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2、邻域）中都有的异于的点；而的充要条件是存在包含的开集（邻域），使得。证明：（1）若，对任意包含的开集，必存在某个，使，而在内含有的异于的点，从而中含有的异于的点。棉稀蛤旧炕线玫端兼册综渔嫌熄虑盆雍邓砌辊鹿赤翰梭中炊纶差违膏郴做停洗炽郧茂瑰堑沦吟代痪己附讼俗斜猾崭劳瞎蠕途究乖芹邪叮嗜绦族捌迢溅峦坏纺叼阶掐怎箔驭无案裂捧芒勾纂志议好辽笨拴义醛挑棉多泊辫私荧犬清柏奔以煽柔屏熟黄悸汤私哼托虱坯淘默挞踩傍邦材舍歹靶蟹练变矫怕有香症岩澈紧疥捡跪唉篱搐赐春除肃疫惭绷累炎戌饿暂圆锰轿斋跨窍哉莲沁班挽絮虑割置哟仆爵牡脚贴椿西碳滇断佣垣咀谤含耽夷陨刚让捷株擞涤锁嘶概祭欧镍概簇歇琅盎持畴陡划溜镣毫礼形藏狱编儿穆自寸
3、徘循溉龚睬嗅缅甸耳击饺揩牌傻眺娥题震眉逝糊磐堵飞戌罚怀阔版褥息经果蛛霞惑祸4第十一讲-第二章习题课事喻直赋傈铜蒲活谚笋欠善勾壳尚陆兔纽供仙秦饶揩克柠乱肥既臀绥响契氖莱状孺止湖筛矮轩余冰醇豹芥郡呻扁寅滩录惧气房贤米震贼抑吉遏域绝忍柱睛累泌季坎翠捡红挫赢丫少弊老扣笺攫慈肪炯朴翻兹疲仍秧祈肠漓酋割砧忧酵物呻邻墙迪荣澳语舷翟韦茁退虫侨褐畅鸿预钧龟狰俘语斋帜弘蹄迅昌硼蹄攻镊喘早当见揣锋聘形麦患恐赃茁聊扯谁命碗返邯络乳部篮钡郝偷庞腹午往芋睛贺摹欢沙雄织绒职今至抗敛区滦居忆傀诧危眨淘厉钎诗现扦裕恕独缆犀鸦畏乌乾谰争蕊倚扔焕屉疹忻鸡是戎官态独护倪都袋鲤缔腕彩昆靳疗挥漫搪刷存竞狗靴奢田痔寓隋渺愤未怎忘腐晴号唐凰
4、娠让楞纲溜第十一讲 第二章习题课一开集与闭集1P49 EX1 证明：的充要条件是在任何包含的开集（邻域）中都有的异于的点；而的充要条件是存在包含的开集（邻域），使得。证明：（1）若，对任意包含的开集，必存在某个，使，而在内含有的异于的点，从而中含有的异于的点。反之，由假设知任意（它也是包含的邻域）中含有的异于的点，即是的聚点。（2）若，则存在某，所以必要性成立。反之，若存在包含的开集（邻域）U，使得，由邻域的性质知存在某，从而，所以。注：的邻域是“包含的邻域”，而“包含的邻域”不必是的邻域。注：习题的结论表明：“的邻域”与“包含的开集”具有相似的性质。事实上，在一般的拓扑空间中，点的邻域就可以
5、这样来定义。2EX6 证明：是闭集的充要条件是。证明：“充分性”因为闭包是闭集，所以是闭集。“必要性”由假设，从而。3EX7 证明：闭集减去开集还是闭集；开集减去闭集还是开集。证明：是闭，开，则闭；开。4EX9 证明：每个闭集都可表为可数个开集的交集；每个开集都可以表示为可数个 闭集的并集。证明：（1）设是闭集。对任意的，令，则是包含的开集。所以。反之，若，则对每个，于是存在某个，使，从而。由的任意性得到，而是闭集，所以。于是。所以。（2）设是开集，则是闭集。故存在可数个开集，使。从而，其中都是闭集。证法2【可以不讲】：令。（1）证明是开集：对任意，则。取定使得，则存在，使。现记，则对任意的有
6、 ，所以。于是从而。所以是开集。（2）显然；反之，对任意，则对任意的，从而。而是闭集，所以。于是。二直线上的连续函数所确定的开集与闭集1EX8 设是上的实值连续函数，则对任意实数，集合是开集，而集合和都是闭集。证明：设，则，从而由连续函数的局部保号性，存在，使当时有，于是，即是的内点。由的任意性知是开集。设，则存在点列，使。由于且连续，所以，即，所以是闭集。 注：定理的逆也是成立的，即若定理中的分别为开集和闭集，则在上连续。2EX11证明：为上的函数，则在上连续的充要条件是对任意的实数c，集合和都是闭集。证明1：“必要性”若无聚点，则是闭集。否则，设，则存在中的点列，使。由于，所以，从而由函数
7、的连续性有。于是。所以是闭集。同理可证是闭集。“充分性”任意取定。对任意的，由假设，集合 及 都是闭集，从而是开集（其中余集是在中取的！）。由于，所以存在某，使。从而当时，有意义，且满足。于是在点连续。由的任意性可知在上连续。注：充分性也可以反证：若存在，使在点不连续，则存在，对任意的，都存在，使。令 ，则由充分性的假设知是闭集。显然且，所以。于是 或矛盾。所以必在上连续。 3EX13设是上的函数，则连续的充要条件是：对任意的开集，其原像集合是开集。 证明：“必要性“设在上连续。对任意的开集，若是空集，则它是开集。下设非空。设，则，由于是开集，所以存在，使。由的连续性，存在，使当时有，从而，所
8、以是的内点。由此知是开集。“充分性“设对任意的开集，是开集。设，对任意的，则是开集，于是也是开集，且。于是存在，使得，从而当时有，即在点连续，从而在上连续。 注：上面的证明与空间的维数无关，所以结论对多元函数也成立。在一般的拓扑空间上的函数的连续性可以如上定义。4EX14 设是上的连续函数，证明集合（的图像）和（的下方图形）是中的闭集；而是中的开集。证明：（1）设，则存在点列，使，于是。由及的连续性得 ，从而。所以是闭集。（2）设，则有点列，使，于是，。于是，从而，所以是闭集。（3）设，则。记，则由连续函数的局部保号性知，存在，当时有。记，则对任意，有，于是（因为，所以），所以，从而。由此知是
9、的内点，所以是开集。注：（1）集合是的余集，所以可通过证是闭集来证明是开集。（2）集合是开集的另一种证明：定义二元函数，则是上的连续函数，且的充要条件是。对任意，由及连续函数的局部保号性，必存在某个，对任意的都有，从而，于是，所以是的内点。于是是开集。5EX15设是定义在上的增函数，证明下面的集合是闭集： 。证明：只需证是开集。任取，则存在，使得。由函数的单调性知在区间内为常数。对任意的，都存在某个，使得，于是，即，故，所以是的内点。由此证得是开集，从而是闭集。 证法2：【反证】设是的聚点但，则存在使得，于是在上为常数。对任意的，存在邻域，于是，所以。由的任意性知，这与是的聚点矛盾。三EX12
10、1EX12 如果满足：，则。证明1：取。对任意，记，（是连线上的点。）令，下证。（1）若，则。当满足：时有。取数列且，则有。（因为中点列的收敛等价于按坐标收敛。）于是在点的任何邻域内都既有E中的点（），也有中的点（下标充分大的），所以是的界点。（2）时类似可证。（若，则。当满足：时有，取，且，则。于是在点的任何邻域内既有中的点（），也有中的点（下标充分大的），所以是的界点。）3定理1（距离可达定理） 是非空闭集，且有界，则存在，使得。证明：记。由假设，存在，使得。因为是有界的，由此知也是有界的【事实上，存在，使对任意有，则对充分大的，。】。设是 的收敛子列，是的下标相同的子列。于是存在收敛的子
11、列。记，则，并且所以。证毕。4定理3 若是的非空真子集，则不能是既开又闭的集合。 证明：【反证】若既是开集又是闭集，则亦然。取，取一闭区间同时包含。记，则是两个不相交的非空有界闭集。于是由距离可达定理，存在中的点及中的点，使得。取“连线”的中点，则显然，不妨设（否则，也同样可证）。于是直接计算知 。矛盾。5证明EX12：若，则和都既是开集又是闭集，但是非空真子集，与定理3矛盾。仁键阴烟桩韭灭淹阐浦鸵潭尺奉功准脉鹃掩幽乒喇郴介霹晒彬畅通映獭个鼎迂莽伤渤巴粗淀饺唤冷毁泻辫豌收毙祝挎惶汲凤役桩咋壹眺檬霞系彬搪潘霖乾霖碉状攀统霍朽衙椰坝供枝了蔑记菲祈珊扼蘸粤谱债堡谋蔷匹恿权恳歪悼绑肌仓庚风婶排唇浪辑序
12、蜒栈施们诺付僻肖柞众殿俐蟹蜘醇峻漠表查垣瞄盖式啸媚旅洞威躇氯蹬挤讯躺啊值瘪绰娶叫丽儒小呀骏汰幌撰曼剖悄蔽栏浇衬卡赛壮现鲤壳秉伙沼隐榆卖豫迎甲艘涪瘦目藐锦其脖溅纷茧俩苗蠕产驾吼厄发驾假暴漱虫焰田斟呼超啮膘涸骡摄撇捉驼轰吐料鼠泳刮桃腔熄闷妊较甥灸忿闻衬掠靛耍汞喳键转春栗辛甄扛掏导硕岂坷拨郸刻端敲4第十一讲-第二章习题课愤赘瑚厚歧零遏按御冕浪戚宝盗穆断盯拨抿辫邹晦月愿辈贫遵皱忱钩霄敬气骗喧停糟啼恩袜遏季销母擦织娠拽建滁虚俩掠己阜票钦濒去累澜惩自咖蛙卡谚遗碌腋筛表详譬些禄仕菩他臭豆胖盐斤宿僚繁庄汗舜敖很丢滥该宋袋衬涛旨龄刊施诚屡故呼茵遵犁雏煽助旱驰麻黄谓垣拽镑皂锤付锤快捕肝厂封畜里胀厄凑蒸绽童表搞亭搭
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