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1、2013 年高三数学查漏补缺题理科2013年 5 月1. 函数 ycos(4 x) 图象的两条相邻对称轴间的距离为语文陈老师132612642093A.B.C.D.8422. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是Ax3eBysin2 xCyxDylog 1 xy23. 若向量 a,b 满足 | a | b |2，且 a bb b6，则向量 a,b 的夹角为A 30B 45C 60D 904. 已知函数f ( x) x sin x，则f ( )，f (1)，（f的大小关系为）113A f (f ( 1)f (B f ( 1)f (f ()311311C f (f ( 1)f (f (
2、f ( 1)D f ( )1133115. 某空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_,体积为 _.66. 设 m 、 n 是不同的直线，、是不同的平面， 有以下四个命题： 若/ /,/ / , 则/ /若， m / /，则 m655主视图左视图 若 m,m / /，则若 m / /n, n，则 m / /其中所有真命题的序号是_俯视图x2 y07. 设不等式组 x2 y4 0 表示的平面区域为D，若直线 2xy b 上存在区域 D 上的点，y 0则 b 的取值范围是 _.0x2,8. 已知不等式组xy20,所表示的平面区域为W ，则 W 的面积是 _；3x2 y40设点 P( x,
3、 y)W ，当 x 2y2 最小时，点 P 坐标为 _9.( x32 )5 的展开式中的常数项为x110.e.计算(2 x)d x1x高三数学查漏补缺题理科1 / 1511.若直线的参数方程为x1，为参数，则直线的斜率为 _.lt 其中tly1，A2t12.如图，已知 PA 是圆 O 的切线，切点为A, PO 交圆 O 于 B,C 两点，CPBPA3, PB 1，则 AB_, ACB_.O13.如图所示，正方体 ABCDA B C D 的棱长为1, E, F 分别是棱 AA ， CC 的中点，过直线 E,F 的平面分别与棱BB 、 DD 交于 M , N，设 BMx ， x0,1 ，给出以下四
4、个命题：平面 MENF平面 BDD B ；四边形 MENF 周长 Lf ( x) ， x0,1 是单调函数；四边形MENF面积 Sg ( x) ， x0,1 是单调函数；四棱锥 CMENF 的体积 Vh( x) 为常函数；DCNABFEDCMAB以上命题中正确命题的个数（）A 1 B 2 C 3 D 414. 直线 y ax b 与抛物线 y1x 2 1相切于点 P .若 P 的横坐标为整数，那么a2b2 的4最小值为.15. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn2n1,n4,n2(a 1)n,n若 a5 是 an 中的最大值，则实5.数 a 的取值范围是 _.解答题部分：1. 已知函数 f
5、( x) cos2 x 2 3sin x cosxsin2 x（I ）求 f ( x) 的最小正周期和值域；（）在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是a,b,c ，若 f ( A)2 且 a2bc ，试判断 ABC2的形状 .高三数学查漏补缺题理科2 / 152.如图，在直角坐标系xOy 中，点 P 是单位圆上的动点，过点P作 x 轴的垂线与射线y3 x ( x0) 交于点 Q ，与 x 轴交于点M 记 MOP，且 (, ) 22（）若 sin1POQ ；，求 cos3（）求OPQ 面积的最大值 .3. 已知函数1f ( x ) cos2x asin( x), 且 f ( ) 1
6、224（）求 a 的值 .M（）求函数f ( x) 在区间0, 上的最大和最小值.4. 数 列an的 各 项 都 是 正 数 ， 前 n 项 和 为 Sn , 且 对 任 意a13a 23 a 33an3 Sn .（）求证：an22Snan ；（）求数列an的通项公式 .5. 已知正三角形 ACE 与平行四边形 ABCD 所在的平面互相垂直 .又ACD90 ，且 CD2,AC2，点 O, F 分别为 AC , AD 的中点 .(I)求证： CFDED( )求二面角 ODEC 值 .6.袋中装有大小相同的2 个白球和 3 个黑球（）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；n
7、N ， 都 有ECBOFA（）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差.高三数学查漏补缺题理科3 / 157. 已知函数 f ( x)6ln( ax 2)1 x2 在 x2 处有极值 .2（）求函数f ( x) 的单调区间；（）若直线ykx 与函数 f ( x ) 有交点，求实数k 的取值范围 .8. 已知函数 f ( x)eax ( aa 1) ，其中 a1.x（）求 f ( x) 的单调递减区间；（）若存在 x10 ， x20 ，使得 f ( x1 )f ( x2 ) ，求 a 的取值范围 .9.设函数f ( x)1 ax3 bx2 cx(a b c
8、) ，其图象在点 A(1, f (1), B(m, f ( m) 处的切线3的斜率分别为0,a （）求证：0 b1 ；a（）若函数f ( x) 的递增区间为s, t ，求 | st |的取值范围10. 已知椭圆 C : x2y21 ( a b 0) 的离心率为1 ，且经过点 A(1,3 ) .a2b222（）求椭圆 C 的方程；（）设 M , N 为椭圆 C 上的两个动点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点 P(0, y0 ) ，求 y0的取值范围 .11. 如 图 ， 已 知 M ( 3m,0)( m0) ， N ,P 两 点 分 别 在 y 轴 和 x 轴 上 运 动 ， 并 且 满 足M
9、NNQ0 ， NP1 PQ .2yN（）求动点Q 的轨迹方程；（）若正方形ABCD 的三个顶点A, B,C 在点 Q 的轨迹上，PMOxQ求正方形 ABCD 面积的最小值 .高三数学查漏补缺题理科4 / 1512.动圆过点 F (0,2) 且在 x 轴上截得的线段长为4 ，记动圆圆心轨迹为曲线C .（）求曲线C 的方程 ;（）已知P,Q 是曲线 C 上的两点，且PQ2 ，过 P,Q 两点分别作曲线C 的切线，设两条切线交于点M ，求 PQM 面积的最大值已知椭圆 C : x2y21 的左右两个顶点分别为A， B ，点 M 是直线 l : x4 上任意一点，43直线 MA ， MB 分别与椭圆交
10、于不同于A， B 两点的点 P ，点 Q .（）求椭圆的离心率和右焦点F 的坐标；（）（ i ）证明 P, F ,Q 三点共线；（）求PQB 面积的最大值。说明：1、 提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题。2、 教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用。3、 后期教师要根据自己学校情况,注意做好保温练习，合理安排学生时间。4、 因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正。这些题目仅供本区使用，请勿转发他人！2013 年最后阶段高三数学复习参考资料答
11、案理科2013年 5 月题号12345答案BCCA33， 30题号678910答案0,812241525,(,)e1339题号1112131415高三数学查漏补缺题理科5 / 15答案-21,30B153a5解答题部分：.解：f ( x )cos2 x23sin x cosxsin2 x3sin2 xcos2 x2sin(2 x)6所以 T, f ( x) 2,2由 f ( A)2 ，有 f ( A)2sin( A)2 ，226所以 sin( A)1.6因为 0A，所以 A6, 即 A.23由余弦定理 a2b2c 22bc cos A 及 a2bc ，所以 (b c) 20 .所以 bc, 所
12、以 BC.3所以ABC 为等边三角形 .2. 解：依题意MOQPOQMOQ，所以MOP33因为 sin1 ，且 ，所以 cos22(, )3322所以 cosPOQ cos( )cos cossin sin2 233336（）由三角函数定义，得P(cos,sin ) ，从而 Q(cos, 3 cos)所以 S POQ13cossin|cos |21 |3cos2sincos|2133cos2113sin(|22sin2 |2 ) |222231 |31|312242高三数学查漏补缺题理科6 / 15因为 (, ) ，所以当时，等号成立2212所以OPQ 面积的最大值为314.23. 解：（）a
13、2（）因为f ( x)cos2 xa cos x12cos2 x2cos x设 t cosx, 因为 x0, , 所以 t1,1所以有 y2t22t, t 1,1由二次函数的性质知道，y2t22t 的对称轴为 t12所以当 t1 ，即 tcos x1 ， x2时，函数取得最小值12232当 t1，即 tcosx 1， x0时，函数取得最大小值 44. 证明：（I ）当 n1 时， a13a12因为 a10 ，所以 a11当 n2 时， a13a23a33an3Sn2a13a23a33an3 1Sn2 1得， an3an (2a12a22an 1an )因为 an0 所以 an22a12a22a
14、n1an ，即 an22Snan因为 a11 适合上式所以 an22Snan (n N )（）由（ I ）知 an22Sn - an(nN )当 n2 时， an2 12Sn 1an 1得 an2 an2- 12( Sn - Sn - 1 )- anan- 12an - an an - 1 an an - 1因为anan - 10 , 所以 an - an - 11高三数学查漏补缺题理科7 / 15所以数列an 是等差数列，首项为1，公差为1，可得 ann5. （ I ）因为在正三角形 ACE 中， O 为 AC 中点，所以 EOAC 语文陈老师 13261264209又平面 ACE平面 AB
15、CD ，且平面 ACE平面 ABCDAC ，所以 EO平面 ABCD ，所以 EO CF在 RtACD中， tanFCO2,tan22ODC2所以FCOODC ，所以FCDODC 90 ，即 CFDO ，又 DOOEO所以 CF平面 DOE ，所以 CFDE（）以 O 为坐标原点， OF ,OA,OE 所在直线为坐标轴建立坐标系，则 O(0,0,0), F (2 ,0,0), A(0,1,0), C(0,1,0), E(0,0,03) ， D( 2,1,0)2由（ I ）得平面 DOE 的法向量为CF2,1,0)(2设平面 DCE 的法向量为 n( x, y, z)因为 CD(2,0,0),
16、CE(0,1, 3),所以CDn0,x0，取 n(0,3,3)解得CEn0,y3z0所以 cosn, CF=2，2所以二面角 ODEC 的值为 .46. 解：（）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，摸出一球得白球的概率为2 ，5摸出一球得黑球的概率为3 ，5所以 P（ A） 2 3 3 2 12 .555525答：两球颜色不同的概率是12 .25（）由题知可取 0， 1，2， 依题意得高三数学查漏补缺题理科8 / 15P(3231)322332110)4, P(5454, P(2)41051055则 E0313214 ，10510542342429D03215101551
17、0.525答： 摸出白球个数的期望和方差分别是4 ， 9 .5257. 解：（）因为 f ( x)6ln( ax2)1 x2 ，2所以 f ( x)6a2xax由 f (2)0 ，可得a2经检验 a2时，函数 f( x) 在 x2 处取得极值，f ( x)6ln(2 x 2)1x2 ，2f ( x)x6xx2x 6 ( x 3)(x 2)1x1x 1而函数 f ( x) 的定义域为(1,) ，当 x 变化时，f ( x) ， f ( x) 的变化情况如下表：x( 1,2)2(2, )f ( x)0f ( x)极小值由表可知，f ( x) 的单调减区间为( 1,2) ， f ( x) 的单调增区
18、间为 (2, )（）若 f( x) kx ，则有 x2x6 kx2kx ，其中 x1 ，所以 (k1)x 2( k1)x6 0有大于1 的根，显然 k1 ，设 g ( x)( k1) x2(k1) x61则其对称轴为x，根据二次函数的性质知道，2只要(k 1)224(k 1) 0高三数学查漏补缺题理科9 / 15解得 k25 或 k1 .8. （）解： f ( x) aeax ( x1)( a21)x1x 当 a1 时，令 f ( x)0 ，解得x1f ( x) 的单调递减区间为(,1) ；单调递增区间为(1,0) ， (0,)当 a1时，令 f ( x)0 ，解得 x1 ，或 x1a1 当1
19、a0 时， f ( x) 的单调递减区间为(,1,)1) ， (a1单调递增区间为(1,0)， (0,1 )a1 当 a0 时， f ( x) 为常值函数，不存在单调区间 当 a0 时， f ( x) 的单调递减区间为( 1,0) ， (0,1)a1单调递增区间为(,1) ， (1 ,)a11a1)2（）解：当 a0 时，若 x(0,) ， f ( x)minf ()ea1 ( a1a1若 x (,0) ， f ( x)maxf (1)e a1 ，不合题意 当 a0 时，显然不合题意a ，则 f ( x1 )a2 当1a0 时，取 x1e 2(a1)02取 x21，则 f ( x2 )e a0
20、 ，符合题意 当 a1时，取 x11 ，则 f ( x1 )e 10取 x21，则 f( x2 )e a0 ，符合题意综上， a 的取值范围是 1,0) 9. 解：（）证明：f ( x)ax22bxc ，由题意及导数的几何意义得f (1)a2bc0 ，（ 1）f (m)am22bmca ，（ 2）又 abc ，可得 4aa 2b c4c ，即 4a 04c ，故 a 0, c 0,高三数学查漏补缺题理科10 / 15由（ 1）得 ca 2b ，代入 ab c ，再由 a0 ，得1b1 ，（3）3a将 ca2b 代入（ 2）得 am22bm 2b0 ，即方程 ax 22bx 2b 0 有实根故其
21、判别式4b28ab0得b 2 ，或 b 0 ，（ 4）aa由（ 3），（ 4）得 0 b1 ；a（）由 f ( x) ax22bxc 的判别式4b24ac 0 ，知方程 f ( x)ax22bxc0 ( ) 有两个不等实根，设为x1 , x2 ，又由 f(1)a 2b c0知， x11 为方程（）的一个实根，则由根与系数的关系得x1x22b , x22b 1 0 x1 ，aa当 xx2 或 xx1 时， f ( x)0 ，当 x2 xx1 时， f ( x)0 ，故函数 f ( x) 的递增区间为 x2 ,x1 ，由题设知 x2 , x1 s,t ，因此 | st | | x1x2 |22b
22、，由（）知0 b1 得aa| st | 的取值范围为 2,4) .10. 解 : （）椭圆 C 的方程为： x2y 21.43（）设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ，则x12y121 ， x22y221.4343依题意有| PM | PN | ，即x12( y0y1 )2x22( y0y2 ) 2 ，整理得( x12x22 )( y12y22 )2 y0 ( y1y2 )0 .将 x1244y12， x2244 y22代入上式，消去x12 , x22 ，33得 ( y12y22 ) 6 y0 ( y1y2 ) 0 .依题意有y1y20 ，所以 y0y1y2 .6注意
23、到| y1 |3， | y2 |3 ，且 M , N 两点不重合，从而2 3 y1 y2 2 3 .所以y0(3 ,3 ) .33高三数学查漏补缺题理科11 / 1511.解： (I)设 Q( x, y),因为 NP1 PQ,所以 N (0,y),22又 M (3m,0), 所以 MN(3m,y ), NQ( x, 3 y ),22由已知 MNNQ0, 则 3mx3y 204y24mx,即Q点轨迹方程为 y24mx.（）如 ，不妨 正方形在抛物 上的三个 点中A、 B 在 x 的下方（包括x ），记 A、 B、C 的坐 分 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ) ，其中 y3 0 y2 y1并 直 AB 的斜率 （kk0）y2y1k( x2x1 ) 有1 ( x3yy3y2x2 )k又因 A、B、C 在抛物 y24mx 上，故有Cx1y12, x2y22, x3y32代入式得D4m4mO4mx4mBy1y2 , y34mky2 Ak因 | AB | BC |即 ( x1x2 )2( y1 y2 )2( x3x2 ) 2( y3y2 ) 211y1 )1 k2( y3y2 )所以k2 ( y2所以 ( y2y1 )k ( y3y2 ) 将代入可得：y24my2k( 4mk2 y2 )k