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1、六年级数学重点内容 不定方程 专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。 如 5x3y9 就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它 的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如 5x3y9 的解有：x2.4 x2.7 x3.06 x3.6y1 y1.5 y2.1 y3如果限定 x、y 的解是小于 5 的整数，那么解就只有 x3，Y2 这一组了。 因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知 数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意
2、观察未知数的特点，尽量 缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有 3 个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程 再求解。解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取 适当的值。例 1求 3x+4y23 的自然数解。先将原方程变形，y233x4。可列表试验求解：X 1 2 3 4 5 Y 5 2 所以方程 3x+4y23 的自然数解为X =1 x=5Y =5 y=2练习一1、求 3x+2y25 的自然数解。1672、 求 4x+5y37 的自然数解。3、 求 5x3y16 的最小自然数解。例 2求下列方程组的正整数解。5x+7y+3z253xy6z2这
3、是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知 数，将方程组简化成例 1 那样的不定方程。5x+7y+3z25 3xy6z2 由2+，得 13x+13y52X+y4 把式变形，得 y4x。因为 x、y、z 都是正整数，所以 x 只能取 1、2、3.当 x1 时，y3当 x2 时，y2当 x3 时，y1把上面的结果再分别代入或，得 x1，y3 时，z 无正整数解。x2，y2 时，z 也无正整数解。 x3 时，y1 时，z1.所以，原方程组的正整数解为 x1y 1z 1练习 2求下面方程组的自然数解。1、 4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z683x+2y+4z21 5x+
4、7y+9z524、5x+7y+4z263xy6z22例 3一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装 12 个，每个小盒子装 5 个， 恰好装完。如果弹子数为 99，盒子数大于 9，问两种盒子各有多少个？两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它 的自然数解。设大盒子有 x 个，小盒子有 y 个，则12x+5y99（x0，y0，x+y9）y（9912y）5经检验，符合条件的解有： x2 x7y15 y3所以，大盒子有 2 个，小盒子有 15 个，或大盒子有 7 个，小盒子有 3 个。练习 3.1、 某校 6（1）班学生 48 人到公园划船。如果每只小船可坐 3 人，每只
5、大船可 坐 5 人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）2、 甲级铅笔 7 角钱一枝，乙级铅笔 3 角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种 不同的铅笔共几枝？3、 小华和小强各用 6 角 4 分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是 5 分一枝 和 7 分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少 枝？例题 4买三种水果 30 千克，共用去 80 元。其中苹果每千克 4 元，橘子每千克 3 元， 梨每千克 2 元。问三种水果各买了多少千克？设苹果买了 x 千克，橘子买了 y 千克，梨买了（30xy）千克。根据题意 得：4x+3y+2（30xy）82x10y2由式子可知：y2
6、0，则 y 必须是 2 的倍数，所以 y 可取 2、4、6、8、10、12、314、16、18。因此，原方程的解如下表：苹果橘子梨92198418761768165101541214314132161211811练习 41、 有红、黄、蓝三种颜色的皮球共 26 只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的 9 倍， 蓝皮球有多少只？2、 用 10 元钱买 25 枝笔。已知毛笔每枝 2 角，彩色笔每枝 4 角，钢笔每枝 9 角。 问每种笔各买几枝？（每种都要买）3、 晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张 8 分，荧光纸每张 1 角，高级纸 每张 2 角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最
7、少 是多少张？例 5某次数学竞赛准备例 2 枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原 计划一等奖每人发 6 枝，二等奖每人发 3 枝，三等奖每人发 2 枝。后又改为一等 奖每人发 9 枝，二等奖每人发 4 枝，三等奖每人发 1 枝。问：一、二、三等奖的 学生各有几人？设一等奖有 x 人，二等奖有 y 人，三等奖有 z 人。则6x+3y+2z22 9x+4y+z22 由2，得 12x+5y22y 2212x5x1x 只能取 1。Y2，代入得 z5，原方程的解为 y2z5所以，一等奖的学生有 1 人，二等奖的学生有 2 人，三等奖的学生有5 人。4练习 51、 某人打靶，8 发打了 53 环
8、，全部命中在 10 环、7 环和 5 环。他命中 10 环、7 环和 5 环各几发？2、 篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋 30 个，价值 24 元。已知煮蛋每个 0.60 元，茶 叶蛋每个 1 元，皮蛋每个 1.20 元。问篮子里最多有几个皮蛋？3、一头猪卖 31 1 1个银币，一头山羊卖 1 个银币，一头绵羊买 个银币。有人用 2 3 2100 个银币卖了这三种牲畜 100 头。问猪、山羊、绵羊各几头？ 答案：练 11、 x1 x3 x5 x7y11 y8 y5 y22、 x3 x8y11 y14、 x5y3练 21、 x1y 3z 32、 x3 x4y 4 y2z 1 z23、 x3y 1z 1练 31、 设需要小船 x 只，大船 y 只。则 3x+5y48，y483x5根据题意，x 可取 1、6、11，方程的解是 x1 x6 x11y9 y6 y32、 设买甲级笔 x 枝，乙级笔 y 枝，则 7x+3y60，y607x3。x5