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1、工程力学,清华大学出版社 北京交通大学出版社,工程力学教学课件,2,第十七章,弯曲应力及强度刚度计算,3,第一节 梁弯曲时的正应力,# 纯弯曲与剪切弯曲 # 中性层和中性轴 # 弯曲正应力分布规律 # 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量,4,各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。 各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。,5,1、变形几何关系 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。,6,# 中性层和中性轴,中性层,梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。,对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。,中性轴,
2、中性层与横截面的交线。,梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。,如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短,7,弯曲正应力分布规律,M,与中性轴距离相等的点，正应力相等；,正应力大小与其到中性轴距离成正比；,弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；,弯矩为负时，正应力上拉下压；,M,中性轴上，正应力等于零,8,2、静力学关系分析,Z:中性轴,没有轴向力,中性轴必然通过横截面的形心,质心坐标,静矩，面积矩,9,抗弯刚度,10,横截面上 某点正应力,该点到中性轴 距离,该截面弯矩,该截面惯性矩,11,梁的弯矩图如图5-8b 所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为,例 一受均
3、布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。,（1）作弯矩图， 求最大弯矩,12,因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为,在截面的下端受最大压应力，其值为,（2）求最大应力,13,第二节 惯性矩的计算,1、简单截面的惯性矩,矩形截面,14,100,200,200,100,z,z,y,y,P,(a),(b),15,圆形与圆环截面,实心圆,空心圆,16,2、组合截面惯性矩,17,平行移轴公式,18,例 求T字形截面的中性轴 z，并求截面对中性轴的惯性矩.,将截面划分为
4、 、两矩形，取与截面底边相重合的z 轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为：,（1） 确定形心和中性轴的位置,19,整个截面的形心C 在对称轴 y上的位置则为：,即中性轴 z 与轴 z 的距离为3cm。,（2）求各组合部分对中性轴z的惯性矩,设两矩形的形心C和C；其形心轴为z1和z2，它们距z轴的距离分别为：,20,由平行移轴公式，两矩形对中性轴z的惯性矩为：,将两矩形对z轴的惯性矩相加，得,（3）求整个截面对中性轴的惯性矩,21,3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量,某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上：,WZ 称为抗弯截面模量，Z 为中性轴.,矩形截面,Z,b,h,实
5、心圆截面,Z,d,22,例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7104 mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。,4KN,9KN,1m,1m,1m,D,C,B,A,Z,y,52,88,解1、计算C截面弯矩,RA,RB,23,例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7104 mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。,Z,y,52,88,2、分析C截面应力分布情况,24,例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7104 mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。,Z,y,52,88,3、求全梁的最
6、大拉、压应力。,2.5KNm,-4KNm,B截面,y,25,h/2,h/2,26,第三节 弯曲切应力,27,一、矩形截面梁横截面上的切应力,第三节 弯曲切应力,28,第三节 弯曲切应力,二、工字形截面梁横截面上的剪切应力,29,第四节 梁的强度计算,# 梁的最大正应力 # 梁的强度条件 # 举例,30,一、梁的最大正应力,梁的危险截面 即最大正应力所在截面,对于对称形截面：梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上,危险截面位于梁中部,危险截面位于梁根部,梁的最大正应力,梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处,31,对于非对称形截面：当梁的弯矩有正负变化时，最大的拉应力可能不等于最大的压应力，
7、且可能不在同一截面上。,危险截面：在最大的正弯矩截面和最大的负弯矩截面。,32,二、梁的正应力强度条件,Mmax,梁内最大弯矩,WZ,危险截面抗弯截面模量,材料的许用应力,利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷,33,例 图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知q = 1KN/mm，许用应力 = 140MPa。,q,300,300,1400,A,B,C,D,危险截面在轴的中部,利用截面法求该截面弯矩,q,RAy,M,300,700,300,由对称性可求得：,34,例：一圆形截面木梁，受力如图所示=10MPa,试选择截面直径d.,3KN,q=3kN/
8、m,1m,3m,解：1、确定危险截面,A,B,-3KN,5.5kN,-3.5KN,危险截面：A截面 Mmax=3kNm,35,例：一圆形截面木梁，受力如图所示=10MPa,试选择截面直径d.,危险截面：A截面 Mmax=3kNm,2、据正应力强度条件确定截面直径。,36,例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢，其上受均布载荷q和集中力P作用。若P=2KN，梁长L=2.5m,工字钢的许用应力=100MPa,试求q的许可值。,P,q,L,A,B,解：1、确定危险截面,P,P+qL,PL+qL2/2,危险截面：固定端A Mmax=PL+ql2/2 (kNm),37,例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根
9、16号工字钢，其上受均布载荷q和集中力P作用。若P=2KN，梁长L=2.5m,工字钢的许用应力=100MPa,试求q的许可值。,P,q,L,A,B,危险截面：固定端A Mmax=PL+ql2/2 (kNm),2、据强度条件确定q,38,例 图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为bh的矩形， h = 2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？,b,h,h,b,q,根据弯曲强度条件,同样载荷条件下，工作应力越小越好,因此，WZ 越大越好,梁立置时：,梁倒置时：,立置比倒置强度大一倍。,注意：Z 轴为中性轴,39,三、梁的弯曲剪应力强度校核,通常满足了正应力强度，剪应力强度也能满足。但在梁的跨度较小
10、或支座附近有较大的载荷时，因梁的弯矩较小而剪应力相对较大，需要对梁进行剪应力强度校核。 强度条件为：,40,例：图示简支梁，材料的许用应力=140MPa， =80MPa，试选择工字钢的型号。,60kN,2m,A,B,0.2m,c,解：1、确定危险截面,54KN,-6KN,FQ,M,10.8KNm,危险截面：C截面,41,例：图示简支梁，材料的许用应力=140MPa， =80MPa，试选择工字钢的型号。,60kN,2m,A,B,0.2m,c,危险截面：C截面,解：2、据正应力强度条件确定工字钢的型号。,42,例：图示简支梁，材料的许用应力=140MPa， =80MPa，试选择工字钢的型号。,60kN,2m,A,B,0.2m,c,解：3、校核剪应力强度,43,例：图示简支梁，材料的许用应力=140MPa， =80MPa，试选择工字钢的型号。,60kN,2m,A,B,0.2m,c,44,第五节 提高梁抗弯强度的途径,降低max,提高WZ,采用合理的截面形状,降低Mmax,合理布置载荷，如图17-20,合理安排梁的支承或增加约束，如图17-21,45,E N D !,