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1、1,第五章 弯曲应力,材料力学,2,5-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力 5-2 梁横截面上的切应力 5-3 梁的正应力和切应力强度条件 5-4 提高梁强度的措施,第五章 弯曲应力,弯曲应力,横截面既有FS又有M称为剪切弯曲 （横力弯曲）,5-1 平面弯曲时梁横截面上的正应力,一、纯弯曲（Pure Bending）,F,F,a,a,A,B,AC、BD：,AB：FS0，M常数 只有弯矩没有剪力称为 纯弯曲。,C,D,4,弯曲应力,1.实验现象：,（一）变形几何规律：,二、 纯弯曲时梁横截面上的正应力,弯曲应力,横向线(ac、bd）变形后仍为直线，但有转动； 纵向线变为曲线，且上缩下伸； 横向线与
2、纵向线变形后仍正交。,弯曲应力,两个概念：,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。,中性层,纵向对称面,中性轴,7,纵截面上无正应力和切应力。,横截面上只有正应力。,3.推论,弯曲应力,平截面假设：横截面变形后仍为垂直于轴线的平面，只是绕中性轴发生转动。,纵向纤维互不挤压假设：梁由许多纵向纤维组成，变形时各纤维层之间没有挤压作用。,2.假设,8,4. 几何方程：,弯曲应力,9,（二）物理关系：,假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态，在弹性范围内。,弯曲应力,（三）静力学关系：,10,弯曲应力, (
3、3),纯弯梁的正应力计算公式, (4),11,（四）最大正应力：,弯曲应力, (5),tmax,cmax,12,弯曲应力,三、 平面弯曲时梁横截面上的正应力,M：所在截面的弯矩； y：所求点到中性轴的距离； Iz：横截面对中性轴的惯性矩。,L5d：误差小于 1%。 适用条件：等截面直梁 平面弯曲 弹性范围内,13,例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）11截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。,弯曲应力,解：画M图求截面弯矩,14,弯曲应力,求应力,15,求曲率半径,弯曲应力,16,弯
4、曲应力,例2 求图示梁内力图、最大拉应力和最大压应力，并画出危险截面上的应力分布图。（Iz=2.5910-5 m 4）,解：,17,弯曲应力,52 梁横截面上的切应力,一、 矩形截面梁横截面上的切应力,1、两点假设： 切应力与剪力平行； 距中性轴等距离处，切应力相等。,弯曲应力,切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。,t,2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b；,弯曲应力,FS(x)+dFS (x),M(x),M(x)+d M(x),FS(x),dx,图a,图b, 在微段上取一块如图c，,弯曲应力,由切应力互等：,弯曲应力,t 方向：与横截面上剪力
5、方向相同； t 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大切应力为平均切应力的1.5倍。,弯曲应力,二、其它截面梁横截面上的切应力,1、研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为：,其中：FS 为截面剪力； Sz* 为y点以外的面积对中性轴之静矩； Iz 为整个截面对z轴之惯性矩； b 为y点处截面宽度。,弯曲应力,翼缘部分tmax 腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂切应力主要由腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字钢最大切应力,2、几种常见截面的最大弯曲切应力,腹板的面积, 圆截面：, 薄壁圆环：,弯曲应力,5-3 梁的正应力和切应力强度条件,1、危险
6、截面与危险点分析,中性轴为对称轴时，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,弯曲应力,2、正应力和切应力强度条件,弯曲应力,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。,梁的跨度较短，M 较小，而 FS 较大时，要校核切应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。,弯曲应力,3、强度条件应用：依强度条件可进行三种强度计算：,4、需要校核切应力强度的几种特殊情况：,解：画内力图求危险截面内力,例1 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大
7、正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。,弯曲应力,A,B,L=3m,求最大应力并校核强度,应力之比,弯曲应力,安全。,解：画弯矩图并求危险截面内力,例2 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t=30MPa，c=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,4,弯曲应力,画危面应力分布图，找危险点,z,校核强度,T字头在上面合理。,弯曲应力,32,例3 已知图示外伸梁的许用应力=160MPa，试确定截面尺寸b。,解：求支反力(如上)，作弯矩图(如下)：,F=10kN,B,C,A,1 m,D,1 m,2
8、b,b,1 m,q=5kN/m,弯曲应力,33,例4 梁AD为No10工字钢，BC为圆钢，d=20mm，梁和杆的许用应力=160MPa ，试求许可均布载荷q。,解：,q,B,C,A,2 m,D,1 m,按梁的强度条件计算：,按杆的强度条件计算：,弯曲应力,5-4 提高梁强度的措施,弯曲应力,正应力强度条件：,1、在面积相等的情况下，选择抗弯截面模量大的截面,弯曲应力,工字形截面与框形截面类似。,弯曲应力,弯曲应力,A:,7698mm2,7620mm2,7620mm2,7698mm2,7630mm2,Wz:,95259mm3,96200mm3,161290mm3,260637mm3,875000
9、mm3,No.36a,12.4mm,10.0mm,21.2mm,33.9mm,114.7mm,38,弯曲应力,提高梁强度的措施,39,弯曲应力,钢管和型钢,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,弯曲应力,2、根据材料特性选择截面形状,41,弯曲应力,提高梁强度的措施,弯曲应力,3、减小梁的最大弯矩,43,弯曲应力,弯曲应力,45,4、采用等强度梁,弯曲应力,等截面梁是按最大弯矩设计,等强度梁是按变截面设计,等强度梁为变截面梁，各横截面上的最大正应力max都相等，且等于许用应力。,46,4、采用等强度梁,弯曲应力,如果梁的宽度相同,如果梁的高度相同,47,弯曲应力,等强度梁,5、选用高强度材料，提高许用应力值,但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,48,作业： 第一次：5.3 ，5.17，5.19 第二次：5.4，5.5, 5.12，5.16,