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1、2019 考前重点预测系列- 数学 ( 一)注意事项 ：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。在论述题中， 问题大多具有委婉性， 尤其是历年真题部分， 在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点， 最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。 只有经过仔细推敲， 揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。【一】选择题本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分、在每题给出的四个选项
2、中，只有一项为哪一项符合题目要求的 、a 2i1、 ib i, (a， b R)，其中 i为虚数单位，那么 a bA. 1B、 1C、 2D、3【答案】 D【解析】因为 a 2ibi 1, 所以 a1,b2 , 故 a b 3, 选 D.2、全集 U R， A x|2x 4 ，B x|log3x 1 ，那么 A BA.x|x 2B、 x|2 x 3C、 x|x 3D、 x|x 2或 2 x3【答案】 B【解析】因为A x | x2 ， Bx | 0x 3 , 所以 A Bx|2 x 3.3、某个几何体的三视图如下，那么可得这个几何体的体积是A. 1B 、 233C、 4D、 833【答案】 C
3、【解析】由三视图可知: 该几何体是一个三棱锥, 高为 2, 底面积为 1 2 22 , 所以其体积为 42, 选 C.3A、 xR,sin xcos x 2B、x(0,),sin xcos xC、 xR, x2x1D、x(0,), ex1x【答案】 D【解析】设f (x)ex1x ,那么因为x(0,),所以 f ( x)ex10, 所以函数f ( x) 在 x(0,) 上是增函数 , 所以x(0,), 有 f ( x) f (0)0 , 即 ex1 x , 应选D.5、如下图是函数yAsin(x), ( A0,0,) 图象的一部分，那么此函数的2解析式为 ()A、C、y2sin(2 x) B、
4、 y2sin(2 x)613y2sin(2 x) D、 y)2sin( x623【答案】 B【解析】由题意知 ,A=2,42, 解得2 , 又因为 2 ()0 , 所以, 应选 B.4636、函数 f ( x)x3ax 23x9,f (x)在 x3时取得极值，那么a 的值等于A、 2B、 3C、 4D、 5【答案】 D【解析】因为f ( x)3x22ax3 , 所以 f (3)3 9 6a30 , 解得 a5.7、平面向量 a ， b 满足 a3， b2 ， a 与 b 的夹角为 60，假设 (a - mb)a ，那么实数 m 的值为A、 1B、 3 C、 2 D、 32【答案】 D【解析】因
5、为(a - mb)a ，所以 ( a - mb) a| a |2ma b96m cos 600 , 解得m3 .8、理科正弦曲线 y sin x, x0, 3和直线 x3及 x 轴所围成的平面图形的面积22是A.1B.2C.3D.4【答案】 C【解析】所求面积为 3 2 sin xdx -3( coscos0 )=3, 应选 C.028、文科假设圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和 x 轴都相切，那么该圆的标准方程是A、 x-2 2+ y-1 2=1B、 x-2 2+ y+1 2=1C、 x+2 2+ y-1 2=1D、 x-3 2+ y-1 2=1【答案】 A【解析】
6、设圆心为 (a, b) , 半径为 r , 那么 r| 4a 3b | |b |=1, 解得 b1 , 所以 | 4a 3| 5 ,解得 a 2 , 故圆心坐标为 (2,1),5所以该圆的标准方程是 x-22+ y-1 2=1, 选 A.9、数列 an 是公差不为0 的等差数列，且a1 , a3 , a7 为等比数列 bn 的连续三项，那么数列 bn 的公比为1A、2 B、 4C、 2D、【答案】 C2【 解 析 】 设 公 差 为 d , 那 么 (a12d )2a1 (a16d ,) 解 得a12d , 所以公比为a3a1 2d2, 应选 C.a12d10、假设右边的程序框图输出的S 是1
7、26，那么条件可为A、 n5 B、 n6C、 n7 D、 n8【答案】 B【解析】因为21222n22n 1= 2n 12 =126, 解得12n 6, 应选 B.11 、 f ( x) 在 R 上 是 奇 函 数 , 且 满 足 f (x 2)f ( x), 当x(0,2) 时， f ( x)2x2, 那么 f (2011) 等于 ()A.2 B.2C. -98D.98【答案】 A【解析】因为f ( x2)f (x), 所以 f ( x4)f (x2) f ( x)f ( x) , 所以 4 是f ( x) 的周期 , 所以 f (2011) = f (2008 3)f (3) = f (1
8、2)f (1) =-2,应选 A.、对任意的实数 a,b ，记a( ab) ，假设F ( x)max f ( x), g( x) ( x R)，12max a,bb)b( a其 中 奇 函 数 yf ( x) 在 x 1 时 有 极 小 值 2 ， y g(x)是 正 比 例 函 数 ， 函 数y f ( x)( x 0)与函数 y g (x) 的图象如下图 , 那么以下关于函数y F ( x) 的说法中， 正确的选项是A、 yF ( x) 为奇函数B、 yF (x) 有 极 大 值 F (1) 且 有 极 小 值F ( 1)C、 yF ( x) 的最小值为2 且最大值为 2D、 yF ( x
9、) 在 ( 3,0) 上不是单调函数【答案】 D【解析】因为 F ( x)f (x), f (x)g (x)1 x , 由 f (x) 是奇函数 , 其图象关于原点g(x), f ( x), g(x)g( x)3对称 , 故可知 , 选项 D正确 .第二卷非选择题总分值90 分【二】填空题：本大题共4 小题，每题4 分，共16 分 . 把答案填写在答题纸相应位置上、13 、 点P 是 以F1, F2为 焦 点 的 椭 圆x2y21(ab 0)上一 点 ， 且a2b2PFPF20, tanPF1F21, 那么该椭圆的离心率等于_、12【答案】53【解析】因为PF PF20, 所以 PF1PF2
10、, 又因为 tanPF1F21 , 所以可设 | PF1 | x ,12那么 | PF2|2x, | F F |5x , 所以由椭圆的定义知 :2a3x ,又因为2c5x, 所以离12心率e2c5 .2a3xy2014. 设 x 、 y 满足约束条件4xy40z axby (a0, b 0) 的最大x0，假设目标函数y0值为 6，那么 log123() 的最小值为 .【答案】 2ab【解析】画出不等式组表示的平面区域, 可知当直线 zaxby 经过点 (2,4)时 ,z 取最大值 ,所以 2a4b6 , 即 1a2b12a 2b2(a2b)52b2a3, 所以b3a3b33a3ba25=3,所
11、以 log(12log3=2, 故 log122 +33a)33() 的最小值为 2.3b12ab、函数f( )log(2x),上恒有 f(x)0 ，那么实数a的取值范围是。15xaa在区间 231【答案】 (,1)【 解 析 】 当 0a 1 时 , 函 数 f(x)l o g( 2)1,2 上 是 减 函 数 , 所 以ax a在 区 间 23441即,解得a 1;当时函数f ( x) loga(2 x a ) 在l o g ( a ),0 0a 13a1,a33区间12上是增函数 , 所以 log(1)0, 即 1a1, 解得 a0 , 此时无解 . 综上所述 ,aa23实数 a 的取值
12、范围是(1 ,1).3且12 ；中，是16、给出以下五个命题：当时，有ln xx 0 x1ln xABCABsin A sin B 成立的充分必要条件；函数yax 的图像可以由函数y2ax 其中a 0且a 1 的图像通过平移得到；Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，假设 S7S5 ，那么 S9 S3 ；函数 yf (1x) 与函数 y f (1x) 的图像关于直线 x1 对称。其中正确命题的序号为。【答案】【解析】对， ln x 可以为负，故错误 .【三】解答题：本大题共6 小题，共 74 分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、17、本小题总分值12分在ABC 中， a, b, c
13、分别是角A、 B、 C 的对边 m(2 a c, b), n (cos B,cos C ) ，且 m n 0. 1求角 B 的大小； 2设函数 f (x)2sin x cos x cos( AC )3 cos2x ，2求函数 f (x) 的最小正周期，最大值及当f (x) 取得最大值时x 的值 .【解析】 1由 m n0 ，得 (2a c) cos B b cosC 02acosBc cosBb cosC0 由正弦定理，得2 sin A cosB sin C cosBcosC sin B0 2 分即2sin Acos Bsin(C B)0，sin A(2 cos B1)0 ，4 分在ABC 中
14、， sin A0 ，2cosB10 ， B26 分322，A Cf ( x)1sin 2x3cos 2x sin(2x) 8 分B22333所以 f ( x) 的最小正周期为10 分2xk, k Zxk5(kZ)令32，得125即当 x k(kZ ) 时 f (x) 取最大值 112 分1218、文科本小题总分值12 分有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1， 2，3， 5。同时投掷这两枚玩具一次，记m 为两个朝下的面上的数字之和 . 1求事件“ m不小于 6”的概率； 2“ m为奇数”的概率和“ m为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论。【解析】因玩具是
15、均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出现的可能情况有 1， 1，1， 2，1， 3，1， 5，2， 1，2， 2，2， 3， 2， 5 3， 1，3， 2，3， 3，3， 5，5， 1，5， 2，5， 3， 5， 5共 16 种 4 分 1事件“ m不小于 6”包含其中 1，5， 2，5， 3，5，3，35，1，5，2， 5， 3，5， 8共 8 个基本事件 6 分所以 P(m 6)= 818 分16 2 2“ m为奇数”的概率和“ m为偶数”的概率不相等。因为 m为奇数的概率为P( m 3) P( m 5)P(m22237)161610 分168M为偶数的概率为 135。这两个概率值不相等
16、 12 分8818、理科本小题总分值12 分在某校教师趣味投篮比赛中, 比赛规那么是 : 每场投6 个球，至少投进4 个球且最后2 个球都投进者获奖；否那么不获奖. 教师甲投进每个球的概率都是2 、3记教师甲在每场的6 次投球中投进球的个数为X，求 X 的分布列及数学期望；求教师甲在一场比赛中获奖的概率；教师乙在某场比赛中，6 个球中恰好投进了4 个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？【解析】 X 的所有可能取值为 0，1， 2， 3， 4， 5， 6.依条件可知 XB(6， 2).32k16 k( k0, 1, 2,3, 4,
17、5, 6 )P( X k)C6k33X 的分布列 ： X0123456P11260160240192647297297297297297297291(011122603160 42405 1926 64) =2916所以 EX4 .729729或因 XB(6， 2) ，所以 EX624. 即 X 的数学期望 4、 4 分33 教 甲在一 比 中 事件A，那么 P( A) C42(1)2( 2) 4C411( 2)5( 2) 6 32 .3333381答：教 甲在一 比 中 的概率 32 . 8 分81 教 乙在 比 中 事件B，那么 P(B)A42 A442.A6652即教 乙在 比 中 的概
18、率 .523232 然，所以教 乙在 比 中 的概率与教 甲在一 比 中 的概率58081不相等、12 分19、文科本小 分 12 分如下 ，在三棱柱ABC A1B1C1中，A1 A平面 ABC，AB=2BC，AC=AA1= 3 BC。 1 明： A1C 平面 AB1C1； 2假 D 是棱 CC1的中点，在棱 AB上是否存在一点 E，使 DE/ 平面 AB1C1？假 存在， 确定点 E 的位置；假 不存在， 明理由 .【解析】 明：1 直角三角形且AB2BC , AC3BC ，ABCACB.2从而 BCAC。又 AA1平面 ABC，BCCC12分从而 BC面 ACC1A1，BCA1C， B1C
19、1A1C4分ACAA1 ， 面 ACC1A1 正方形，AC1A1C又 B1C1 AC1=C1，A1 C面 AB1C1.6 分2存在点E，且 E 为 AB 的中点 8 分下面 出 明：取 BB1的中点 F， 接 DF，那么 DF/B1C1 。AB 的中点 E， 接 EF，那么 EF/AB1 。B1C1与 AB1 是相交直 ，面 DEF/ 面 AB1C1。 10 分而 DE面 DEF， DE/ 面 AB1C112分19、理科本小 共 12 分在如 的多面体中， EF 平面 AEB ，AE EB ,EF / BC ， BC2 AD 4， EF 3 ， AE BE2 ， G 是 BC 的中点、( )
20、求 ： AB / 平面 DEG ；A( ) 求 ： BDEG ；AD / EF ，D( ) 求二面角 C DFE 的余弦 .【解析】 ( ) 明：AD / / EF , EF / / BC ， AD / / BC .EF又 BC 2AD , G 是 BC 的中点， AD / /BG ，BGC四 形 ADGB 是平行四 形， AB / / DG . 2 分 AB平面 DEG ， DG 平面 DEG ， AB / / 平面 DEG . 4 分( ) 解法 1 明： EF平面 AEB ， AE平面 AEB ， EFAE ，又 AEEB, EB EF E ， EB, EF平面 BCFE ， AE平面
21、BCFE . 5 分过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ，那么 DH平面 BCFE . EG平面 BCFE ， DHEG . 6 分 AD / / EF , DH / / AE ，四 形AEHD 平行四 形， EH AD 2 ， EHBG2 ，又 EH / / BG, EHBE ，四 形 BGHE 正方形， BHEG ， 7 分又 BHDHH , BH 平面 BHD ， DH平面 BHD , EG 平面 BHD . BD 平面 BHD , BDEG . 8 分解法 2 EF平面 AEB ， AE 平面 AEB ， BE 平面 AEB ， EFAE ， EFBE ，又 AE EB
22、, EB, EF , EA 两两垂直 . 5 分以点 E 坐 原点，EB, EF , EA 分 x, y, z 建立如 的空 直角坐 系.由得， A 0， 0， 2， B 2， 0，0，C 2， 4， 0， F 0， 3， 0， D 0， 2， 2，G 2， 2， 0 . 6 分 EG(2,2,0)， BD(2,2,2)， 7 分 BD EG22220 , BDEG . 8 分( ) 由得 EB(2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量 .设 平 面DC的 法 向 量 为n ( x, y, z)， FF D ( 0 ,1 ,F 2C ) , ，FDn0y2z01, 得 n( 1,2,1). 1
23、0 分n0，即2xy，令 zFC0 二面角 CDFE 的大小 ，那么 coscosn,EB226 ，11 分66二面角 CDFE 的余弦 6 . 12 分620、本小 分 12 分正 数列 an 的前 n 和 Sn , a11 .21当 n2且 nN * ，点 (Sn1 , Sn ) 在直 y上，数列 bn 2x 足log 1 an (n2bnN * ).21求数列 an 的通 公式 an ；2 数列 bn 的前 n 和 Tn 。求 Tn 。an【解析】 1当 n2且 n1N * ，点 ( Sn 1 , Sn ) 在直 y 2x上，22Sn4Sn 11 2Sn 14Sn1(n N * ) 由
24、- 得： an 12anan 12(n2, nN * ) 2分an由 2S24S1 1得 2(a1a2 ) 4a11，又 a11a21 ，a22, 4 分,a12数列 an 是以1 为首项， 2 为公比的等比数列。an2 n26 分2bnlog1anlog 12n22nbn2n222an2 n 2 8 分Tn1013n2n1122n32 n221 Tn1 013 n 2 n 10 分21 2222 n 22n 1由 - 得：1211112n12 nTn122n2n12n 22n 1 ，2n2222Tnn22n .12 分2n 121、本小题总分值12 分函数 f (x)x2a ln x.1当 a2e时，求函数f (x) 的单调区间和极值。2假设函数 g(x)f (x)2在 1 ， 4 上是减函