自控第4章题解.doc

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1、第四章 根轨迹分析法 41根轨迹法1控制系统的根轨迹1) 根轨迹的定义当控制系统的某一参数发生变化时，闭环系统的特征方程的根在S平面上的变化轨迹称为系统的根轨迹。通过控制系统的根轨迹对系统的性能进行分析的方法称为根轨迹法。2) 根轨迹方程设控制系统的开环传递函数为： (4.1)式(4.1)中，称为根轨迹增益，、分别为系统的开环零点和极点，系统的闭环特征方程为: (4.2)则控制系统的根轨迹方程为： (4.3)注意：当控制系统的开环传递函数的表述形式为(4.4)： (4.4)在式(4.4)中称为开环增益，为系统的时间常数，与存在以下的关系： (4.5)2绘制根轨迹的条件1) 180根轨迹当系统的

2、闭环特征方程是(4.2)式时，所对应的根轨迹称为180根轨迹。由根轨迹方程就可以得到绘制180根轨迹的条件：幅值条件: (4.6)相角条件： (4.7)2) 0根轨迹当系统的闭环特征方程为(4.9)式时， (4.8)所对应的根轨迹称为0根轨迹。由根轨迹方程就可以得到绘制0根轨迹的条件:幅值条件: (4.9)相角条件： (4.10)3) 参数根轨迹当根轨迹增益变化时，所得到的根轨迹称为常规根轨迹。当控制系统中的变化参数不是根轨迹增益时，此时根据其它变化参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹，或者广义根轨迹。当系统的闭环特征方程为(4.2)式，其变化参数不是，而是其它参数时，用其中不含可变参数的所有相同时

3、除以方程的两边，将方程转换成如下形式： (4.11)其中，、为不包含参数的多项式，这样就可以依据常规根轨迹的原则绘制控制系统的根轨迹。3绘制根轨迹的基本法则通常绘制根轨迹并不需要在S平面上逐点描绘它的曲线，而是可以根据一些绘制法则，快捷、准确的绘制系统的根轨迹。这些基本法则见表4.1。表4.1 绘制根轨迹的基本法则序号内容法则180根轨迹0根轨迹根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开环极点的个数n根轨迹的对称性根轨迹连续且对称于实轴根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的n个开环极点，终止于系统的m个开环零点和nm个无穷大开环零点实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段右侧开环零点和极点的个数之和应为奇数实轴上

4、根轨迹区段右侧开环零点和极点的个数之和应为偶数根轨迹的渐进线有(n-m)条渐进线，其于实轴的交点为：与实轴正方向的夹角为：与实轴正方向的夹角为：根轨迹的起始角和终止角起始角：终止角：起始角：终止角：根轨迹的分离点和会合点l条根轨迹分支相遇，其分离点坐标由的根来确定，或者由来确定。根轨迹与虚轴的交点根轨迹于虚轴的交点可以带入特征方程求解，或者由劳斯判据确定。根之和当时，闭环极点之和等于开环极点之和，若有的根轨迹向右移动，必定有其它的根轨迹会向左移动：4利用根轨迹分析控制系统的性能1) 稳定性系统的稳定性取决于闭环极点在S平面的分布情况，当系统的所有闭环极点都位于S平面的左半平面时，系统是稳定的；

5、当系统的闭环极点有一个或多个位于虚轴时，系统是临界稳定的；当系统的闭环极点有一个或多个都位于S平面的右半平面时，系统是不稳定的。根轨迹可以简便直观的显示不同的下系统闭环极点在S平面的分布，可以容易的确定系统的稳定性，并且可以由根轨迹与虚轴的交点确定系统临界稳定时的参数值。2)稳态误差系统的稳态误差与系统的结构、参数、输入信号都有关系。在根轨迹中，可以由坐标原点处开环极点的个数判断系统的型别；由根轨迹增益与开环增益的关系(式4.5)，推导出开环增益的大小，就可以很容易的计算出系统的稳态误差。3)主导极点和偶极子在根轨迹中可以很容易的利用闭环主导极点和偶极子的思想对高阶系统的动态特性进行分析。在S

6、平面中，离虚轴较近且附近无闭环零点的那些闭环极点，对系统的动态性能影响最大，可以作为系统的主导闭环极点；而那些远离主导闭环极点的极点，对系统的动态性能影响较小，可以忽略不计。在S平面中，如果系统的闭环零点和极点的距离非常近，而又远离原点，则认为它们对系统的影响较小，可以作为偶极子忽略不计。4) 动态性能利用系统闭环主导极点和偶极子的思想，系统的动态性能主要取决于系统的闭环主导极点。则系统闭环主导极点与虚轴的距离越近，系统的调节时间越长，系统的响应速度越慢；系统闭环主导极点与负实轴的距离越近，系统的超调量越小，系统的动态过程越平稳。42 根轨迹分析法习题解答4-1 假设系统开环传递函数的零、极点

7、在s平面上的分布如习题4-1图所示。试绘制以开环增益K1为变量的系统根轨迹有大致图形。习题4-1图解图4-1 （a） （b） （c）（d-1）4.1 注意：（1）有开环零点的二阶系统当复平面内有根轨迹段时，一定是圆弧；若开环仅有一个有限实零点z，则该实零点z即为复平面圆弧段根轨迹的圆心。 (2) 两开环极点间的根轨迹段上必然有分离点；两开环零点间的根轨迹段上必然有会合点；而在开环极点与开环零点间的根轨迹段上，一般情况下既无分离点，也无会合点，若有则分离点d1与会合点d2必然成对出现，二者可能重合也可能不相等，故第(d)图有(d-1)(d-3)三种情况。4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数，绘

8、出当开环增益K1变化时系统的根轨迹图，并加以简要说明。 (1) (2) 解(1) 由G(s)知，n=3，m=0，p1=0，p2=1，p3=3。 实轴上0，1、3，是根轨迹段。 有nm=3条渐近线,交点，夹角、180。 实轴上0、1根轨迹段上有分离点d。图4-2（1） 由求d：解得 （舍去） 求根轨迹与虚轴交点，令代入，得 解得 (2) n=4，m=0，p1=0，p2=4，p3、4=2j4 p1、p2连线中点正好是p3、p4实部，开环极点分布对称于s=2，根轨迹也将对称于该垂线。 实轴上0、4复平面内p3、p4间是根轨迹 有n-m=4条渐近线：ja=45、135渐近线如图4-2(2)中虚线示。

9、0、4间、P3、P4间根轨迹上有分离点，由分离点方程图4-2（2）可解得 ， 在中，求根轨与虚轴交点：令代入得 解得与虚轴交点及临界K1值（根轨迹起点，不是K1增大时与虚轴交点舍去） 系统根轨迹如图4-2(2)所示4-3 单位负反馈系统开环传递函数 (1) 绘制根轨迹，分析系统稳定性； (2) 若增加一个零点试问根轨迹有何变化，对稳定性有何影响解(1) 绘制系统根轨迹： n=3，m=0，p=0，p1=p2=0，p3=2； 实轴上0, 0、2，是根轨迹段； 有n-m=3条渐近线，、180渐近线如图中4-3(1)点划线示，根轨迹如图中相虚线示，由p1=p2=0出发的分支在右半s平面，任何K1下系统

10、均不稳定。 图4-3(2) 增加z=1，实轴上0，0、1，2为根轨迹段。 现有n-m=2渐近线，渐近线如图4-3中细虚线示；根轨迹如图中实线示，可见加进Z=-1后，系统在任何K1下均稳定。这说明给系统加进一个位置适当的开环左实零点，可使n-m变为n-m+1，渐近线条数减少一条，倾角增大，根轨迹向左移动，可使系统稳定性、平稳性得到改善。 4-5 求开环传递函数的系统在下列条件下的根轨迹：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。解 该系统n=3，m=1，开环极点p1、2=0，p3=a，开环零点z=1；随a不同取值，在1，P3实轴段上可能存在分离点与会合点。但G(s)H(s)为三阶且有零点，求分离点

11、、会合点d时用分离点方程更方便。将值代入分离点方程，有化简整理得 该系统分离点会合点可能相等或不等，但只能是同时出现在实轴段1，P3上，否则其解应舍去。 (1) a=10 图4.5 .2图4.5 .1 系统开环零极点分布如图4-5(1)所示； 实轴上 0，0、1，10是根轨迹段； 有nm=2条渐近线，渐近线如图中4-5（1）虚线所示； 可求得1、10段上有分离点和会合点：系统根轨迹如图4-5(1)中实线所示。 (2) a=9 系统开环零、极点分布如图4-5(2)所示； 实轴上0，0、1，9是根轨迹段； 有nm=2条渐近线，根轨迹渐近线如图4-5（2）中虚线所示； 可求得-1,-9段上的分离点、

12、会合点：，系统根轨迹如图4-5(2)中实线所示。（图中划线与实轴夹角为根轨迹的分离角会合角） (3) a=8图4.5 .4图4.5 .3 开环零极点分布如图4-5(3)； 实轴上0，0、1，8是根轨迹段； 有nm=2条渐近线，渐近线如图中4-5（3）虚线示； 由计算可知，d1、2不在1、8段上应舍去，8，1段上无分离点、会合点；系统根轨迹如图4-5(3)中实线所示。此题说明，开环极点在s平面实轴上位置移动，会导致根轨迹图发生大的变化。 (4) a=3 开环零、极点分布如图4-5(4)中所示； 实轴上0，0、1，3是根轨迹段； 有nm=2条渐近线，渐近线如图中虚线示；题4-7图 由计算可知应舍去

13、，实轴3、1段上既无分离点，也无会合点，系统根轨迹如图实线所示。 4-7 设系统的方框图如习题4-7图所示，绘制以a为变量的根轨迹，并： (1) 求无局部反馈时系统单位斜坡响应的稳态误差、阻尼比及调节时间； (2) 求临界阻尼的a值。 (3) 讨论a=2时局部反馈对系统性能的影响；解：本题求作系统参量根轨迹，首先写出系统开环传递函数图4.7由闭环特征方程中求出以a为参数变量时的等效开环传递函数 等效开环传递函数的零、极点分布为： 实轴上0、是根轨迹段，复平面内的根轨迹是以z为圆心、为半径、由P1、2出发的圆弧段，交实轴于1点，即根轨迹会合点d=1，系统参量根轨迹如图4-7示。 (1) 时，闭环

14、极点s1、2与等效开环传递函数极点P1-2相等，由题图可知，该系统n=1，。该系统比较典型二阶系统，可知：(，z=0.5，。 (2) 由幅值条件 ，临界阻尼比时，。 (3)当时，已有，闭环极点均在实轴上，过阻尼状态，系统阶跃响应不振荡。 求解时 ，essv=3，由可得闭环极点，系统性能可按一阶近似计算秒。（3）临界阻尼，时，相应的值已在（2）中由幅值条件求得4-8 根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘出其根轨迹的大致形状。 (1) (2) (3) 解：(1) 图4.8.1该系统正反馈根轨迹如图4-8(1)所示，仅实轴上，1、2、-是根轨迹段。 (2) n=3、m=0、P1=0、P2=1、P3=

15、2； 实轴上（，0、1、2是根轨迹段； 有nm=3条渐近线，、0；渐近线如图4-8（2）中虚线示； 1、2间有分离点d，由可得d=1.575 图4.8.3图4.8.2 (3) n=4，m=1，开环零、极点分布如图4-8(3)示； 实轴上（，0）、1，2、3，4为根轨迹段； 有nm=3条渐近线，、0渐近线如图4-8(3)中虚线示。 在3，4段上有分离点，在两开环极点间的根轨迹段上，分离点处对应，当n4时可由K*-d曲线法试解求d： 由D（s）=0可得：，列表计算，其中对应的s值即为分离点坐标d。s=d3.483.493.503.5053.513.523.58K11.45751.45751.458

16、31.458331.45801.45661.424 解得： 系统根轨迹如图4-8(3)所示。4-9 设单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制系统的根轨迹。 解：单位负反馈系统开环传递函数G(s)中有非最小相位环节（1-s），由于s项系数为负，因此系统根轨迹遵循零度根轨迹绘制法则 n=2，m=1，系统开环零极点分布如图4-9； 实轴上（，1、0，-2为根轨迹段； 有n-m=1条渐近线， ；渐近线与实轴重合 （、1）间有会合点，0、2段上有分离点。会合点、分离点由，解得：分离点，会合点d2=2.732； 复平面内的根轨迹为圆心z=1、半径的圆，该圆与实轴交点即分离点d1、会合点d2； 根轨迹与虚轴交

17、点： 令代入解得与虚轴交点 。系统根轨迹如图4-9所示。图4.94-14 已知控制系统的方框图如习题4-14图所示，题中；，试绘制闭环系统特征方程的根轨迹，并加简要说明。习题4-14图解：该系统含非最小相位环节，但s项系数为正，故负反馈系统根轨迹仍为常规根轨迹。系统开环传递函数系统开环零、极关分布如图4-14所示，实轴上5，0、-2，-5为根轨迹段，渐近线如图4-14中虚线所示。实轴上5，0间有分离点，由分离点方程解得：，（舍去）根轨迹如图4-14所示，当K1由变化时，始终有两条分支在右半s平面上，闭环系统不稳定。图4.943 应用实例1已知单位负反馈系统开环传递函数(1) 试确定系统最小阻尼

18、比及对应的(2) 由根轨迹图分析系统性能。解：(1) 由可知： 实轴上1、3、5、是根轨迹段。在1，3段上有分离点d1、5、段上有会合点d2，由分离点会合点方程有： 解得：Ad1d2 图4.1复平面的根轨迹段，是以z=5为圆心，=2.83为半径的圆弧，系统根轨迹如附图2中实线示。 由系统等线可知，最小阻尼比对应的等线是过坐标原点作的复平面内根轨迹圆的切线：求与最小阻尼比对应的闭环极点： 或由图解得(2) 由系统根轨迹图可知，系统均稳定；n=0，该系统为0型系统，可以有差地跟踪阶跃给定输入，随增加、增加、减小，但无法消除。由幅值条件可得： 当、时系统处于过阻尼状态，是非周期过程，当时的过阻尼过程

19、调节时间比时快得多。 当时系统是欠阻尼过程，仅管，但有闭环零点存在，可加快响应过程，使系统瞬态过程平稳而迅速。附2题图2已知系统方框图如附2题图所示(1) 作出闭环系统根轨迹图(2) 求时各闭环极点值；(3) 求时的开环放大系数值(4) 求使系统临界稳定的K*值。解：(1) 求出该系统开环传递函数G(s)，写为首1型，作其根轨迹图： n=3，m=0；p1= p 2= p 3=2，有三条根轨迹始自于开环极点，终于无限零点。附图4.2实轴上根轨迹段聚为2点。 有nm=3条渐近线、180 可证明该系统根轨迹与渐近线重合： 在渐近线上取任一点，由幅角条件可证渐近线上的点为根轨迹上的点 为轨迹上的点，同

20、理可证渐近线上所有点均满足上述方程，即系统根轨迹与渐近线重合，如附图4.2所示。 (2) 作z=0.5的等值线与根轨迹交于S1、2，则 本系统，满足闭环极点和“守恒”条件，由此可求出z=0.5时第三个闭环极点(3) 由幅值条件，求z=0.5时对应的K*值：和对应的一样大，由S3值，求K*最方便 此时 (4) 令代入 分别求解虚部方程和实部方程可得 系统临界稳定时 或由 系统开环传递函数中三个惯性环节时间常数T1=T2=T3，由时域分析知，此时系统临界K值为最小 对应的为3 由根轨迹法判断如图所示负反馈系统的开环右极点个数P=？解：该系统开环传递函数，即局部闭环传递函数：，的极点是系统的开环极点，欲确定是否有开环右极点，可令K=20作K由0-变化时作局部闭环的根轨迹来进行判断。局部闭环特征方程将局部闭环根轨迹的等效开环传递函数写为首1型：由有：n=3,m=0，p1=0,p2=-1,p3=-10;实轴上0，-1、-10，-是根轨迹段，且0，-1段上有分离点d；由求d：根轨迹与虚轴交点，令代入D（s）得解得 局部闭环的根轨迹如附图4.3所示。图4.3当K=20时，局部闭环根轨迹已有二条分支进入右半s平面，即系统有二个开环右极点P=2。（此题为习题7-8之一部分） （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）