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1、1,相似矩阵,第二节,2,一、相似矩阵的概念和性质,定义,对于n阶方阵A和B，若存在n阶可逆方阵P，使得,则称A与B 相似,记为,矩阵的“相似”关系具有以下特性：,(1)反身性：,(2)对称性：,证,(3)传递性：,证,3,相似矩阵的性质：,定理,相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.,证,推论1 相似矩阵的行列式相等；,推论2 相似矩阵的迹相等；,4,注意:,特征值相同的矩阵不一定相似.,但它们不相似,因为对任意可逆阵P,即与 E 相似的矩阵只有它自己。,相似矩阵的其它性质：,相似矩阵的秩相等；,5,A ,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。,只证(3)，其余
2、证明留作练习.,(1),(2),(3),(4),(5),(6),6,例1,解,另解,相似矩阵有相同的特征多项式，由,得,7,计算上面两个行列式，得到,比较等式两边 同次幂的系数，得,8,n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。,二、矩阵可相似对角化的条件,定理,如果一个矩阵能与一个对角阵相似,称该矩阵可以(相似)对角化。,证,必要性：,设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆,阵P,使,9,即,即,即得,必要性得证。,上述步骤倒过来写,即得充分性证明。,10,推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化.,因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.,注意: 这个
3、条件是充分的而不是必要的.,如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如果能找到n个线性无关的特征向量, A还是能对角化,即齐次线性方程组 的基础解系所含的向量个数等于特征根 的重数 。,11,解,例2,12,特征向量,特征向量,13,特征向量,特征向量,特征向量,14,令,则,15,解,特征向量,求可逆阵P，,16,特征向量,可对角化,17,解,只有一个线性无关的特征向量,所以不能对角化.,求可逆阵P，,18,例5,解,得A的特征值为,19,20,例6,解,21,从而A可相似对角化.,秩为1，,22,从而A不可相似对角化.,秩为2，,23,一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵P，使得,则,于是,转化为对角阵求幂.,24,例7,解,设,25,26,END,END,