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1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘 贴区。2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。3 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试卷上答题无效。4 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题
2、，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的1已知集合A =x | x -1 ， B = x | x 2，则 AB=A(-1，+)B(-，2)C(-1，2)D2设 z=i(2+i)，则z=A1+2iC1-2i3已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|= A 2B-1+2iD-1-2iB2C52D504生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则 恰有 2 只测量过该指标的概率为A23B35C25D155在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测1221 ：我的成绩比乙高2 ：丙
3、的成绩比我和甲的都高3 ：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A甲、乙、丙C丙、乙、甲6设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)=e x -1B乙、甲、丙D甲、丙、乙，则当 x0)两个相邻的极值点，则w=A2 BC1 D32129若抛物线 y =2px（p0）的焦点是椭圆x 2 y 2+ =13 p p的一个焦点，则 p=A2 B3 C4 D810曲线 y=2sinx+cosx 在点(，-1)处的切线方程为A x -y -p-1=0C 2 x +y -2 p+1=0B 2 x -y -2 p-1=0D x +y -p+1=011已
4、知 a（0，），2sin2=cos2+1，则 sin= 2AC1533BD552 5522222 2 212设 F 为双曲线 C：x y- =1 （a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 a bx +y =a 交于 P、Q 两点若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为A 2C2B 3D 5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若变量 x，y 满足约束条件 2 x +3 y -6 0，x +y -3 0， 则 z=3xy 的最大值是_. y -2 0，14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为0.97
5、，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有 车次的平均正点率的估计值为_.15 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 bsinA+acosB=0，则 B=_.16 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多 面体共有_个面，其棱长
6、为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA B C D 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA 上，BEEC 1 1 1 1 1 1（1）证明：BE平面 EB C ；1 1（2）若 AE=A E，AB=3，求四棱锥118（12 分）E -BB C C 1 1的体积已知a n是各项均为正数的等比数列，a =2, a =2 a +16 1 3 2.（1）求a n的
7、通项公式；（2）设b =log an 2n，求数列b n的前 n 项和19（12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第 一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表y的分组 -0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147（1） 分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2） 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表）（精确到 0.01）附：74 8.602.20（12 分）已知F ,
8、 F1 2是椭圆C :x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 2的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点（1）若POF2为等边三角形，求 C 的离心率；（2）如果存在点 P，使得PF PF1 2，F PF1 2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围21（12 分）已知函数 f ( x ) =( x -1)ln x -x -1证明：（1） f ( x )存在唯一的极值点；（2） f ( x )=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10
9、 分）在极坐标系中，O 为极点，点M (r , q )( r 0) 在曲线 C : 0 0 0r=4sinq上，直线 l 过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为 P.（1）当q0=p3时，求 r 及 l 的极坐标方程； 0（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 f ( x) =|x -a | x +| x -2 | ( x -a ).（1）当 a =1 时，求不等式 f ( x) 0的解集；（2）若 x ( -,1)时， f ( x ) 0，求a的取值范围.2019 年普通高等学校招生全国统一考试11文科
10、数学参考答案1C7B2D8A3A9D4B10C5A11B6D12A139140.98153 41626；2 -117解：（1）由已知得 B C 平面 ABB A ，BE1 1 1 1平面 ABB A ， 1 1故B C BE1 1又BE EC1，所以 BE平面EB C1 1（2）由（1）知BEB =90.由题设知 ABE A B E，所以 AEB =A EB =451 1 1，故 AE=AB=3，AA =2 AE =6 1.作EF BB1，垂足为 F，则 EF平面BB C C1 1，且EF =AB =3所以，四棱锥E -BB C C 1 1的体积V =133 6 3 =1818解：（1）设an
11、的公比为q，由题设得2 q 2 =4 q +16，即q 2 -2 q -8 =0解得 q =-2（舍去）或q=4因此an的通项公式为a =2 4 nn -1=22 n -1（2）由（1）得b =2(n -1o)lg2 2 n21= n-，因此数列b的前n项和为 n1 +3 + +2n -1 =n219解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于 40%的企业频率为14 +7100=0.21产值负增长的企业频率为2100=0.02用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负1 52100增长的企业比例为2%（2） y =1
12、100( -0.10 2 +0.10 24 +0.30 53 +0.50 14 +0.70 7) =0.30，s 2 = n (y-y )i ii =1=1100( -0.40)22 +( -0.20)224 +0253 +0.20214 +0.4027 =0.0296，s = 0.0296 =0.02 74 0.17，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%20解：（1）连结 PF ，由POF12为等边三角形可知在F PF 中，F PF =90 ， PF =c1 2 1 2 2，PF = 3c ，于是 2a = PF + PF =( 3 +1)c ，故 C 的离心
13、率是 e = 1 1 2ca= 3 -1.（2）由题意可知，满足条件的点 P ( x , y ) x2 y 2+ =1，即 c|y| =16a2 b2存在当且仅当1 y y| y | 2c=16 ， =-1 2 x +c x -c，x2+y2=c2，xa22y 2+ =1b2，由及 a 2 =b 2 +c 2得y 2 =bc42，又由知16 2y 2 = ，故 b =4 c 2由得x2=ac22(c2-b2)，所以c2b2，从而a2=b2+c22b2=32, 故 a 4 2.当 b =4 ， a 4 2时，存在满足条件的点P所以b =4，a的取值范围为4 2, +)21解：（1） f ( x
14、)的定义域为（0，+ ）.f(x) =x -1 1 +ln x -1 =ln x -x x.因为 y =ln x单调递增，y =1x单调递减，所以 f(x)单调递增，又 f(1) =-102 2，故存在唯一x (1,2)0，使得f(x)=0 0.又当x x 时， f 0(x) x 时， f 0(x) 0 ， f ( x)单调递增. 0,4 2 因此， f ( x )存在唯一的极值点.（2 ）由（1）知f (x0)0，所以 f ( x) =0在(x , +0)内存在唯一根 x =a.由a x 1 0得1a1 x0.又 f1 1 1 1 f (a) 1= -1 ln - -1 = =0 ，故 是
15、f ( x ) =0 a a a a a a在(0,x )0的唯一根.综上， f ( x) =0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数22解：（1）因为M(r,0q0)在C上，当 q =0p p时， r =4sin =2 3 3 3.由已知得 | OP |=|OA | cosp3=2.设 Q ( r,q)为l上除P的任意一点.在RtOPQ 中， rcos q-p3 =|OP |=2，p经检验，点 P (2, ) 在曲线3rcosq-p3 =2上所以，l的极坐标方程为rcosq-p3 =2（2）设 P ( r,q)，在RtOAP中， | OP |=|OA | cos q=4cos q,即 r=4c
16、os q因为P在线段OM上，且AP OM，故q的取值范围是pp .所以，P点轨迹的极坐标方程为rpp=4cos q, q ,4 2 .23解：（1）当 a=1 时， f ( x )=| x -1| x+| x -2|( x -1).当 x 1时， f ( x ) =-2( x -1)20 ；当 x 1时， f ( x) 0.所以，不等式 f ( x) 0的解集为 ( -,1).（2）因为 f ( a )=0 ，所以 a 1 .当 a 1 ， x ( -,1) 时， f ( x)=( a -x ) x +(2 -x )(x -a )=2(a -x )(x -1)0.所以，a的取值范围是 1, +)