与判定，同时提供给学生们线面平行关系的证明和应用的规范书写过程. 随后，以类似的思路讲解面面平行的性质与判定即可 . 此处，应更学生充分强调书写格式的规范性.设计意图 ：逐步深入，有个递进的过程，帮助学生们去形成一

5、个关于知识的整体框架，这也利于在实际应用中快速地得到解题的思路.二、知识讲解【教学建议】 在适度导入之后，细化对线面平行和面面平行的讲解考点 1线面平行与面面平行的判定定理线面平行的判定定理面面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直一个平面内的两条相交直线与另一个文字语言线平行，则该直线与此平面平行平面平行，则则两个平面平行第 2页aab符号语言baa b Aababa图形语言bbaA作用线线平行线面平行线线平行面面平行考点 2线面平行与面面平行的性质线面平行的性质面面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直如果两个平行平面同时和第三个平面文字语言线的任一平面与此平面的交线与该直相

6、交，那么它们的交线平行线平行aa符号语言aa b=aa bbb a a图形语言bb作用线面平行线线平行面面平行线线平行类型一直线与平面平行的判定与性质三 、例题精析例题 1正方形ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB ，在 AE ， BD 上各有一点 P ，Q，且AP DQ .求证： 平面 BCE PQ第 3页【解析】方法一：如图所示作 PMAB 交 BE 于 M ，作 QNAB 交 BC 于 N ，连接 MN .正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB ，AEBD 又 APDQ ， PEQB 又 PM AB QN ，PMPEQB ， QNBQ ，PMQN ABAEBD

7、DCBDABDCPMPQ MN QN ，即四边形 PMNQ 为平行四边形，又 MN平面 BCE ， PQPQ?平面 BCE ，PQ 平面 BCE 方法二：如图，连接AQ ，并延长交 BC 延长线于 K ，连接 EK 又 AD BK ，DQAQAPAQPQ EK BQQK，PEQK又 PQ平面 BCE ， EK平面 BCE ，PQ 平面 BCE 方法三：如图，在平面ABEF 内，过点 P 作 PMBE ，交 AB 于点 M ，连接 QM .PM 平面 BCE 又平面 ABEF平面 BCEBE ，又 AE BD ， AP DQ ， PE BQ MQ AD 又 ADBC ，MQ BC ， MQ 平面

8、 BCE . 又 PM MQM ，平面 PMQ 平面 BCE 又 PQ平面 PMQ ，PQ 平面 BCE 类型二面面平行的判定与性质例题 1如图所示， 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M 、N 、E 、F 分别是棱 A1 B1 、A1D1 、B1C1 、 C1D1 的中点求证：平面 AMN平面 EFDB 【解析】连接MF ， M 、 F 是 A1 B1 、 C1 D1 的中点，四边形A1B1C1 D1 为正方形，MF A1D1又 A1D1 AD ，MF AD四边形AMFD 是平行四边形 DF平面 EFDB ， AM平面 EFDB ，第 4页AM 平面 EFDB ，同理 AN 平面 EF

9、DB 又 AM平面 ANM ， AN平面 ANM ， AMANA ，平面 AMN 平面 EFDB 四 、课堂运用1如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线（）基础A 只和这个平面内的一条直线平行B 只和这个平面内的两相交直线不相交C和这个平面内的任何一条直线都平行D 和这个平面内的任何一条直线都不相交2如果 a、b 是异面直线，且 a 平面，那么 b 与的位置关系是（）A bB b 与相交C bD 不确定3已知 、是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（）存在一条直线a ， a， a； 存在一个平面，； 存在两条平行直线 a、 b ，a，b，a，b ； 存在两条异面直线a、b ，a，b，a

10、 ， bA B C D 4下图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为答案与解析1【答案】 D【解析】 因为直线和平面平行， 则直线和平面就没有交点， 直线和平面内的直线就平行或异面2【答案】 D【解析】 b 与相交或 b两种情况3【答案】 C【解析】对于 ，垂直于同一直线的两个平面平行，故当a， a， ，故 正确；对于 ，若， 与 可能平行，也可能相交( 此时，的交线与垂直 )，故 不正确；对于 ，若 a， b， a ， b，则与可能平行，也可能相交 (此时 a ，b 均与交线平行)，故 不正确；对于 ，存在两条异面直线a ，b ，a，b， a， b

11、 可将内的直线平移到内的直线 c ，则有相交直线 b ， c 都与平面平行，根据面面平行的判定定理，可得 正确故选 C4【答案】平行四边形【解析】平面 ABFE 平面 CDHG ，又平面 EFGH平面 ABFE =FE ，第 5页平面 EFGH平面 CDHGHG ，同理 EHFG ，四边形 EFGH 的形状是平行四边形巩固1考查下列三个命题，在“”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中 l、 m 为直线，、为平面），则此条件为_2 P 是 ABC 所在平面外一点，平面平面 ABC ，交线段 PA 、 PB 、 PC 于 A、B、 C，若 PA:AA=2:3，则 SABC: SAB

12、C（）A 2:25B 4:25C 2:5D 4:53已知直线 a ， b ，平面，且 ab ， a ， a ， b 都在平面外，求证： b答案与解析1【答案】 l【解析】 体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是 “ l 为平面外的直线” ，即“ l”，它也同样适合 ，故填 l2【答案】 B【解析】易知平面ABC平面，ABC则 ABC ABC，SABC: S ABC 4: 25 3【解析】过作平面，使它与平面相交，交线为 c ，又 c， b， b.拔高、及平面、，下列命题中正确的是（）关于直线 a 、blMN1A 若 aM ， bM ，则 abB 若 aM ， b a ，则 b MC若 a M

13、， b M ，且 la ， lb ，则 l MD 若 aM ， aN ，则 M N2如图，在长方体ABCDA1B1C1 D1 中， E, P 分别是 BC， A1 D1 的中点， M , N 分别是AE, CD1 的中点，ADAA1a，AB2a ，求证： MN / 面 ADD1 A1 答案与解析1【答案】 D【解析】 A 选项中，若a M ， bM ，则有 ab 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面 B 选项中，b 可能在 M 内， b 可能与 M 平行， b 可能与 M 相交 . C 选项中须增加a 与 b 相交，则lM D 选项证明如下：a N ，过 a 作平面与 N 交于 c ，则

14、ca ，cM . 故第 6页M N 答案 D 2【解析】证明：取CD 的中点 K ，连结 MK ， NK ；M ， N， K 分别为 AK，CD1，CD 的中点MK / / 面 ADD1 A1 ， NK / 面 ADD1 A1面 MNK / 面 ADD1 A1MN / / 面 ADD1 A1 五 、课堂小结在掌握直线与平面的位置关系( 包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系 ) 的基础上， 研究有关平行的判定依据 ( 定义、公理和定理 ) 、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中， 进一步了解和掌握相关公理、 定理的内容和功能， 并探索立体几何中论证问题的规律； 在有关问

15、题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、 空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用1用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系2注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化3注意下面的转化关系：4直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向量和这12个平面内的一个向量相互平行；3 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直5证明两平面平行的方法：（ 1）利用定义证明利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾（ 2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行

16、则面面平行用符号表示是：a b，abab，则（3）垂直于同一直线的两个平面平行用符号表示是：a， a，则（4）平行于同一个平面的两个平面平行，两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行， 其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：第 7页“面面平行，则线面平行”用符号表示是：， a，则 a（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”用符号表示是：，a = ，b ，则 ab （3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面, 它也垂直于另一个平面这个定理可用于证线面垂直用符号表示是：， a，则 a（ 4）夹在两个平行平

17、面间的平行线段相等（ 5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行六 、课后作业基础1以下说法（其中a ， b 表示直线，表示平面） 若 ab， b，则 a； 若 a，b，则 a b ； 若 ab，b，则 a； 若 a，b，则 a b 其中正确说法的个数是()A 0B 1C2D 32下列说法正确的是()A 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行B()3平面，直线 a，点B，则在内过点的所有直线中设平面A 不一定存在与a 平行的直线

18、B只有两条与 a 平行的直线C存在无数条与a 平行的直线D存在惟一一条与a 平行的直线4过平行六面体ABCD A1 B1C1D1 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1 D1 平行的直线共有 ()A 4 条B 6 条C8 条D 12 条答案与解析1【答案】 A【解析】 a也可能成立； a， b 还有可能相交或异面； a也可能成立； a， b还有可能异面2【答案】 C【解析】由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C3【答案】 D【解析】直线a 与 B 可确定一个平面，B，与有一条公共直线b 由线面平行的性质定理知ba ，所以存在性成立因为过点 B 有且只有一条直

19、线与已知直线a 平行，所以 b 惟一4【答案】 D第 8页【解析】如图所示，与BD 平行的有 4 条，与BB1 平行的有4 条，四边形 GHFE 的对角线与面 BB1 D1 D 平行，同等位置有 4 条，总共 12条，故选 D 1如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E、 F 分别是棱 BC、 C1 D1 的中点巩固求证： EF 平面 BDD 1B1 2如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E、F 分别在 PA、 BD 上，且PE : EABF : FD 求证： EF平面 PBC 3如图所示， 已知正方体 ABCDA1 B1C1D1 中，面对角线 AB1 、 BC1

20、 上分别有两点 E 、F ，且 B1 EC1F 求证： EF平面 ABCD 4如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， M 是 A1C1 的中点， 平面 AB1M 平面 BC1N ， AC平面 BC1 NN 求证： N 为 AC 的中点答案与解析1【解析】取D1B1 的中点 O ，连接 OF 、 OB 四边形 OFEB 是平行四边形，EF平面 BDD B1 ， BO平面 BDD B1 ，EF 平面 BDD B1 2【解析】连接 AF 延长交 BC 于 G ，连接 PG 在平行四边形ABCD 中，易证 BFG DFA 而 EF平面 PBC ， PGPG? 平面 PBC ，EF 平面 PBC

21、3【解析】过 E 作 EGAB 交 BB1 于 G ，连接 GF ，又 EGFG G ， AB BCB ，平面 EFG 平面 ABCD 又 EF平面 EFG ，EF 平面 ABCD 4【解析】平面 AB1M 平面 BC1N ，平面 AC1C1 A平面 AB1MAM ，平面 BC1 N平面 ACC1 A1C1N ，C1 N AM ，又 AC A1C1 ，四边形 ANC 1M 为平行四边形，N 为 AC 的中点拔高ABCD 中 ， 点 E 在 PD 上 ， 且1 如 图 所 示 ， 在 底 面 是 平 行 四 边 形 的 四 棱 锥 PPE : ED 2 : 1，在棱 PC 上是否存在一点F ，使

22、 BF 平面 AEC ？并证明你的结论2如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中， A1B1 的中点是 P ，过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积答案与解析1【解析】当F 是棱 PC 的中点时， BF 平面 AEC ，证明如下：取 PE 的中点 M ，连接 FM ，则 FM CE ， 由 EM1 PE ED ，知 E 是 MD 的中点，设 BD AC O ，则 O 为 BD 的中点，连接2第 9页OE ，则 BM OE ， 由 可知，平面 BFM 平面 AEC ，又 BF平面 BFM ，BF 平面 AEC 2【解析】能取 AB ， C1 D1 的中点 M ， N ，连接 A1 M ， MC ， CN ， NA1 ，A1 N PC1 且 A1 NPC1 ， PC1 MC ， PC1MC ，四边形 A1MCN 是平行四边形，又A1 N PC1 ， A1M BP ， A1 N A1MA1 ， C1P PBP ，平面 A1MCN 平面 PBC1 ，因此，过点A1 与截面 PBC 1 平行的截面是平行四边形连接 MN ，作 A1 HMN 于点 H ，故 S平行四边形 A MCN =2SA MN =2 611第 10 页