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1、八年级数学上 新课标 人,第十二章 全等三角形,12.3 角的平分线的性质,工人师傅常常用一种简易平分角的仪器(如图所示),其中 AB =AD,BC =DC,将点 A 放在角的顶点, AB和 AD沿着角的两边放下,沿 AC 画一条射线 AE, AE 就是DAB 的平分线.你能说明它的道理吗?,学 习 新 知,问题思考,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,一、角平分线的画法,OM=ON,OCM OCN(SSS).,证明:连接 CM、CN,OC=OC,CM=CN,COM=CON,即OC为AOB的平分线,当AO
2、B两边成一直线时(AOB=180),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?,设已知直线为AB,直线外一点为C. (1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁;,(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E;,(3)分别以点D和点E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,两弧交于点F;,(4)作直线CF,直线CF就是所求的垂线.,A,B,C,K,D,E,F,二、角平分线的性质和判定,一般情况下,我们要证明一个几何命题,可以按照类似于以下的步骤进行,即: 1.明确命题中的已知和求证. 2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证. 3.经过分析,找出由已知推出要证的结论
3、的途径,写出证明过程.,说 明,PDO=PEO=90,PDO PEO (AAS),证明:PDOA,PEOB,求证:PD=PE.,在PDO 和PEO 中, =, =, =,OC是AOB的平分线,AOC=BOC.,已知:如图所示,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E.,PD=PE.,知识拓展,探究,由题意易得PDO=PEO=90.,DOP=EOP,即AOC=BOC,证明:经过点P作射线OC,如图所示.,求证:点P在AOB的平分线上.,在RtPDO和RtPEO中, =, =,RtPDORtPEO(HL),已知:如图所示,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E,PD=
4、PE.,OC是AOB的平分线.,点P在AOB的平分线上.,知识拓展,例题示范,因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段的长度表示距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段的长,那么图中画实线,在证明中就可以不写.,1.如图所示,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等.,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,同理PE=PF.,证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于 AB,BC,CA,垂足分别为D,E,F.,PD=PE=PF.,PD=PE,即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.,
5、在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.,说明,1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,作用:直接证明两条线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.,作用:证明角相等.,3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,它到此角两边一定等距离,而无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,而绝不会漏掉一个.实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分
6、线).,知识小结,A,1.如图所示,AD是ABC中BAC的平分线,DEAB于点E,SABC=7, DE=2,AB=4,则AC 长 是 ( ) A.3 B.4 C.6 D.5,检测反馈,D,2如图所示,OP平分AOB,PAOA,PBOB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是() A.PA=PB B.PO平分APB C.OA=OB D.AB平分OP,C,3.如图所示,在ABC中,角平分线AD,BE相交于O点,连接CO,则下列成立的是() A.CEOCDOB.OE=OD C.CO平分ACBD.OC=OD,4.如图所示,ABC中,C=90,AM平分CAB, BC=16 cm,CMMB=35,求点M到AB的距离.,D,必做题 教材第50页练习第1,2题. 选做题 教材第51页习题12.3第1,2,3题.,