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1、1,建筑力学,主讲单位： 力学教研室,（十二）,2,第十二章 力法, 12 1 超静定结构的概念和超静定次数的确定, 12 - 3 用力法计算超静定结构, 12 - 2 力法的典型方程, 12 - 4 结构对称性的利用, 12 - 5 多跨连续梁、排架、刚架、桁架的受力特点,3,第十二章 力法,本章研究内容, 研究超静定结构的内力计算。,力法 是求解超静定结构内力的一种基本方法,4,第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定,12 - 1 - 1 超静定结构的概念,超静定结构有多余联系的几何不变体系。,仅用平衡方程不能求解出全部未知量（约束力或内力）,则所研究的问题是超静定问题。这类结构是超静
2、定结构。,未知量（约束力或内力）个数大于独立的平衡方程个数！,5,第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定,12 - 1 - 1 超静定结构的概念,与静定结构相比较,超静定结构具有如下性质:,2.变形与材料的物理性质和截面的几何性质有关。,1.超静定结构是具有多余联系的几何不变体系。,求解超静定结构的内力,必需考虑变形条件。,3.由于具有多余联系,因支座移动、温度改变等原因,均会使超静定结构 产生内力。,所以,超静定结构的内力与材料的物理性质和截面的几何性质有关。,4.由于多余联系的作用,局部荷载作用下局部的较大位移和内力被减小。,C,6,第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定,12 -
3、 1 - 2 超静定次数的确定,1.超静定次数超静定结构中多余联系的数目,称为超静定次数。,2.确定超静定结构次数的方法 如果从原结构中去掉 n 个联系后,3.从静力分析的角度看：超静定次数等于与多余联系相对应的 多余约束反力的个数。,结构就成为静定的,则原结构的超静定次数就等于n。,4.举例：如何确定超静定次数。,（1）,超静定次数是：,n = 1,(a)去掉 1 个链杆支座, 相当于去掉 1 个联系。,7,第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定,12 - 1 - 2 超静定次数的确定,（2）,超静定次数是：,n = 3,（3）,超静定次数是：,n = 4,独立平衡方程数：23 = 6,
4、约束反力数,= 10,10 - 6 = 4,（固定端A、D约束） 23 = 6,（B 固定铰支座）2,（C 铰链） 2,(b)切断 1 根链杆,相当于去掉 1 个联系。,(c) 去掉 1 个铰支座或 1 个单铰,相当于去掉 2 个联系。,8,第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定,12 - 1 - 2 超静定次数的确定,（4）闭合框架,超静定次数是：,n = 3,对闭合框架任选一截面切开一切口,暴露出 3 个多余力,即变成为静定结构。,重要结论：一个闭合框有 3 个多余联系。,(d) 切断 1 个梁式杆,相当于去掉 3 个联系。,9,第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定,12 - 1
5、 - 2 超静定次数的确定,讨论图示两个闭合框架的超静定次数,n = 23 = 6,10,第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定,12 - 1 - 2 超静定次数的确定,（5）平面刚架,超静定次数不会因采用不同的静定结构体系而改变。,n = 3,11,第一节 超静定结构的概念和超静定次数的确定,12 - 1 - 2 超静定次数的确定,1.去掉 1 个链杆支座或切断 1 根链杆,相当于去掉 1 个联系。,去掉多余联系的数目可如下计算:,2.去掉 1 个铰支座或 1 个单铰,相当于去掉 2 个联系。,3.去掉 1 个固定端或切断 1 个梁式杆,相当于去掉 3 个联系。,4.在连续杆上加 1 个
6、单铰或将固定端用固定铰支座代替,相当于去掉1个联系。,超静定次数 等于 去掉多余联系的数目！,注意:,在去掉超静定结构的多余联系时,得到的静定结构应是几何不变的。,不能是瞬变体系。,12,第二节 力法的典型方程,力法的基本思想:,1.去掉超静定结构的多余联系,使之成为静定结构体系力法的基本结构。,2.在基本结构上施加与多余约束相应的多余力力法的基本未知量。,3.应用变形条件求解多余力。,在基本结构上施加相应的多余力后,它便于与原超静定结构等同。,例题：,变形条件:,C 截面处挠度等于零。,13,第二节 力法的典型方程,12 - 2 - 1 力法的基本概念,例题：,变形条件:,C 截面处挠度等于
7、零。,令：,令 11 表示在力 X1=1 作用下，点 C 沿 X1 方向所产生的位移。,11 和 1F 可由计算静定结构位移的方法求出。,如采用单位荷载法、图乘法。,14,第二节 力法的典型方程,12 - 2 - 1 力法的基本概念,例题：,若 AB = BC = l/2,EI,Fl/2,= 1,15,第二节 力法的典型方程,例题：,超静定结构上由荷载所引起的内力,就等于在静定基本结构上由荷载 和多余力共同作用所引起的内力。,由叠加原理，结构的弯矩可表达为：,将超静定结构上所有多余力和约束力求出后，可作内力图，并进行强度分析。,16,第二节 力法的典型方程,用力法求解超静定结构的基本步骤可概述
8、如下:,1.去掉多余联系,用多余力代替多余联系的作用,用静定的基本结构代替 超静定结构。,2.以多余力为基本未知量,令基本结构上多余力作用点的位移与原超静定结构 的位移保持一致,利用这一变形条件求解多余力。,3.将已知外荷载和多余力所引起的基本结构的内力叠加,即为原超静定结构 在荷载作用下产生的内力。,注意：全部运算过程都是在静定的基本结构上进行的。,17,第二节 力法的典型方程,12-2-2 力法的典型方程,例题2 图所示刚架为三次超静定结构,基本体系在点 B 沿X1 、X2 和X3 方向的位移应与原结构相同,有：,式中: 1 是基本结构上点 B 沿 X1 方向的位移; 2 是基本结构上点
9、B 沿 X2 方向的位移; 3 是基本结构上点 B 沿 X3 方向的位移。,用1 F 、2 F 和3 F 分别表示荷载单独作用在基本结构上时, 点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。,用 11 、21 和 31 分别表示力 X1 = 1 单独作用在基本结构上时 , 点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。,18,第二节 力法的典型方程,12-2-2 力法的典型方程,式中: 1 是点 B 沿 X1 方向的位移;2 是点 B 沿 X2 方向的位移; 3 是点 B 沿 X3 方向的位移。,用1 F 、2 F 和3 F 分别表示荷载单独作用时,点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向
10、的位移。,用 11 、21 和 31 分别表示力 X1 = 1 单独作用时 , 点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。,用 12 、22 和 32 分别表示力 X2 = 1 单独作用时 , 点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。,用 13 、23 和 33 分别表示力 X3 = 1 单独作用时 , 点 B 沿 X1 、X2 和 X3 方向的位移。,19,第二节 力法的典型方程,12-2-2 力法的典型方程,三次超静定结构的力法基本方程,20,第二节 力法的典型方程,12-2-2 力法的典型方程,力法的基本方程,这组方程的物理意义是: 基本结构在多余力和荷载的作用下,在去掉多
11、余联系处的位移与 原结构中相应的位移相等。,21,第二节 力法的典型方程,12-2-2 力法的典型方程,力法的基本方程为：,对于 n 次超静定结构，力法的基本未知量是 n 个多余未知力 X1 , X2 , , Xn ，,称为力法的典型方程,典型方程中位于主对角线上的系数 ii 称为主系数。,它的物理意义是:,主系数与外荷载无关,不随荷载而改变,是基本体系所固有的常数。,22,第二节 力法的典型方程,称为力法的典型方程,主系数 ii,不在主对角线上的系数 ij 称为副系数，,它的物理意义是:,副系数与外荷载无关,不随荷载而改变,也是基本体系所固有的常数。,副系数 ij,23,第二节 力法的典型方
12、程,称为力法的典型方程,系数 ij 的前一个脚标指示位移发生的地点和方向, 后一个脚标指示产生位移的原因。,根据位移互等定理,副系数有如下互等关系：,其值愈大,表明结构在此方向的位移愈大,即柔性愈大, 所以称 i j 为柔性系数。,24,第二节 力法的典型方程,称为力法的典型方程,典型方程中系数 i F 称为自由项,它的物理意义是:,基本体系在荷载 ( F ) 作用下力 Xi 作用点沿 Xi 方向产生的位移。,它与荷载有关,由作用在基本体系上的荷载所确定。,i j 或 i F 得正值(负值)说明位移的方向与相应的未知力Xi 的正向相同(相反)。,25,第三节 用力法计算超静定结构,例 12 1
13、 图所示超静定梁, EI = 常量。绘制内力图。,解: (1) 选取基本结构,属一次超静定问题,(2)列力法方程、求系数,力法方程为,绘制 荷载 单独作用下的弯矩图 MF,26,第三节 用力法计算超静定结构,例 12 1 图所示超静定梁, EI = 常量。绘制内力图。,解:,(3) 求多余力、绘内力图,由力法方程,得：,按叠加法绘弯矩图：,绘制剪力图：,27,第三节 用力法计算超静定结构,排架是工业厂房常用结构形式。,排架由屋架、柱子和基础组成。,柱子通常采用阶梯形变截面构件,柱底为固定端。柱顶与屋架为铰接。,图示为一排架的结构及其计算简图。,28,第三节 用力法计算超静定结构,例 124 图
14、所示不等高两跨排架,已知EI1 EI2 = 4 3,受水平均布荷载作用。 试作出该排架的弯矩图。,解： (1) 选取基本结构,该排架是二次超静定结构。,(2) 列力法方程、求系数,多余未知力分别为：BC 杆的轴力 X1 DF 杆的轴力 X2,变形条件是：基本体系B、C 二点间的相对位移和D、F 二点间的相对位移同时等于零,即,29,第三节 用力法计算超静定结构,解：,(2) 列力法方程、求系数,30,第三节 用力法计算超静定结构,解：,(2) 列力法方程、求系数,31,第三节 用力法计算超静定结构,解：,(2) 列力法方程、求系数,32,第三节 用力法计算超静定结构,解：,(3) 求多余力、绘
15、内力图,代入力法方程：,解之得：,33,第三节 用力法计算超静定结构,例 125 计算图所示桁架。各杆 E A = 常数。,解： (1) 选取基本结构,是一次超静定结构。,多余未知力为：轴力 X1,(2) 列力法方程、求系数,变形条件是：杆12截口处相对位移等于零,即：,34,第三节 用力法计算超静定结构,例 125 计算图所示桁架。各杆 E A = 常数。,解：,按照桁架位移计算公式,有:,35,第三节 用力法计算超静定结构,例 125 计算图所示桁架。各杆 E A = 常数。,解：,(3) 求多余力、绘轴力图,代入力法方程,解之得：,轴力 FN 图,36,第三节 用力法计算超静定结构,讨论
16、：1.超静定结构在荷载作用下,多余力表达式中不含刚度 EI(EA), 这说明超静定结构的内力与各杆刚度的绝对值无关, 只与其相对值有关,这是超静定结构的一个重要特性。,2.设计超静定结构时,要预先给定各构杆的刚度之比。 待求出多余力后才能选定截面,并确定实际采用的构件刚度。,桁架多余内力：,排架多余内力：,37,第三节 用力法计算超静定结构,力法计算超静定结构的步骤总结如下:,1.去掉多余联系代之以多余未知力,得到静定的基本结构, 并定出基本未知量的数目。,2.根据原结构在去掉多余联系处的位移与基本结构在多余未知力和 荷载作用下相应处的位移相同的变形条件,建立力法典型方程。,3.作基本结构的单
17、位内力图和荷载内力图,求出力法方程的系数和自由项。,4.解力法典型方程,求出多余未知力,用叠加法绘制弯矩图。,5.按分析静定结构的方法,作出原结构的剪力图和轴力图。,38,第四节 结构对称性的利用,12-4-1 概述,1.对称结构:有一对称轴,其几何形状、支承条件、各杆件的刚度都相对该轴对称。,2.对称结构可分为两类：一是没有中柱的对称结构；,二是有中柱的对称结构,39,第四节 结构对称性的利用,12-4-1 概述,3.对称荷载:当将对称结构绕对称轴对折后,如果轴两侧的荷载作用点、 作用线重合,且指向相同、大小相等,则说荷载是对称的;,4.反对称荷载：当将对称结构绕对称轴对折后,如果轴两侧荷载
18、作用点、 作用线重合,大小相等、指向相反,则说荷载是反对称的。,作用在对称结构上的一般荷载,都可以分解为对称荷载和反对称荷载两组。,+,对称荷载,反对称荷载,40,第四节 结构对称性的利用,12-4-1 概述,对称荷载,反对称荷载,对称结构的力学特征是:,（1）在对称荷载作用下,其内力和变形是对称的;,（2）在反对称荷载作用下,其内力和变形是反对称的。,由此判定,无论荷载是对称的或反对称的,都只需计算对称轴一侧的半个结构,从而使计算得到简化,并称此半个结构为原结构的等代结构。,41,第四节 结构对称性的利用,12-4-2 无中柱对称刚架的等代结构,1.对称荷载下的等代结构,对称轴处截面 A 上
19、的内力，只有:,对称的内力(轴力 X2 和弯矩 X3 );,没有反对称的内力(剪力 X1)。,X1=0,取一半研究（左侧）：,无中柱对称刚架受对称荷载作用,其等代结构是:,对称轴任一侧的半刚架,在切开截面处加与 对称轴垂直的定向支座。,=,42,第四节 结构对称性的利用,12-4-2 无中柱对称刚架的等代结构,2.反对称荷载下的等代结构,对称轴处截面 A 上的内力，只有:,没有对称的内力(轴力 X2 和弯矩 X3 );,反对称的内力(剪力 X1)。,取一半研究（左侧）：,无中柱对称刚架受反对称荷载作用,其等代结构是:,对称轴任一侧的半刚架,在切开截面处加与对称轴平行的链杆支座。,43,第四节
20、结构对称性的利用,12-4-3 有中柱对称刚架的等代结构,1.对称荷载下的等代结构,截面 A 处等同有一固定端约束。,取一半研究（左侧）：,有中柱对称刚架受对称荷载作用, 其等代结构是:,对称轴任一侧的半刚架（不含中柱）, 在切开截面处加一固定端约束。,不考虑轴向变形，A 截面无位移（A=0） 。,44,第四节 结构对称性的利用,12-4-3 有中柱对称刚架的等代结构,2.反对称荷载下的等代结构,取一半研究（左侧）：,有中柱对称刚架受反对称荷载作用, 其等代结构是:,对称轴一侧的半刚架(含中柱),中柱 的截面惯性矩减半,中柱上的荷载也减半。,45,第四节 结构对称性的利用,12-4-4 对称性
21、的利用,1.支座反力的确定,46,第四节 结构对称性的利用,2.求刚架内力,例 127 作图所示刚架的弯矩图。,解：,刚架在对称荷载的作用下, 只会产生对称未知力, 反对称未知力等于零。,因半结构的切开截面处是铰,该处可有转角,不产生弯矩。,做等代结构图。,未知量只有对称未知力 X1 。,力法方程是：,用图乘法求出力法方程的系数和自由项。,47,第五节 多跨连续梁、排架、刚架、桁架的受力特点,12-5-1 多跨连续梁,多跨连续梁是一个连续的整体,连续梁在支座处的截面可以承受和传递 弯矩,使梁各段能共同工作,其整体刚度和承载力优于静定多跨梁。,多跨连续梁,静定多跨梁,静定多跨梁当其中两跨有荷载作
22、用时,只引起本跨梁的内力, 对其他跨梁无影响。,多跨连续梁在支座产生不均匀沉降时会引起整个结构的内力。,在工程中多跨连续梁通常用于梁板结构体系及桥梁中。,48,第五节 多跨连续梁、排架、刚架、桁架的受力特点,12-5-2 排架,排架结构中的排架柱与横梁(屋架)铰接,通常可不考虑横梁的轴向变形。 横梁对排架柱的支座不均匀沉降不敏感。,在有吊车的排架中,排架柱通常采用变截面柱。排架主要承受竖向(屋架、吊车)和水平荷载。在自身平面内刚度和承载力较大,可以做成较大跨度的结构,形成较大的空间。,在实际工程结构中,排架与排架之间需要加设支撑和纵向系杆,以保证 结构体系的纵向刚度。,49,第五节 多跨连续梁
23、、排架、刚架、桁架的受力特点,12-5-3 刚架,在工程中刚架结构又称为框架结构。,在刚架中柱与梁之间的联系采用刚性结点, 结构整体性好,刚度强。刚结点可以承受和 传递弯矩,结构中的杆件以受弯为主。,在竖向荷载作用下,刚架中的横梁比两端铰支梁受力合理。,在水平荷载作用下,因为刚结点的存在,对结点转角和侧移有约束作用。与排架相比,排架柱顶横梁为铰接,对柱的侧移无限制作用,所以刚架的侧移小于排架的侧移。,刚架结构,由于杆件数量较少,且大多数是直杆,所以能形成较大的空间,结构布置灵活,通常用于高层建筑中。,50,第五节 多跨连续梁、排架、刚架、桁架的受力特点,12-5-4 桁架,无论是静定桁架还是超
24、静定桁架,它们的所有杆件都只受轴力作用, 杆件受力合理,结构自重轻。,可以做成较大的跨度,能承受较大的荷载。,超静定桁架由于具有多余联系杆件,比静定桁架更具有安全性。,在承受相同荷载时桁架的刚度、强度要优于等跨实体梁。,51,小 结,力法是计算超静定结构的基本方法之一,是位移法的基础,应该切实掌握。,1.力法的基本结构是静定结构。力法是以多余力作为基本未知量,由满 足原结构的位移变形条件来求解多余力。然后通过静定结构来计算超静定结构的内力,将超静定问题转化为静定问题来处理。这是力法的基本思想。,2.力法方程是一组变形协调方程,其物理意义是基本结构在多余力和荷载 的共同作用下,多余力作用处的位移与原结构相应处的位移相同。在计算 超静定结构时,要同时运用平衡条件和变形条件,这是求解静定结构与求 解超静定结构的根本区别。,3.熟练地选取基本结构,熟练地计算力法方程中的主、副系数和自由项是 掌握和运用力法的关键。必须准确地理解主、副系数和自由项的物理意义,并在此基础上理解力法的基本思想。,4.对于对称结构,只需计算对称轴一侧的半个结构等代结构,这样可 使计算得到简化。,52,作 业,P258,12-1（a，d，g，i） 12-3（c） 12-5（选作）,