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1、,12.3.1 等腰三角形的性质,动手做一做,ABC有什么特点?,看一看,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.,等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.,底边,概念,1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长 是 ； 2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ； 3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。,10 cm,10 cm 或 11 cm,19 cm,小试牛刀,等腰三角形是轴对称图形吗？,思考,是,等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。,A,C,B,D,ABAC,B
2、DCD,ADAD,B C.,BAD CAD,ADB ADC,等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?,大胆猜想,猜想与论证,等腰三角形的两个底角相等。,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C,分析：1.如何证明两个角相等？,2.如何构造两个全等的三角形？,猜想,则有12,D,1,2,在ABD和ACD中,证明: 作顶角的平分线AD，,ABAC,12,ADAD,（公共边）, ABD ACD,（SAS）, BC,（全等三角形对应角相等）,方法一,则有 BDCD,D,在ABD和ACD中,证明: 作ABC 的中线AD,ABAC,BDCD,ADAD,（公共边）, ABD ACD,（SSS）
3、, BC,（全等三角形对应角相等）,方法二,则有 ADBADC 90,D,在RtABD和RtACD中,证明: 作ABC 的高线AD,ABAC,ADAD,（公共边）, RtABDRtACD,（HL）, BC,（全等三角形对应角相等）,方法三,猜想与论证,等腰三角形的两个底角相等。,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C,分析：1.如何证明两个角相等？,2.如何构造两个全等的三角形？,性质1,(等边对等角),猜想, ABAC （已知） BC（等边对等角）,想一想:,刚才的证明除了能得到BC 你还能发现什么?,A,B,D,C,ABAC,BDCD,ADAD,B C.,BAD CAD,ADB ADC,
4、=90,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.,性质2,(等腰三角形三线合一),是真是假,AB=AC，BD=CD（已知） BAD=CAD，ADBC（ ）,AB=AC，BAD=CAD （已知） BD=CD ，ADBC（ ）,AB=AC， ADBC （已知） BD=CD ，BAD=CAD （ ）,等腰三角形一个底角为70,它的顶角为_.,等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为 _.,等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为 _., 顶角+2底角=180, 顶角=1802底角, 底角=（180顶角）2,0顶角180 0底角90,结
5、论:在等腰三角形中,40 ,35 ，35 ,70，40或55，55,例1 已知：如图，房屋的顶角BAC=100 , 过屋顶A的立柱AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上B、C、BAD、CAD的度数.,例2 已知：在ABC中，AB = AC，B = 80， 求C 和 A的度数。,例3 如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求ABC各角的度数。,解：AB=AC，BD=BC=AD， ABC=C=BDC，A=ABD （等边对等角) 设A=x,则BDC= A+ ABD=2x, 从而ABC= C= BDC=2x, 于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，
6、 解得x=36， 在ABC中， A=36，ABC=C=72,你能在图中找出几个等腰 三角形？,练习 如图，已知ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，求A的度数.,如图，在ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，BDCF，BECD，ABAC，DGEF于点G，求证：EGFG。,思考题,谈谈你的收获！,轴对称图形,两个底角相等，简称“等边对等角”,顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高 互相重合，简称“三线合 一”,等腰三角形,小 结,性质1 : 等腰三角形的两个底角相等,（简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。）,性质2 : 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边
7、上的高互相重合。,（简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。）,1.已知：如图， ABC中， ABC=50 , ACB=80 ,延长CB至D,使BD=BA,延长BC至E,使CE=CA .连结AD、AE.求D、E、DAE的度数 .,A,B,C,D,E,25,40,115,2.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成：两部分，已知三角形底边长为，求腰长？,解：如图，令CDx，则ADx，AB2x,底边BC5,BCCD5x ABAD3x,(5+x)：3x2:1 或3x：(5+x)=2:1,x,x,2x,5,x1或x10,当x1时，腰长AB2x2，225不合题意，应舍去。故x10，腰长为20。,如图：ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD。,证明：AB=AC，AD是高，BC=2BD,又BE是高，ADC=BEC=AEH=90,在AEH和BEC中,AEHBEC(ASA),1+C=2+C=90 1=2,AEH=BEC,AE=BE,1=2,AH=BC,AH=2BD,思考题,已知点A的坐标为（1，-1），在y轴上找一点P，使POA为等腰三角形.这样的点P共有多少个？,P1,P2,P3,P4,其中，以OA为腰的三角形有OAP1、 OAP2、 OAP3， 以OA为底的三角形有OAP4,思考题,