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1、,正方体的内切球,正方体的内切球的半径是棱长的一半,球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？,中截面,设为1,球的外切正方体的棱长等于球直径。,正方体的外接球,正方体的外接球半径是体对角线的一半,对角面,设为1,球的内接正方体的对角线等于球直径。,球外接于正方体,正方体的棱切球,正方体的棱切球半径是面对角线长的一半,中截面,正方形的对角线等于球的直径。,球内切于正方体的棱,二、 球与多面体的接、切,定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 。,定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个
2、球是这个 。,多面体的外接球,多面体的内切球,正方体的内切球直径,正方体的外接球直径,与正方体所有棱相切的球直径,若正方体的棱长为a，则,a,长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半,设长方体的长、宽、高分别为a、b、c 则对角线长为 a2+b2+c2,设为1,甲球为内切球直径=正方体棱长,中截面,正方形的对角线等于球的直径=,球内切于正方体的棱,有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_.,1,例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ),在正三棱锥
3、中，BE 是正BCD的高，,O1 是正BCD的中心，且AE 为斜高,解法1：,作 OF AE 于 F,设内切球半径为 r，则 OA = 1 r, Rt AFO Rt AO1E,设球的半径为 r，则 VA- BCD =,VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD,解法2：,例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,注意：割补法，,例3 求棱长为 a 的正四面体 P ABC 的外接球的表面积,过侧棱 PA 和球心 O 作截面,则截球得大圆，截正四面体得PAD，如图所示,连 AO 延长交 PD 于 G,则 OG PD，且 OO1 = OG, Rt PGO Rt PO1D,解法1：,球的内切、外接问题,5、体积分割是求内切球半径的通用做法。,1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。,2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。,3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。,4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。,