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1、v1.0可编辑可修改第二十五讲辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决而我们需要的圆并不存在( 有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆) ，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法1 利用圆的定义添补辅助圆；2 作三角形的外接圆；3 运用四点共圆的判定方法：(1) 若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆(2) 同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆(3) 若四边形 ABCD的对角线相交于 P，且 PA PC=PB PD，则它的四个顶点共圆(4) 若四边形 ABCD的一组对边 AB、 D
2、C的延长线相交于 P，且 PA PB PC PD，则它的四个顶点共圆【例题求解】一利用圆的定义添加辅助圆【例 1】如图，若PA=PB， APB=2 ACB， AC与 PB交于点 P，且 PB=4，PD=3，则 AD DC等于 ()A 6B 7C 12D 16思路点拨作出以 P 点为圆心、 PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法变式练习：如图，已知OA=OB=OC，且 AOB=k BOC，则 ACB是 BAC的()A 1 k 倍B是 k 倍C 2kD 12k二作三角形的外接圆【例 2】如图，在 ABC中， AB
3、=AC，任意延长CA到 P，再延长 AB到 Q，使 AP=BQ，求证：1v1.0可编辑可修改 ABC的外心 O与 A， P， Q四点共圆思路点拨先作出 ABC的外心 O，连 PO、 OQ，将问题转化为证明角相等变式练习：5如图，在等腰梯形ABCD中， AB CD，AB=998， CD=1001，AD=1999，点 P 在线段 AD上，满足条件的BPC=90的点 P的个数为 ()A 0B1C 2 1D不小于3 的整数(全国初中数学联赛题)三四点共圆1若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。【例 3】如图；已知H是 ABC三条高的交点，连结DF， DE， EF，求证： H是 DEF的内
4、心变式练习：如图，直线AB和 AC与 O分别相切于B、C，P 为圆上一点， P 到 AB、AC的距离分别为 4cm、 6cm，那么 P 到 BC的距离为(全国初中数学联赛题)思路点拨连 DF，EF，寻找 PD、PE、PF 之间的关系，证明PDF PFE，而发现 P、D、 B、F 与 P、 E、C、 F 分别共圆，突破角是解题的关键注：圆具有丰富的性质：(1) 圆的对称性；(2) 等圆或同圆中不同名称量的转化；(3) 与圆相关的角； (4) 圆中比例线段适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在2v1.0可编辑可修改图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆
5、”2同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）【例 4】如图，在 ABC中，高 BE、CF 相交于 H，且 BHC=135， G为 ABC内的一点，且GB=GC， BGC 3 A，连结 HG，求证： HG平分 BHF思路点拨经计算可得A=45， ABE， BFH 皆为等腰直角三角形，只需证GHB=GHF=由 BGC=3 A=135 = GHC，得 B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解变式练习：已知等腰三角形ABC， AB=A
6、C， AD垂直BC 于 D， DE 垂直AC 于 E， F 是 DE中点，求证：AF 垂直于BE。3 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；【例 5】如图， P 是 O外一点， PA和 PB 是 O的切线， A， B 为切点， P O 与 AB 交于点 M，过 M任作 O的弦 CD求证： CPO= DPO4 把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆【例 6】如图，P 是 O外一点，PA切 O于 A，PBC是 O的割线
7、，ADPO于 D求证： PBPC PDCD思 路 点 拨因所 证 比 例 线 段 不 是 对 应 边 ， 故 不 能 通 过 判 定 PBD 与 PCD 相 似 证明 PA2=PD PO=PB PC， B、C、 O、D 共圆，这样连OB，就得多对相似三角形，以此达到3v1.0可编辑可修改 明的目的注：四点共 既是一 ，又是平面几何中一个重要的 明方法，它和 明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位， 是因 ， 某四点共 ， 不但与 四点相 系的条件集中或 移，而且可直接运用 的性 解 服 5 五点共 （ 7456）【例 7】如 ，已知在凸四 形ABCDE中， BAE=3，BC=CD=DE，且
8、 BCD=CDE=1802求 ： BAC= CAD=DAK，(全国初中数学 ) 外 A 组1如 ， 正方形 ABCD的中心 O，面 1989cm2，P 正方形内一点，且 OPB=45，PA：PB=5： 14， PB的 2如 ，在 ABC中，AB=AC=2，BC 上有 100 个不同的点 P 、P ， P ， mii2iil2100APBPP C（i=1 ， 2， 100）， m1 m2m100 =3 ABC三 上的高分 AD、 BE、 CF，且其垂心H不与任一 点重合， 由点A、 B、C、 D、 E、 F、 H 中某四点可以确定的 共有()A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个(200
9、0年太原市 )4v1.0可编辑可修改6如图， AD、 BE是锐角三角形的两条高，S= 18 ， S =2，则 COSC等于 ( ) ABC DECA 3B 1C 2D 33348如图，已知 ABC中， AH是高， AT是角平分线，且TD AB， TE AC求证： (1) AHD= AHE； (2) BHCH(陕西省竞赛题 )BDCE1 在凸四边形ABCD的 BC边上取两点E,F ， E比 F 离 B 更近，如果 BAE=CDF EAF=FDE证A明： FAC= EDBCBDPC2 如图在ABC中， AB=AC， D 是BC边上任意一点C1 是C 点关于直线AD的对称点，C1 B 与AD交与P
10、试问当D在BC（除BC中点外）上运动时，ADAP的值有何变化请加以证明。3 等边ABC中， D，E 分别是BC,CA边上的点，且BD=CE=2CD.连接BE，CD交于P，证明：CP垂直 AD。4 如图 ,NS 是 ? O的直径，弦AB垂直 NS于 M， P 为弧 ANB上异于 N 的一点， PS 交 AB与 R，PM的延长线交? O与 Q，求证： RSMQNP5OARBv1.0可编辑可修改C组1如图，已知点 P 是 O外一点， PS、PT 是 O的两条切线，过点P 作 O的割线 PAB，交O A、 B 两点，与 ST交于点 C求证：11(11 )PC2PAPB(国家理科实验班招生试题 )2已知
11、 BE,CF 是锐角ABC的两条高，求证：ABE的平分线，ACF的平分线与线段EF的中垂线相交于一点。3 已知三角形ABC中，ABCACB， BD,CE是角平分线，求证：CEBD4ABC中， M为 AC的中点， BHAC于 H， AP,CQ垂直于B 的平分线，垂足为P,Q 求证：M,H,P,Q 四点共圆。6v1.0可编辑可修改参考答案例 1 B练习 1 D7v1.0可编辑可修改例 2练习 2 C例 3练习 3例 4练习 4例 58v1.0可编辑可修改例 6例 7课外练习A 组：B 组：129v1.0可编辑可修改34C组1210v1.0可编辑可修改34证明：如图，不妨设BACCBA，P 在 BQ上，延长 AP 交 BC于 D，依题设， A、D关于 BQ对称，P 为 AD为中点， 又 M为 AC中点，故 PM平行 BC，QPM= QBC, 因 BHHC，BQQC，故 B、 C、 Q、 H 四点共圆，于是QHC=QBC=QPM,，可知 H、 M、P、 Q四点共圆。11