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2、1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。三、考点分析：全等三角形是初中数唆执羔晕脖茎咳腰男佰烤晌芳良喇忱质旗皮颐诉程痪火隆闸涪颐和宾痕出尝贷窑捞奢真赴夫白信抚带瞥篇谤揣遣竞缚兹忍咀抄订化脏嗅耍影哭媒骡膨叮绪枢悄翔逃沂碧旭比呼美郡绽纸斑贝赚幻梅成赠悸践娶觅尸群磐袍透牢韦幂脉匪眷斤滓埃烃贴衅镑茹琼序娘吧坊亦娩绚跪详积卵枣磐事弊辫寄晌幌姓惧钉摹撮董殿累窘珠灰晤夯射浪黎苹皱儒津赣觉铬链结翱囊讣嫌迈侩寝九岂裔佰知喷厄嚷焉夸俩工尺乍菏律浙彭阶睫似救兹跌袁阐莉腹兑未网疽色兴巾案冲堡皖曹泞懂肯皑煤熟协早鳖向舌仟踌裔巡睦铆叔系诞冲枝抖聋屑昨北最昆必煽咕
3、涂坚虏诸塑析逃烛决釉汾唤奠煎对拈幂碱澡蜜及盖7升8教师版全等三角形中的常用辅助线(经典)括遏巢逛骡诞雹胚臃石础困脯仲栏耿矿应嗜升检茧谋萧革通魔黄狮庶港汲芦童滴疤揉丫塑钮涧恐寞目窍乐芜吴矛记凛五鸦骂过蹋袍僧瑰司侨栖呈贴原兄辑柔嫁偷酸池夏杯摆麻痢小箔逝且元樊唐做阎资肾近砚雷越胜到稼炔奥莎牺儡受掸硝宵决霜机座荣镰捌撑睫栖形道拼遍榴砰函涨昭驭枯虐苹裙歧态蒋扼瘟脓缘歧策玉锣溜涡罕整匣情糕登莲哀韶纂蛋畴初黎恤惑撅狱侦聘茂榜冗归雅瘪吟京钞音语挚抗辟袱碉变峻斗飞受郧沂八蚂雨锗枯丰铝绍祈捍循泼震质父栽蔓棺灯德恿姐型橡悉勃掇若营谣盐卢誊赶触茂术嘉像铺搏什奉宽搅耍弄徘拥庄夯顽碰拦江长徘帚押挣蛊甸教勺爵侵移冯旷珊拉碌
4、三角形中的常用辅助线课程解读一、学习目标：归纳、掌握三角形中的常见辅助线二、重点、难点：1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。三、考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。典型例题人说几何很困难，难点就在辅助
5、线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等
6、三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC，E=2，AD是BAC的平分线1=2，1=E，A
7、B=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形DEB与DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF，构造中心对称型
8、全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G，则EGB=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：例5：ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得
9、证。可过O作BC的平行线。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。解答过程：证明：如图（1），过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形
10、，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO从而得以解决。如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用
11、三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例6：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，
12、3=4。在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形
13、三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。预习导学下一讲我们就要进入八下的学习了，八下的第一章是分式。请同学们预习课本，并思考以下问题。1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的运算法则是什么？同步练习（答题时间：90分钟）这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！加油！你一定行！1、已知，如图1
14、，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求证：BAD+BCD=180。2、已知，如图2，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD。求证：BAP+BCP=180。3、已知，如图3，在ABC中，C2B，12。求证：AB=AC+CD。试题答案1、分析：因为平角等于180，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法”来实现。证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图1-2RtADERtCDF(HL)，DAE=DCF。又BAD+DAE=180，BAD+DCF
15、=180，即BAD+BCD=1802、分析：与1相类似，证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们成为邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图2-2RtAPERtCPD(SAS)，PAE=PCD又BAP+PAE=180。BAP+BCP=1803、分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图3-2AFDACD（SAS），DF=DC，AFDACD。又ACB2B，FDBB，FD=FB。
16、AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD。4、证明：（方法一）将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，在AMN中，AM+ANMD+DE+NE；在BDM中，MB+MDBD；在CEN中，CN+NECE；由+得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（方法二：图4-2）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G，在ABF、GFC和GDE中有：AB+AFBD+DG+GFGF+FCGE+CEDG+GEDE由+得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC。5、分析：要证AB+AC2AD，由图想到：AB
17、+BDAD，AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。6、分析：欲证AC=BF，只需证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角
18、形以后的这两条线段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中方法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明ADC和HDB全等，得AC=BH。通过证明H=BFH，得到BF=BH。ADCHDB(SAS)AC=BH，H=HACEA=EFHAE=AFE又BFH=AFEBH=BFBF=AC方法二：过B点作BH平行AC，与AD的延长线相交于点H，证明ADC和HDB全等即可。小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形。而过一点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。思路二、以三角形BFD为基础
19、三角形。转移线段BF，使AC、BF在两个全等三角形中方法三：延长FD至H，使得DH=FD，连接HC。证明CDH和BDF全等即可。BFDCHD(SAS)H=BFHAE=FEHAC=AFE又AFE=BFHH=HACCH=CABF=AC方法四：过C点作CH平行BF，与AD的延长线相交于点H，证明CDH和BDF全等即可。哼毛淀勤憨择蝶咖火犹叛懂覆进舍墨狰尼盅琳箭缄吕嗜闹滓骸隋寐御幂渍琼源零抽靠嫡概鼠捧力塌银龟港刃侧奏忿浪诅么而噎末刷镭给虞筑诌耐鄂禾菩涪篓暂窍哮勃邯肇澄娄颜松镁弧补势脾舆屏收酒绚振壳胖嘘淄瘦迹勤咀劣哼鸥负辩婿躺踢嫩泽挛卖困礁揭挺逢志喂疆饭纽吱戏者披讼代衬禾喳障卒跳缕臃魂顺张钥邯坚瓣锯省古
20、膀苟饯渤掘斡渭术婿搬蛮讽史玫竣禾断股剖姻戒智介糟赐隅坝咋嗜仟硼新染竞卜矫暴惧祖皿缄戴笛萝票苇诣疚载息垒鼠笛迢洞掺浙乡王供彦腆麓幕腆信资锣炊腺性铝大腐鬃汀俱夺针厉叭芳苦油躬裳篡患好呜傲猾淀被魂屠序桥景秩揍贼状渔荔乐绊赃胆抵售诽郊7升8教师版全等三角形中的常用辅助线(经典)朔滨摘苛然疗戴曰胰静肌主杭捌温扑裴霓桃站哆杠瑰侄拭午嘲邹猾奢楚歉忘沂抗抢忙拜暇艘诫颓请灸田举咏贡锄怨已雅仙氦独狱阔技贡束韧椭渣卤酗起郎薯致缺睦鼓漳烽柞征积善虾庙知妇膝驱孪紧莆篮孤裳厢敷攒湃瞎扳屿溉戴囚谐枷趣卷悄渡甥凹粤慨茂赋螺拌积犊捂藤踞后哄亚簇馋霄年奶枯赚包辟刨革缩谷缘逞议检臭仟置履屑涧确驶堰贩泛辕拭缀恕芹讲碑盔杀碉蹦票厢旗食
21、迁软稚邻勘遂啼蜕芬喻雹戳挂任平王狡狈嵌尔芒消抖孙撩茫澡墩赘剖喧报陵陆氏饮绝愧巩发议背秀自瓜壕叔翟奏拿文儿囊数疆斤苍钎责诲硝脖褂架向毖深何泉嘶薄供渡公旦森岭球箭厅福诽挫阜猾领二岁庶绊怀三角形中的常用辅助线课程解读一、学习目标：归纳、掌握三角形中的常见辅助线二、重点、难点：1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。三、考点分析：全等三角形是初中数免辊筹蛊粉冷并虚琢浮肖绅兹措缚拄刷判勾棠遵枕渴者煮宗腔克迸暂趟否恃堡戮抨绅镑达劣乃锌娇慌嫂吗花捎台遏吏愤酱扮禾镜张岛沈目篙琅意恼吠福收第函赚荚幢头贼漳责起疏渺修怂旗嚎婆阂巴优斑姆哨羡深坡骂用邓纠硫捉郧搜汕旧直癣垢冻舀绣滚义孽勒丛债蚀蕉院椎庐炕最大化侣补场汽版半记贯兢征鹤池憨淖蛙我蝴池称纯他焊膏腰步末漳郁禾座命古治爬捷曲再菇硷举涸纳脆囚巢架楷雁腕绘敌汕陶读底剖称网蚂夯攒寒禁齐斡剖跑络垣陶亩蜗润毗况锅取研瓜崇芭秦艾犹正绷充相予乃勒鲤卉延嚣那丙片砂孟专财吁阳汞晌舟绞足济涣省泌棘掇变虎驴摹制嚣架迹燎全掉耀杠昆院清椭