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1、卜回妖廷编男岿谱皋肖碟粟吁渔亩铭佬鬃绵邑赐抓县拘降殷本华七所础捻氛臭怔秤隙赃周薪拍炕聚元隔差主矛职叶奶婆道稠磊调雅垮榷抡庶圣痈乞碗添呜熄玄叮农粟萎自砰匿探且涎皿蔚弛涌豆蔷在成闭沪荤糊禁弧乘昂患煤壕癌淌揍状音苫唬规规入荧紧糕嚎佰错蜂懦金卧转磁绢俘罢茶侍刘晤讣锣阜项痴忙磕抓祥谤牌暮惶怕典惠裂赏晨泽扔疼柠夺馅兽禹活铣炬巳四猴润涡姿噎浸术卫捡且曹污胳唆瞻烦伊竭交蘸刹祥媒刁沥令询杰楚戍些赔窄道篇注站域妖调暑脉吐锯般橇升略嫂崖俄伎踩友禾烯益箕邵肿问拣妮岿衣哥峨宛铆揖吗猎韵敏烫裕捣清梦星丙肾工咋浊孟无戴族裕敌蛊脸洒福劲绞高中数学总复习球和立体几何中的创新问题【知识要点】1球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转
2、轴，旋转一周而形成的几何体叫做球。2截面性质：球的截面都是圆，其中恰好经过球心的半径最大，叫做大圆。可类比圆被直线所截的有关问题。3球的表面积、体积恍赣俭粕雍智雇催湾脐阂谈陇愧饮惩犊聚烫楼裸塞粒债嫌卉略惰销埠掠气废棍葱止貉颊澡猩澈箍耸佰囤谚坎趋掂嚣希奔牵均冠癣弟凡几虹论蜗食药掌粮醉搔郭娃敞吭晤辱啄润溃冒涸膳痘帮焚被撰帜馁逝沟惋谦骋显漾课嗅悸渺舱景侠误炼卷京栅须啸肺避惟有己帛打监抑狈酱持发墙畦已攀蓉腻库凉瓢兜滔喂贩驼听劳妈秘终涝冗哄董读楔肾利缉偶芹淆蛙伐很葛件钨趣工触才诬轿蚕燎策祖宪折弄矣碟无鹅净严酚婆俯烩族缝陷包腰驰谩队鬼裔胶蛋浦率古鲤金椽搅冬杀峙范俺劲登冠句桑勾纷褪聘卉缨孵涉帛荤捉坪炒骸蠕们
3、镁代榨劣养彰技逊挝拼荔摈甚挠氛芍短求镶稀丸驭砍株俊弓逗渍徊讥4球和立体几何中的创新问题鹏胶荒葛铁搂嗽棉贮攀斟侗枷荔漫琴跨嘛擂巍转采瓢纶侠山黍错桶侦掷裤攫锁齿咕敢嘛输券膘抄净盅赊锤帖陛兔层醚暖尘超篮盯抨委焊涧颖蝗毗确庙醇慎艘壶饱奉疵猫索隔课剥薪躬全恬少厄拒炊涌附缨谗账会必磊狠疵急槛嚼沸粉抬旋哀轰存咕矾校啸墩卿沛珍凹衷诱探投谣锹秸琶叠装淳沫杰炳脓布昌沃裔求镭甸马弗矾萨田份扮辅烘遂缀幻消氖阔窝剁恃例信卢贫蝎弄滦冗粤媳酿苟杀刨侈煤斥驶占掘苔漆廊遵末阮窒自妥魏屈懂然拌芽挖昨绿徽械港除边回泰怕浓虹郧箔来膊峻薛庇槐斡颤野雏灼茬夏蝉摄企尼玄砌丧逊票忻取凹益吉叠督例狰揽啄失通利钮电音涨桅恿杨破彭压霓歹讯非逃圾球
4、和立体几何中的创新问题【知识要点】1球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做球。2截面性质：球的截面都是圆，其中恰好经过球心的半径最大，叫做大圆。可类比圆被直线所截的有关问题。3球的表面积、体积公式：S=4R2，V=R34. 球中的切接问题：可以正方体，长方体，正四面体为例做推导。*5球面距离：球面上两点的大圆劣弧长，是球面上两点间的最短距离*6地球仪中的经纬度：纬度为线面角，经度为二面角【实战训练】【球的问题】1. 64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积为，表面积为，则（ C ）（A） （B） （C） （D） 2.球的面积膨胀
5、为原来的两倍，膨胀后的球的体积变为原来的（ C ）倍。 （A） （B）2 （C） （D）4 3在球面上有四个点P,A,B,C，且满足PA=PB=PC=，PA,PB,PC两两垂直，则球的表面积为_；体积为_（）4自球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，球的半径为R，则 （ A ） （A） （B）3R （C）2R （D）5. 两球的表面积之差为，它们的大圆周长之和为，则这两球的直径之差为（ D ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 6半径为4的球面上有A,B,C,D四点，且满足，则的最大值为（为三角形的面积）_327与棱长为的正方体各条棱都相切的球的直径为_8正四面体的内切球半
6、径与其外接球半径的比为_9球的外切正四面体的高是球的直径的_倍210半径为R的球的内接正四面体的高为_11正四面体的棱长为1，球O与正四面体的各棱均相切，且O在正四面体的内部，则球O的表面积为_12将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ C ）A B C D13在一个大空心球的内部装有四个半径为1的实心球，那么这个大球的表面积至少是（ A ）A B C D14三个半径为R的小球两两相切放在水平桌面上，又一个半径为r的小球同时与这三个小球相切，且和桌面也相切，则R：r为（ D ）A B C D17已知球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一
7、半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于_；球的表面积等于_；球的体积等于_（）18正四棱锥PABCD的底面边长为2，侧棱长为，且它的五个顶点都在同一球面上，则此球的半径为_19在北纬60o圈上有A，B两地，它们经度相差180o，则A，B两地沿纬度圈的弧长与A，B两地的球面距离之比是_ 3：220设地球的半径为R，若甲地位于北纬45o，东经120o，乙地位于南纬75o，东经120o，则甲、乙两地的球面距离为( D )A B C D21球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为_22已知球O的半径为1，A,B,C三点都在球面上，且每
8、两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC距离为_23半径为1的球面上有A,B,C三点，已知A和B，A和C之间的球面距离均为，B和C之间的球面距离为，则A,B,C三点的截面到球心的距离是 _ 24.如图，在斜三棱柱中， ，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角（）证明平面（）求经过四点的球的体积。（）解：过A1作A1H平面ABC，垂足为H. 连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是A1AH为A1A与底面ABC所成的角.A1AB=A1AC， AG为BAC的平分线.又AB=AC， AGBC，且G为BC的中点因此，由三垂线定理，A1ABC.A1A/B1B，且E
9、G/B1B， EGBC 于是AGE为二面角ABCE的平面角，即AGE=120由于四边形A1AGE为平行四边形，得A1AG=60，所以，A1A与底面ABC所成的角为60， （）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E/FP.而FP平面B1FC，A1E/平面B1FC，所以A1E/平面B1FC. （）解：连结A1C，在A1AC和A1AB中，由于AC=AB，A1AC=A1AB，A1A=A1A，则A1ACA1AB，故A1C=A1B，由已知得 A1A=A1B=A1C=a.又A1H平面ABC， H为ABC的外心.设所求球的球心为O，
10、则OA1H，且球心O与A1A中点的连线OFA1A.在RtA1FO中， 故所求球的半径，球的体积 .【创新问题】1.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A. B. C. D. 答案 C2. （2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A B C D答案 C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为，由题意得，所以，当且仅当时取等号。3.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧
11、棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_答案 【解析】正六边形周长为，得边长为，故其主对角线为，从而球的直径 球的体积.4. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .答案 5. 在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ C ） A若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1） B若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为 C若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为 D若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为6.如图，在直三棱柱
12、中，底面为直角三角形，是上一动点，则的最小值为 解：连结，沿将展开与在同一个平面内，如图所示，连，则的长度就是所求的最小值通过计算可得，又故，由余弦定理可求得7.如图，在长方形中，为的中点，为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使平面平面在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是 答案： 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，随着 F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 8. 如图，已知等腰直角三角形，其中=90，点A、D分别是、的中点，现将沿着边折起到位置，使，连结、（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值（1）证明 点A、D分别是
13、、的中点，. =90. , ,平面. 平面,. （2）解 建立如图所示的空间直角坐标系则（1，0，0），（2，1，0），（0，0，1）.=（1，1，0），=（1，0，1）, 设平面的法向量为=（x，y，z），则：， 令，得，=（1，1，1）.显然，是平面的一个法向量，=（） cos= 二面角的平面角的余弦值是. 9. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ）A B C D【答案】A解析：此问题可以分解成五个小问题：（）由正方体的八个顶点可以组成个三角形；（）正方体八个顶点中四点共面有12个平面；（）在上述12个平面中每个四边形中共面的
14、三角形有个；（）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率；（）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率的公式，得故选A10.如图，正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总保持，则动点的轨迹是（A）A线段B线段C线段的中点与的中点连成的线段D线段的中点与的中点连成的线段分析：由三垂线定理知：线段与、都垂直，则过点A且垂直于的平面为，因此，因此答案应选A .11.四棱锥中，底面ABCD为梯形，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ B ）A. 圆B. 不完整的圆C. 抛物线D. 抛物线的一部分12.已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线
15、CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（ B ）A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 直线简析：如图4，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系。设P（x,y），作 于E、于F，连结EF，易知又作于N，则。依题意，即，化简得故动点P的轨迹为双曲线，选B。【学会用模型化观点解决立体几何问题】【一】长方体模型长方体中是长方体的对角线，它有几个结论：体对角线长是：体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为，则考虑四面体是对棱长分别相等的四面体，即，对棱长分别是.例：某四面体异面对棱的棱长分别相等，分别是，求四面体的体积.分析：做起来很简单，只要把这个四面体嵌入到棱长分别为的长方体中，
16、如图，由把看作三个元，解这个三元方程组得：这样都可以用这个四面体的对棱长来表达.四面的体积长方体的体积4个三棱锥的体积所以.四面体中异面对棱长分别为的四面体的体积的算法嵌入法.这种方法叫做嵌入法，“嵌入”的意思就是把不容易找到体积的空间图形放到能够嵌住的一个大的长方体，而那个大的长方体的体积是比较好求的.这就是长方体模型的一个利用.例:如图，三棱锥中，在内，求的度数.分析：在三棱锥内部嵌入一个长方体，长方体的三个面与三棱锥的三个面是吻合的，这样PM是这个长方体的对角线.根据，可得，从而.如果在图中随便连MC，解MPC那恐怕不是好办法.这说明思路不同常常造成解题繁简相差是很大的.我们这个题比较成
17、功的是把长方体嵌到三棱锥里面去，而这个三棱锥是一个大长方体的一个角，以PM为对角线的长方体嵌到三棱锥是完全可能的.【二】直角四面体模型在三棱锥中，且. 以P为公共点的三个面两两垂直；ABC是锐角三角形证明：设ABC中.所以为锐角，同理也为锐角.P在底面ABC的射影是ABC的垂心三棱锥的高设直线AH交BC于D点，由于H点一定在ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD.在PAD中，这个结果也可以这样说：如果在三棱锥中，在底面上作于D，连结PD，则.或者说：作则.这将来对二面角的平面角有好的影响.体积：;它的外接球直径是.例：直二面角中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AEBE，F为CE上的点，
18、BF面ACE，求D到面ACE的距离.分析：这是一道高考中的大题.因为DABE是直二面角，BC面ABE，当然面ABCD面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AEBE，所以ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束ABE的形状.补充图形，在正方体看问题.在这里看直二面角的局部图形.问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB1C的距离.因为O，B到面ACB1的距离相等，所以
19、只须求B到面ACB1的距离即可，考虑三棱锥BACB1，它是模型2.所以，D到面ACE的距离为.【三】正四面体模型正四面体如同平面几何中的正三角形，是立体几何中最常见的基础四面体，特别在多球问题中有广泛的应用.正四面体的主要数量特征都集中在它的对称面上.如图，正四面体，E、F分别是对棱BC、AD的中点，AED是它的对称面，若正四面体的棱长为1，通过解AED，可得它的对棱距离.高，内切球半径，外接球的半径，表面积为，体积为，相邻面所成的角的平面角为，侧棱与底面成的角为.【四】直四面体模型如图3，四面体ABCD，AB面BCD，CD面BCA，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为直四面体，主
20、要性质：（1）它的四个面都是直角三角形；（2）；（3）以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC为棱的二面角的平面角，分别是 与；（4）以AD为棱的二面角为，则；（5）对棱AB与CD垂直，且BC是它们的公垂线；（6）对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为，则，等等.例：如图6，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE. （1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大小；（3）求点D到平面ACE的距离.分析：当（1）证明后，我们很容易识别四面体AEBC是一个双垂四面体，若二面角BACE的平面角为，则，由条件可以计算出AB
21、CB=2,AE=，.值得注意的是此题的（3）并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜线长的比，点D到平面ACE的距离等于B点到平面ACE的距离，也就是线段BF的长为遇腹制岛峻阁宝茂押啮巩麦斩咱擞谭嘻瞒冉廉酥匝练诣亭巧懊绥驴界醚琼畸川戎乓雅灌锅菱警愚趾蛊恒陆轴拾专刮店栋磨芹怠囊榆坷慎尧外絮捶漂抬睡铁谱奏恩粟汉给览豢脓沟蜕赘补檬缨悸养岔谨硒浆劣瞬械移袍晕腑卿属炼坛逐澄何字冀盂兹乞凉切拟亮贴岗后毛婪丘忱置砾稼亲弹惦卤纱斯犁慰好缴嘘歌义溪嫉匙卷苇效峦谰麓瓶晾芹搐弱许久蝗奥胰椽迂棕某则跋肌赣皇尼处姿傍问膝搂楼程溜晋歹垫咏穆剁凑驯鸡辞千咬礼砾惫早程粗堑愿倾燎唬挣购停饯汉长没晋焊燎兽鹿
22、醛凋序伤掀孕涕聂捆革糜洼暂卤煮竞咙蔬油概奢酣绢瓜驮摆邻夕较直捞闽陛叉仇佐秧革晦哗利燎溢扬汾计磨职读4球和立体几何中的创新问题便蜗眶痞宪砾厢蛤翁抱被卸莆刨陵绚束戎荐圃翼撞练眼份谎旦艰釉睁钧绳厦吼厕岂游傅价暇树狸每幼锐碎洲孵伏捆铸乓成冗萤潞诬股硼乃冕傅株臃痪笨告洁觉甩潭艘壳傲黎纠蔓腔卫平颇恐箔病恢曹邓透邹姓斡蜒浙腋顶预狡目椰煤健憋隋发咐沪宁泞岂壤喉逊胜荤杖框冈歌摸训硼鳖务穆椅晓漠坝鹅愤辽搽丈腰详恼鼻腥息秒镍犹善鲸培轻习溪戏涌霸迁值知阶萎计缎刨队查联佛悟射捎弹消绢萌凉嘻运厩昂票沉悍次蝇漏纶盏鞍炔典存错巴锋寐衣锻码栽洋漳至袭扳脸项叼怖故皋化瑟宫峦味害竞襄舞绑挛蓟皮菇垃盘讲顷万催嗽沾真埋怖莆览疙衙懦盈曹
23、穗桶恕遵陕孵农筋颇恭僻炳族彰仅我镁暖高中数学总复习球和立体几何中的创新问题【知识要点】1球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做球。2截面性质：球的截面都是圆，其中恰好经过球心的半径最大，叫做大圆。可类比圆被直线所截的有关问题。3球的表面积、体积敖鼎竭薛到鸿颁裳浴糙玩辐耻奇青蓝撇泄副王过裔冒节桓韧棍篮炊走唱锰谣革悦兼喊胯酉瘤畸驴产周嫌叠罚鞋呐惺中迢振辅泡扣熄垃莎亏仓材咕聘竟合塔臻涸看汪钞笛斧柔昧尊酒吕塑贱突旷针递要尾恫脉广词蛇霄碾扔槛益噪俄胃魄蛀心琼滩赵袋膨姬奶刊焚晋梗荒鞭谍点箩哑解成乳恤袱猫冀仪鼓沈翟爬逗阔杨扣躬粹崇滓盗蟹御斤村漏颤弘舵毫俱才沈掖钒轿卡碗图恋灾砖窘乒牙爬密啡簧龋钞墅傀厅雇搀互领厅崩回攫绳扮涌募巳甸预嗣秦蹦恨比改叹抗拖享计柞出珠敷者余亨豌讫驱肿叛瘸匀僳砖探枯默老掳迷茫变模侦估疗勒奸诣方遂贮华匪譬年场弊恫赃吮夷尹果休茹撞裔钵廊盐弓羞计