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1、高斯公式通量与散度,1,第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,三、通量与散度,高斯公式 通量与散度,第十章,第六节,高斯公式 通量与散度,第十一章,高斯公式通量与散度,2,一、高 斯 公 式,高斯公式通量与散度,3,证明,高斯公式通量与散度,4,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法,高斯公式通量与散度,5,高斯公式通量与散度,6,同理,-高斯公式,和并以上三式得：,高斯公式通量与散度,7,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知,高斯公式通量与散度,
2、8,使用Guass公式时应注意:,高斯公式通量与散度,9,二、简单的应用,解,高斯公式通量与散度,10,(利用柱面坐标得),高斯公式通量与散度,11,高斯公式通量与散度,12,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,高斯公式通量与散度,13,高斯公式通量与散度,14,故所求积分为,高斯公式通量与散度,15,在闭区域 上具有一阶和,二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式,例3. 设函数,其中 是整个 边界面的外侧.,分析:,高斯公式,高斯公式通量与散度,16,证:令,由高斯公式得,移项即得所证公式,高斯公式通量与散度,17,*三、沿任意闭曲面的曲面积分为
3、零的条件,1. 连通区域的类型,设有空间区域 G ,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G,为空间二维单连通域 ;,若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域 .,例如,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成的区域,不是二维单连通区域 .,既是一维也是二维单连通区域 ;,是二维但不是一维单连通区域 ;,是一维但,高斯公式通量与散度,18,2. 闭曲面积分为零的充要条件,定理2.,在空间二维单,连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则,证: “充分性”.,根据高斯公式可知是的充分条件.,的充要条件是:,“必要性”. 用反
4、证法.,已知成立,高斯公式通量与散度,19,因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 ,则存在邻域,则由高斯公式得,与矛盾,故假设不真.,因此条件是必要的.,取外侧,高斯公式通量与散度,20,四、物理意义-通量与散度,1. 通量的定义:,高斯公式通量与散度,21,2. 散度的定义:,高斯公式通量与散度,22,散度在直角坐标系下的形式,积分中值定理,两边取极限,高斯公式通量与散度,23,高斯公式可写成,高斯公式通量与散度,24,*例4.,置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为,解:,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.,高斯公式通量与散度,25,1. 高斯公式及其应用,公式:,应用:,(
5、1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:,五、小结,高斯公式通量与散度,26,2. 通量与散度,设向量场,P, Q, R, 在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,G 内任意点处的散度为,高斯公式通量与散度,27,思考题,曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？,高斯公式通量与散度,28,思考题解答,曲面应是分片光滑的闭曲面.,高斯公式通量与散度,29,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2), 为,高斯公式通量与散度,30,练习题,高斯公式通量与散度,31,高斯公式通量与散度,32,高斯公式通量与
6、散度,33,练习题答案,高斯公式通量与散度,34,备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,试证,证: 设 的单位外法向量为,则,的夹角,积为V,高斯公式通量与散度,35,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、 微分几何、 超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,