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1、高三数学不等式的证明教案15 63不等式的证明I一、明确复习目标1理解不等式的性质和证明;2掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。二建构知识网络1 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：（1）比差法：步骤是：作差；分解因式或配方；判断差式符号；（2）比商法：要证a>b且b>0，只须证 1。说明：作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号；2综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调
2、性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。3 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条，把证明这个不等式的问题转化为这些条是否具备的问题，如果能够肯定这些条都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程4对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。 要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条,等号、不等号成立的条等。三、双基题目练练手1设0x1，则a= x，b=1+x，= 中最大的一个是 ( )AaBbD不能确定2（200春上海）若a、b、是常
3、数，则“a0且b24a0”是“对任意xR，有ax2+bx+0”的 ( )A充分不必要条B必要不充分条充要条D既不充分也不必要条3 设 （0，+），则三个数 ， ， 的值（）A都大于2 B都小于2 至少有一个不大于2D至少有一个不小于24对于满足0 4的实数 ，使 恒成立的 的取值范围是 若a、bR，有下列不等式：a2+32a；a2+b22（ab1）；a+ba3b2+a2b3；a+ 2其中一定成立的是_6船在流水中在甲地和乙地间回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,则v1与v2的大小关系为_简答:1-3AD; 4 ; ; 6设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2v0），则船在流水中在甲乙间
4、回行驶一次的时间t= + = ，平均速度v1= = v1v2= v2= 0，v1v2答案：v1v2四、经典例题做一做【例1】（1）已知a,bR,求证: a2+b2+1>ab+a（2）设 求证 证明：（1）p= a2+b2+1-ab-a= = 显然p>0 得证（2）证法一:左边-右边= = = = 原不等式成立。证法二:左边>0，右边>0。 原不等式成立。提炼方法:比较法作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。 【例2】已知a+b+=0，求证：ab+b+a0证明法一：（综合法）a+b+=0，
5、（a+b+）20展开得ab+b+a= ，ab+b+a0法二：（分析法）要证ab+b+a0，a+b+=0，故只需证ab+b+a（a+b+）2，即证a2+b2+2+ab+b+a0，亦即证 （a+b）2（b）2（a）20而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，原不等式成立证法三：a+b+=0，=a+bab+b+a=ab+（b+a）=ab（a+b）2a2b2ab（a ）2 0ab+b+a0【例3】已知 的三边长为 且 为正数求证: 证明一:分析法: 要证 只需证 在AB中, 式成立,从而原不等式成立证明二:比较法: 证明二: 因为 为 的三边长, 所以 【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+（a0）
6、，方程f（x）x=0的两根x1、x2满足1x1x2 （1）当x（0，x1）时，证明xf（x）x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0 证明：（1）令F（x）=f（x）x，x1、x2是方程f（x）x=0的根，F（x）=a（xx1）（xx2）当x（0，x1）时，由于x1x2，（xx1）（xx2）0又a0，得F（x）=a（xx1）（xx2）0，即xf（x）又x1f（x）=x1x+F（x）=x1x+a（x1x）（xx2）=（x1x）1+a（xx2），0xx1x2 ，x1x0，1+a（xx2）=1+axax21ax20，x1f（x）0，即f（x）x1综上，可知xf（x）x1（2）法
7、1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2- )x+ax1x2 对称轴为x=x0= = , ( )法2:由题意知x0= x1、x2是方程f（x）x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b1）x+=0的根，x1+x2= x0= = = 又ax21，x0 = 题目点评:函数或数列中的不等式,是高考中的一大类题目,应予以特别的关注,体会方法,积累经验【研讨欣赏】已知a1，0，求证：lga（a+）lga+（a+2）证法1： 取对数得：lg(a+)lga>lg(a+2)lg(a+)0 又 lga<lg(a+) 即 得: 即lga（a+）lga+（a+2）(常见形式l
8、gn(n+1)>lg(n+1)(n+2)法2：lga（a+）lg（a+）（a+2）= = a1，0，lga0，lg（a+2）0，且lgalg（a+2）lgalg（a+2）（ ）2= 2 2=lg2（a+） 0lga（a+）lg（a+）（a+2）提炼方法:1综合法,为什么想到用“ ”感觉式子的结构特征;2比较法把对数的积用均值 不等式化为对数的和是一步关键的决择五提炼总结以为师1比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握步骤是：作差变形(分解因式或配方)判断符号对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号2对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立
9、的充分条,再证这个条(不等式)成立3综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出有时也需要几种方法综合运用4要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。同步练习 63不等式的证明I 【选择题】1设x0，0，且x（x+）=1，则 ( )Ax+2 +2Bx+2 +2x+（ +1）2Dx+（ +1）22若0<a<b且a+b=1，则四个数 ，b，2ab，a2+b2中最大的是 ( )A B、b 、2ab D、a2+b23已知x>0，f(x)= ，则A、f(x)2 B、f(x)10 、f(x)6 D、
10、f(x)34已知 ， （a>2），则AA、p>q B、p<q 、pq D、pq【填空题】要使不等式 对所有正数x，都成立，则的最小值是_6 给出下列不等式,其中正确不等式的序号是_ ；， 练习简答：1-4 BBA； ; 6 (2)(3)【解答题】7(1)已知a、b、x、R+且 ，x 求证： (2) 若a0，b0，a3+b3=2求证a+b2，ab1证明(1)法一（作差比较法） = ，又 且a、bR+，ba0又x0，bxa 0，即 证法二：（分析法）x、a、bR+，要证 ，只需证明x（+b）（x+a），即证xba而由 0，ba0又x0，知xba显然成立故原不等式成立(2) (作差
11、比较法)因为a0，b0，a3+b3=2，所以(ab)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a3+b3)=-3(a+b)(a-b)20，即(a+b)323又a+b>0,a+b2 又 ab18己知 都是正数，且 成等比数列，求证： 证明: 成等比数列， 都是正数， 9 设x>0,>0且x,求证 证明：由x>0,>0且x,要证明 只需 即 只需 由条,显然成立原不等式成立10 求证：在非RtAB中，若ab，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+hab+hb证明：设S表示AB的面积，则S= aha= bhb= absinha=bsin，hb=asin（a+ha）（b+hb）=a+bsinbasin=（ab）（1sin） ，1sin0（ab）（1sin）0a+hab+hb【探索题】已知x,z(0,1)且x+z=2,记u=x+z+zx,求证： 证明：3u=x+z+zx+2x+2z+2zx= =4,故 。又三式相加得,两边加上 得 u>1,原不等式得证。