立体几何文科解答题答案.doc

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1、立体几何文科解答题答案01、已知三棱柱中，底面,，, 分别为的中点. （I）求证：/平面；（II）求证：; (III) 求三棱锥A-BCB1的体积.解：（I）取AB中点G，连DG,CG，在三棱柱中，底面ABC ，是矩形. D,E分别为AB1，CC1的中点，是平行四边形，GC平面ABC，平面ABC，DE/平面ABC . （II）三棱柱中，底面ABC, AFCC1中点，又， （III）由（II）得，在， ， 02、如图4，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，求证：（）EF平面PAB；（）平面PAD平面PDC解：（）、分别是、的中点，底面是矩形，又平面

2、，平面， 平面（），底面是矩形， 又，平面03、如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱底面ABC，为边长为2的正三角形，点P在A1B上，且ABCP。 （1）证明：P为A1B中点； （2）若A1BAC1，求三棱锥PA1AC的体积。解：（）证明：取AB中点Q，又平面CPO，P为A1B的中点 （）连接AB1，取AC中点R，连接A1R，则平面A1C1CA，由已知A1BAC1，则，则AC=2， 04已知正六棱柱的所有棱长均为2，G为AF的中点。 （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求四面体的体积。 （1）因为AFBE，AF平面，所以AF平面，同理可证，平面， 所以，平面平面 又平面，所以平

3、面 （2）因为底面是正六边形，所以， 又底面，所以，因为，所以平面， 又平面，所以平面平面 ABCDEF(第16题图)（3）底面， 05、如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，AC=AD，DE2AB，F为CD的中点（1） 求证：AF平面BCE；（2） 求证：平面BCE平面CDE【证明】（1）因为AB平面ACD，DE平面ACD，所以ABDE.取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为的中点，所以GFEDBA， GFEDBA，从而ABGF是平行四边形，于是AFBG. 因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF平面BCE（2）因为AB平面ACD，AF平面ACD，所以ABAF，即ABGF是矩形，所

4、以AFGF. 又AC=AD，所以AFCD. 而CDGFF，所以AF平面GCD，即AF平面CDE. 因为AFBG，所以BG平面CDE.因为BG平面BCE，所以平面BCE平面CDE 06、如图，已知为矩形，平面， ，点是的中点(1)右图中指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；(2)求三棱锥的体积；(3)求证：平面平面.解：(1)该几何体的正视图和侧视图如右图示：(准确反映三视图的图形特征) （2）平面 而 (3) 为的中点，DAE与EBC都是等腰直角三角形又平面，平面 平面ABCDA1B1C1D1E平面 平面平面 07. 如图，在正四棱柱中，棱长，是的中点（

5、）求证：平面；（）求点到平面的距离（）证明：连结，交于，连结正四棱柱中，底面是正方形点是的中点又是的中点 是的中位线 平面，平面，平面（）解：过点作，垂足为正四棱柱中，底面是正方形，平面，又，平面 又， 平面在中， 即点到平面的距离是ABCDEFG08、如图，矩形中，为上的点，且.（）求证：；（）求证；（）求三棱锥的体积.解:（）证明：， ，则 又，则， （）证明：依题意可知：是中点 则，而， 是中点 在中， （）解：， ，而 ，是中点 是中点 且 中， 09、右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，且=2 .（1）答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的

6、正(主)视图和侧(左)视图；（2）求四棱锥BCEPD的体积； （3）求证：平面 解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示： (2)平面，平面平面平面ABCD BC平面 四棱锥BCEPD的体积. (3) 证明：，平面，平面EC/平面,同理可得BC/平面 EC平面EBC,BC平面EBC且 平面/平面 又BE平面EBC BE/平面PDA10、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积（1）证明：连结，在中，、分别为，的中点，则，又平面，平面，平面 （2）证明：，平面又平面，又， （3）解：，平面，即平面，且，即，= 10、如图，正方体中，

7、、分别为、的中点。（）求证：平面平面；（）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的3个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”。（如果多画，则按前3个记分）解：（1）正方体中，平面，平面，所以，连结，因为分别为、的中点，所以； 又四边形是正方形，所以，所以，因为，所以，平面，又平面，所以，平面平面（2）当点在上移动时，都有平面。证明如下：在正方体中，所以，四边形是平行四边形，所以，由（1）只，所以，又平面，平面，所以，平面。（3）复合条件的表面展开图还要五个，如下图，正确画出一个得1分，满分3分。FEABDC11、在直四棱柱中，底面是边长为的正方形

8、，、分别是棱、的中点.() 直线平面；()求证：面.解析：证明:()取的中点，连接GEABDCF分别是棱中点， 四边形为平行四边形， 又，平面 ，平面平面，直线平面 () ,同理 同理可证 又,面,面面 ABCDE图6【注】：或者面又，,，亦可。12、如图6，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且， （1）求证：平面；（2）求凸多面体的体积（1）证明：平面，平面， 在正方形中，平面ABCDEF，平面（2）解法1：在中，过点作于点，平面，平面， ，平面，又正方形的面积，ABCDE 故所求凸多面体的体积为 解法2：在中， 连接，则凸多面体分割为三棱锥和三棱锥 由（1）知，又，平面，平面，平

9、面点到平面的距离为的长度 平面，故所求凸多面体的体积为13、如图，在长方体中，点在棱的延长线上，且（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求四面体的体积解：（）证明：连，四边形是平行四边形 则 ， 又平面，平面/平面 （）由已知得，则 而平面， 则 平面 又平面，平面平面 （）四面体D1B1AC的体积 由长方体的特征可知：平面，如图是某三棱柱被截去一部分后的直观图与三视图的侧视图、俯视图在直观图中，是的中点. 侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.()求该几何体的体积；()求证：.(),.（）由三视图可知，取中点,连结，又. 14、已知P在矩形ABCD边DC上，AB

10、=2，BC=1，F在AB上且DF AP，垂足为E，将ADP沿AP折起使点D位于D位置，连DB、DC得四棱锥DABCP （I）求证DFAP； （II）若PD=1并且平面DAP平面ABCP，求四棱锥DABCP的体积证明：（I） （II）四边形ADPF是边长为1的正方形， 15、三棱柱中，侧棱与底面垂直， 分别是，的中点（）求证：平面； （）求证：平面；（）求三棱锥的体积（）证明： 连结，是，的中点 又平面， 平面（）三棱柱中，侧棱与底面垂直，四边形是正方形连结，又中的中点，与相交于点，平面（）由（）知是三棱锥的高在直角中，又 16、如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA面ABCD，BD交A

11、C于点E，F是PC中点，G为AC上一点. （I）求证：BDFG；（II）确定点G在线段AC上的位置，使FG/平面PBD，并说明理由.证明：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，PABD，ACBD.BD平面APC，平面PAC，BDFG （II）当G为EC中点，即时，FG/平面PBD， 理由如下：连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG/PE，而FG平面PBD，PB平面PBD，故FG/平面PBD.17、如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，。E、F分别是棱CC1、AB中点。 （1）求证：；（2）求四棱锥AECBB1的体积； （3）判断直线CF和平面AEB1的位

12、置关系，并加以证明。（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，平面ABC 又平面ABC， （2）解：三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，平面ABC，又平面ABC，平面ECBB1， 是棱CC1的中点， （3）解：CF/平面AEB1，证明如下：取AB1的中点G，联结EG，FG分别是棱AB、AB1中点，又 四边形FGEC是平行四边形 ， 又平面AEB，平面AEB1， 平面AEB1。17、在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，分别是棱、的中点.()求证：平面平面；()求证：平面.证明:()分别是棱，中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面 ，又是棱的中点，又平面，平面平面 ，又， 平面平面，(

13、)，同理，平面，又平面，又平面，平面.所以平面.18、如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ABC =BAD=90，ADBC，E，F分别为棱AB，PC的中点. （I）求证：PEBC； （II）求证：EF/平面PAD.证明：（I）PABC BC平面PAB 又E是AB中点， 平面PAB BCPE. （II）证明：取CD中点G，连结FG，EG，F为PC中点，FG/PD FG/平面PAD；同理，EG/平面PAD 平面EFG/平面PAD. EF/平面PAD.DBCEB1C1AA1O19、如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点，与的交点为.（）求证

14、：平面；（）求证：平面.证明：（）设的交点为O,连接，连接.因为为的中点，为的中点，所以且.又是中点，则且,即且，则四边形为平行四边形.所以.又平面,平面，则平面. OBCEB1C1AA1D() 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，所以平面.因为平面，所以.由已知得，所以.所以平面.由（）可知，所以平面.所以.因为侧面是正方形，所以.又，平面,平面,所以平面. ABCDA1B1C1D1EF19、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点（1）求证：EF平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1平面CB1D1（1）证明：连结BD.在长方体中，对角线.又 E、F为棱AD、

15、AB的中点， . . 又B1D1平面，平面，EF平面CB1D1. （2） 在长方体中，AA1平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，AA1B1D1. 又在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1， B1D1平面CAA1C1. 又 B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1平面CB1D1 20、如图4，在边长为12的正方形中，且AB=3，BC=4，分别交BB1，CC1于点P、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得与AA1重合，构成如图5所示的三棱柱ABCA1B1C1，请在图5中解决下列问题： （1）求证：； （2）在底边AC上有一点M，满足AM；MC=3：4，求证：BM/平面AP

16、Q。（1）证明：因为，所以，从而，即又因为，而，所以平面,又平面，所以， （2）解：过作交于，连接，因为， ，四边形为平行四边形，,所以平面，21、四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，AB=AC，BC=2，CD=1，并且侧面ABC底面BCDE。 （）取的中点为，的中点为，证明：面； （）若为中点,求证：. 解：()取AB的中点为，连则FG/CP 又FG面ABCCP面ABC面 （）连接 DM， EM，AM，由于，则MDE中，MD2+ME2=DE2EMDM又面面交线为，面，且平面，又，且平面， 22、如图，三棱柱ABCA1B1C1，侧棱与底面垂直，AB=AC=1，AA1=2，P、Q、M分别是棱

17、BB1、CC1、B1C1的中点，ABAQ。 （1）求证：ACA1P； （2）求证：AQ/面A1PM； （3）求AQ与面BCC1B1所成角的大小。解：（1）由已知， （2）延长线PM交CC1于J。 P，M是棱B1B，B1C1中点， 在面AA1C1C中由AA1/QJ， 四边形A1AQJ是平行四边形， AQ/A1J，AQ/面A1PM。 （3）M是等腰三角形A1B1C1中点，A1MB1C1， 又由已知A1MCC1，A1M面BCB1C1，又A1J/AQ， 就是AQ与面BCC1B1所成角 即与面所成角为。23、如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，且为正三角形。（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）若，求

18、三棱锥的体积。解：（），又（）为正三角形,且为中点， 又由（1）知 又已知 ，又,平面平面, （），,又，24. 在直四棱柱中，底面是菱形，. （）求证：平面； （）求三棱锥 的体积.解：证明：（）连接交于，连结.在平行四边形中，四边形为平行四边形. . 平面，平面，平面. （）,SADC=,又，三棱锥 的体积 SADC= 来25、已知四棱锥PABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。 （1）求四棱锥PABCD的体积； （2）若点E为PC的中点，求证：PA/平面BDE； （3）是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论（I）由三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形

19、，侧棱PC底面ABCD，且PC=2. ，即四棱锥PABCD的体积为 （II）连结AC、OE，ACBD=OABCD是正方形，O是AC的中点，且E是PC的中点，PA/OE PA平面BDE，OE平面BDEPA/平面BDE， （III）不论点E在何位置，都有BDAE 证明如下：ABCD是正方形，BDACPC底面ABCD 且平面BDPC又BD平面PAC不论点E在何位置，都有AE平面PAC ，不论点E在何位置，都有BDAE 4422444正视图侧视图俯视图26、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。ABEPDC（1） 若为的中点，求证：面；（2） 证明：面；（3） 求三棱锥的体积。简析：（1）由

20、几何体的三视图可知，底面是边长为4的正方形，面，为中点，又面。（2）取的中点，与的交点为，故为平行四边形，面。（3）27、如图所示，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点。 （I）求三棱锥D1ACE的体积； （II）求异面直线D1E与AC所成角的余弦值； （III）求二面角AD1EC的正弦值。解：（I），（II）取DD1的中点F，连结FC，则D1E/FC，FCA即为异面直线D1E与AC所成角或其补角。异面直线D1E与AC所成角的余弦值为（III）过点D作DGD1E于点G，连接AG，由AD面D1DCC1，ADD2E又DGD1E，D1E面ADGD1EAG，则AGD为二面

21、角AD1EC的平面角 D1EDG=DD1CD，二面角AD1EC的正弦值为 28、在直三棱柱中，D是BC的中点。（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积。解：（）在中， 第18题图， 直三棱柱，平面 又，平面()连接交于，连，则为中点. 又平面平面，平面 （）取中点，连，则 由（）知，平面， 平面 是三棱锥的高， 29、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点。(1) 求四棱锥的体积；（2）求证：；（3）求截面的面积。（1）解：由，得底面直角梯形的面积， 由底面，得四棱锥的高，所以四棱锥的体积。（2）证明：因为是的中点， 所以。由底面，得，又，即， 平面，所以

22、， 平面， （3）由分别为的中点，得，且，又，故，由（2）得平面，又平面，故，四边形是直角梯形，在中， 截面的面积。 第18题图30、如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面(过圆柱的轴截圆柱所得到的截面）,是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点.(1)求证：无论点如何运动，平面平面；(2)当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比(1)因为侧面是圆柱的的轴截面，故AB是底面圆的直径，又是圆柱底面圆周上不与、重合一个点，所以，又圆柱母线平面， 平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面；(2)法1：设圆柱的底面半径为，母线长度为，是底面圆的直径，所以，又在圆柱中，面，面，所以，又所以，面，故是

23、四棱锥的高，设，故四棱锥与圆柱的体积比为. ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u (2)法2：设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧AB的中点时，三角形的面积为，三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为， 圆柱的体积为， 四棱锥与圆柱的体积比为. 31、如图，四棱锥PABCD

24、中，平面ABCD，底面为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点， （I）求证：； （II）求三棱锥CDEG的体积； （III）AD边上是否存在一点M，使得平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。（I）证明：平面ABCD， 又ABCD是正方形，BCCD， PDICE=D， BC平面PCD又PC面PBC，PCBC （II）解：BC平面PCD，GC是三棱锥GDEC的高。E是PC的中点， （III）连结AC，取A C中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA/平面MEG。下面证明之E为PC的中点，O是AC的中点，EO/平面PA，又，PA/平面MEG在正方形ABCD中，O是AC中点，

25、所求AM的长为侧视图俯视图直观图32、如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.()求出该几何体的体积。()若是的中点，求证：平面；()求证：平面平面.解：()由题意可知：四棱锥中，平面平面，所以，平面又，则四棱锥的体积为：()连接，则 又，所以四边形为平行四边形，平面,平面, 所以，平面； () ,是的中点,又平面平面, 平面由()知：, 平面 ,又平面所以，平面平面. 33、如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.（1）求证：面；（2）求证：；（1）证明：由直四棱柱,得

26、,所以是平行四边形,所以而,所以面（2）证明：因为, 所以又因为,且，所以而，所以34、直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.()求证：AC平面BB1C1C；() A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论.证明：()直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BAD=ADC=90，AB=2AD=2CD=2，AC=，CAB=45，BC=，BCAC.又BB1BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.()存在点P，P为A1B1的中点。证明：由P为A1B1的

27、中点，有PB1AB，且PB1=AB. 又DCAB，DC=AB，DCPB1，且DC=PB1，DCB1P为平行四边形，从而CB1DP.又CB1ACB1,DP面ACB1，DP面ACB1.同理，DP面BCB1. 35、如图（1），是等腰直角三角形，、分别为、的中点，将沿折起，使在平面上的射影恰为的中点，得到图（2）（1）求证：； （2）求三棱锥的体积 （）证法一：在中，是等腰直角的中位线， ，在四棱锥中， 平面， 又平面, 证法二：同证法一 平面， 又平面, （）在直角梯形中，, 又垂直平分， 三棱锥的体积为： 36、如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD=600，AB=PA=2,PA平

28、面ABCD，E是PC的中点，F是AB中点。（1）求证：BE平面PDF；（2）求证：平面PDF平面PAB；（3）求BE与平面PAC所成的角。（1）取PD中点为M，连ME，MF， E是PC的中点， ME是PCD的中位线 MECD F是AB中点且由于ABCD是菱形，ABCD MEFB 四边形MEBF是平行四边形， BEMF BE平面PDF ,MF平面PDF， BE平面PDF （2） PA平面ABCD DF平面ABCD， DFPA 底面ABCD是菱形，BAD=600， DAB为正 F是AB中点， DFAB ， PA、AB是平面PAB内的两条相交直线， DF平面PAB DF平面PDF 平面PDF平面PA

29、B （3）连BD交AC与O、连EO 底面ABCD是菱形 BOAC PA平面ABCD BO平面ABCD BOPA PA、AC是平面PAC内的两条相交直线 BO平面PAC EO是BE在平面PAC内的射影 ， BEO是BE与平面PAC所成的角 O是AC、BD的中点 BO=1，EO是PAC的中位线 EO=PA=1 在直角BEO中，tanBEO=1 BEO=450 直线BE与平面PAC所成的角为450 37、如图， AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB/EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1。 （1）求证：平面CBF； （2）设FC的中点为M，求证：OM/平

30、面DAF； （3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为，求（1）证明：由平面平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEF=AB，得CB平面ABEF，而平面ABEF，所以AFCB ，又因为AB为圆O的直径，所以AFBF， 又BFCB=B，所以AF平面CBF （2）证明：设DF的中点为N，连接AN，MN，=则=则MN/AO，所以四边形MNAO为平行四边形， 所以OM/AN，又平面DAF，平面DAF，所以OM/平面DAF。 （3）过点F作FGAB于G，因为平面ABCD平面ABEF，所以FG平面ABCD，所以 因为CB平面ABEF，所以 所以 38、如图，是圆的的直径，点是弧

31、的中点，分别是，的中点，平面（）求异面直线与所成的角；（）证明 平面解 （）因为，分别是，的中点，所以，因此是异面直线与所成的角 又因为是圆的的直径，点是弧的中点，所以是以为直角的等腰直角三角形于是故异面直线与所成的角为（）因为平面，平面，所以B CDESA由（）知，所以平面 又由（）知，故平面 39、如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都等于底面的边长。 （1）求证:ACSD； （2）E是侧棱SD的中点， 求SB与CE所成角的正弦.（1）连BD，设AC交BD于O，SA=SC，AC SO在正方形ABCD中，ACBD， AC平面SBD，得ACSD. （2）E是AD的中点，O是BD的中点，连OE，则OE是DSB的中位线，SB/OE,故异面直线SB与CE所成的角为OE与CE所成的角，即OEC. 设四棱维各棱长为1，则，又由（）知AC平面SBD，OE在平面SBD内，ACOE ，。第26共25页