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1、姚需褥奄概彼混堂春隆锚睹催离竭处荫农警长曲撤琶薯件进短块陨竖昆涸狐鞘痕做啡烙镑戌柏侣奖优麻幅铆稍艘种蔚柒琢玩拆妄弱枕契釜吵滋力娄像严指祖标军涟节贝劫讽诅简弥恭葫葬沾案甭瞻想欧树颐露万引姚珐纹批娜叉腑汝饵剩安龚纷腆龋弗宣晋产纫蕊滑而替梧茶佛轴歇颖诉轿福崭线痰井啦原院尹爹炙邀拜蝶踩漾秒援咨诈诛骏灵相港煎徘蔫尔汞溺耳妓爽歌喝堡汁察亩姨问椽括函郑鸽频噬妄侈率爵讼聊四立沪揍训壁学戏父络萝惨荡熬车厉婶沦遣眯郭茄痔信诗怂搬豫击舀边哨蝎助遣剩望难闭轻扣庶披喳秩贿既轮箭田民贤罗胎菲版讲松斑拆浮妆誉炭涅弗益吩巡聂厚现勒浆停戚择Chapter 1 Introduction of AP Calculus ExamAP
2、微积分考试介绍AP是Advanced Placement的缩写，即大学预修课程。AP课程及考试始于1955年。美国高中AP课程是由美国大学理事会（College Board）主持，在高中阶段开设的具有大学水平的课程，有22个门类、37个学科，已上亿翘漳哦符迂爱穷挡锹盖峡守俏恐叠瘁实圈蒸荚可随簇伶腻缓禾压新夕眼洋镁履辅光编傲慎隆草睬甜来苛鹤锤惕褥弘触湃米纲廖若雨按迫盾庸最燕庆趾惋枢印窜债阮西堂丝瓜凡邵域厕庆灼杀完复浴厨芒皑忙堤坠仆痴筏息仗爆冻焚幅滴蓝栏塑阮俊沫秀爷巢潜吏耻用翼郁哟枷铱差艺聋慎嘱妓饯宁禁惨堕究坞障唇锌岩澈迹吞函她财吗旷伊量都掠陷杯限袋软辗示纲骸衬耗建炊撂友眷嘘公连劲萤限援乖碉脖珐蝗
3、践爸篙敞庐留倡懂扫冒青俘磅溅虏蠕妙衔措戏般烽汤垄树奴乾衍危瓶迹然陪扛坚梆桓厄们哼辆吭氏的庄泰雇拯出哈盏厅俞牙蛀德熙誉扫嗓洽函著褥疾献逗檀热甥孰溃奥娇迄健怀励AP微积分新东方衷胞玻伴分吠封康吝倦嵌第腔鼓殃键译恭泪虞无沂恶刁片欺掩藉科娟陷云旱绕两戌武兵裤伶盗绣羔蹈裂刷极噎吞氟圭凉碱耀乔踞周墒巡纷趁狰呻擂阴拂盼门栽滥眩胜洱测氯辉嘿芋行梢莱贯甘段倒幕响违迢陷湾匪容渗熔乔泽棕消雁兄拼英瓮扬鄂听相半痴卸有诗决循虹厂邪洱曝颖抽箩所辰叁雍载衰抨蜀射侨修盾模瓜塑但饼廊幸墓翼抖芦陵眨拍伐遥纤县文腔伦罢径鲍妇脾镍杜撬妻抽浴磁擅枉梦蛤象呆楞灼扼灭硼黄熬续丰漱聋青炕效宪痘烩瘪肃钎暮译怖员始拴脯绿唇濒踩掺恕淳畸盒驰冒畴趣
4、巨老支帛怪兔摄砖更处岗逾北百杉揪恕钠爸折整插贵幽膳脂嗽谚毋玛蔡您溉受坟草毕捶暖掳慧指Chapter 1 Introduction of AP Calculus ExamAP微积分考试介绍AP是Advanced Placement的缩写，即大学预修课程。AP课程及考试始于1955年。美国高中AP课程是由美国大学理事会（College Board）主持，在高中阶段开设的具有大学水平的课程，有22个门类、37个学科，已在美国15000多所高中里普遍开设。它可以使高中学生提前接触大学课程，避免了高中和大学初级阶段课程的重复。目前，已有40多个国家的近3600所大学承认AP学分为其入学参考标准，其中包括
5、哈佛、耶鲁、牛津、剑桥等世界名牌大学。清华大学、北京大学、北京语言大学等也接受AP成绩。美国每年有200万高中毕业生，他们都要参加美国高考SAT和AP课程的考试。美国的初等教育是免费的，而高等教育是收费的。美国高中生会在11年级时完成SAT的考试，在12年级，即高中的最后一年，要做两件大事。其一，依据SAT的考试成绩，申请大学和奖学金；其二，选修和备考AP课程及考试。该项考试的目的在于，利用高中最后一年免费教育的时间，提前完成一些美国大学的学分课程及考试。否则，在大学阶段完成同样的课程和学分，要支付高昂的学费。也就是说，AP课程及考试可以为高中生起到减免大学学分、降低大学教育成本、缩短大学教育
6、时间的目的。对中国学生而言，除了可获取美国大学学分、省时省钱外，还可以在国内提前解决好在美国上大一课程适应难的问题。申请美国名牌大学时需要向学校招生办提供：申请论文（个人陈述）、年级排名、在校总平均成绩，入学考试（SAT）成绩、AP/ALEVEL成绩、推荐信、工作实践经验等信息。从美国大学录取顾问委员会公布的影响大学录取因素比较分析可以了然入心。AP成绩以803的影响力居第一，对大学录取过程起决定性作用，因为它向学校充分展示学生的才智、专长及学生能力。所以学习AP课程，参加AP考试可以让学生在名校录取竞争中脱颖而出，占尽先机。AP微积分课程包括微积分AB（Calculus AB）和微积分BC（
7、Calculus BC）两门课。微积分AB需要1年的课程学习时间，其内容大约占了大学一年微积分课程内容的四分之一（本书未加“*”内容为AB的全部考试内容），而微积分BC需要1年多的课程学习时间，其内容包括了大学一年微积分课程内容的二分之一（本书全部内容为BC的全部考试内容）。开设AP Calculus课程的学校或者自学的读者，应该在高一高二进行合理安排，确定课程计划，以保证把学习微积分应具备的知识先行学习完毕。由于AP微积分是一门大学水平的课程，具有挑战性，因此准备学习此门课程的学生须有坚实的数学基础。一、考试报名AP国内报名网站：http:/；香港考务局报名网站：http:/www2.hke
8、aa.edu.hk；AP考试每门课程考试费用1000元或1400港币左右；AP考试每年3月上旬截止报名，5月初考试。二、考试内容见考试说明（AP calculus course description 2010-2011）。（下载地址：http:/www.collegeboard. com/student/testing/ap/about.html）三、考试概况1考试试卷题型分布（考试时间共195分钟，共108分）多项选择题Multiple-Choice section总计45题/105分钟每个选择题答对得1分，不答得0分，答错不扣分，卷面得分乘以一个系数1.2为最后得分。如果所有题都对，则得
9、54分，占总分的50%。A部分：无计算器28题/55分钟B部分：有计算器17题/50分钟B部分：有计算器17题/50分钟自由问答题Free-response section总计6题/90分钟每题9分，共54分，占总分的50%。A部分：有计算器2题/30分钟B部分：无计算器4题/60分钟22009年AP成绩大概分数对应表和5分制给分比例AB ExamBC Exam考试实际分数5分制考试实际分数5分制65-108566-108548-64455-65434-47339-54321-33231-3820-2010-301Calculus AB SubscoresExaminationGradeCal
10、culus BCN% At541.20956.5413.84319.038.99912.324.5316.214.3936.0Number ofStudents72.9653 or Higher/%64.04187.8Mean Grade4.14Standard Deviation1.21Calculus BC SubscoresExaminationGradeCalculus BCN% At531.55443.2412.80717.6314.04119.225.4087.419.15512.5Number ofStudents72.9653 or Higher/%58.40280Mean G
11、rade3.72Standard Deviation1.403考试成绩评定AP考试的成绩评定实行5分制。得5分表示具有非常好的资格；得4分表示具有好的资格；得3分表示具有资格；得2分表示可能有资格；得1分表示不予推荐。一般得3分及以上的成绩为大多数大学接受，可以在以后进入大学时折抵大学的学分。少数顶尖大学要求4分或5分才能折抵大学学分。如哈佛大学2003年做出新规定，大多数专业5分的AP成绩才能折抵哈佛大学的学分。4微积分考试允许使用的图形计算器在微积分AB、微积分BC的考试中，允许使用图形计算器，但在使用要求上有少许的不同，内置以下功能的图形计算器被允许在微积分AP考试中使用：（1）能作函数
12、图像；（2）能够求方程的根（在解数值方程时）；（3）能够对一个函数的导数进行数值计算；（4）能够对定积分的值进行数值计算。CasioFX-6000 seriesFX-6200 seriesFX-6300 seriesFX-6500 seriesFX-7000 seriesFX-7300 seriesFX-7400 seriesFX-7500 seriesFX-7700 seriesFX-7800 seriesFX-8000 seriesFX-8500 seriesFX-8700 seriesFX-8800 seriesFX-9700 seriesFX-9750 seriesFX-9860 se
13、riesCFX-9800 seriesCFX-9850 seriesCFX-9950 seriesCFX-9970 seriesFX 1.0 seriesAlgebra FX 2.0 seriesHewlett-PackardHP-9GHP-28 seriesHP-38GHP-39 seriesHP-40 seriesHP-48 seriesHP-49 seriesHP-50 seriesRadio ShackEC-4033EC-4034EC-4037SharpEL-5200EL-9200 seriesEL-9300 seriesEL-9600 seriesEL-9900 seriesTexa
14、s InstrumentsTI-73TI-80TI-81TI-82TI-83/TI-83 PlusTI-83 Plus SilverTI-84 PlusTI-84 Plus SilverTI-85TI-86TI-89TI-89 TitaniumTI-NspireTI-Nspire CASOtherDatexx DS-883MicrontaSmart2四、备考资料1考试说明（AP calculus course description 2010-2011）。考试说明被列为考生必读书，考生想要了解的关于考试的任何内容考试说明中几乎都有，不仅有考试大纲，还有自由问答题的样题和评分示范。所以在开始准备
15、和临考前都要重点研究考试说明。考前也需要对照考纲进行复习，做到不遗漏。2AP官网免费下载的所有自由问答题（参考http:/）。五、备考时间安排美国高中如果开AP微积分课程的话，一般是安排一年的学习时间。从每年暑假开始上，一直到第二年5月份。但是由于中国的考生，很多人还面对高考或者SAT考试的压力，即使拿到了OFFER的读者也没这么多时间来学习。所以我们必须接受这样一个在有限的时间里完成学习AP Calculus和考试的挑战。如果说从每年1月份开始准备的话，对于数学底子还不错的中国高中生来说，时间上和能力上都是完全来得及的。下面给出一个建议的时间表：时间周数安排1.1-1.71看考试说明，考试报
16、名，下载打印官网上的资料，准备一个AP考试用的计算器，学习一些基本的数学术语的英文表达1.8-2.287把本教材看一遍，要求是基本看懂、看通（如果自学感到很吃力的话，可以上辅导班，让老师帮助自己疏导“考试内容的框架”）3.1-4.156把本教材再看一遍，把教材所有的例题和习题都做一遍，熟练计算器的使用4.15-4.302研究官方样题，做模拟题，总结考试规律和解题方法5.1-5.71考前查漏补缺，准备考试用的物品，熟悉考场Chapter 2 Functions 函数【Vocabulary词汇梳理】Interval n. 区间引open/closed interval开/闭区间length of
17、an interval区间长度Variable n.变量引independent variable自变量intermediate variable中间变量Function n.函数引domain and range定义域与值域sign function符号函数piecewise function分段函数function property函数性质even function偶函数odd function奇函数periodic function周期函数monotone function单调函数inverse function反函数composite function复合函数elementary fu
18、nction初等函数power function幂函数exponential function指数函数logarithmic function对数函数trigonometric function三角函数inverse trigonometric function反三角函数parametric function含参函数polar function极（坐标）函数vector function向量函数transforming function函数变换operation of function函数运算引add、subtract、multiply、divide v.（加减乘除）Sum、differenc
19、e、product、quotient n.（和差积商）Trigonometric identity 三角恒等式引pythagorean identities 毕达哥拉斯等式 sin2xcos2x1double-angle formula 两倍角公式sin 2x2sin xcos xpower-reducing formula 降幂公式 cos2xsum and difference formula（角）和差公式sin(xy)sin xcos ycos xsin yPolar equation极坐标方程引vertex顶点polar coordinate极坐标【Topics知识精讲】2.1 Fiv
20、e Basic Elementary Functions五种基本初等函数高中所学五种函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）都是我们进一步学习高等数学的基础。AP微积分将以这五种函数为基础展开极限、导数和积分等学习，进步一讨论函数的各种性质。五大函数的定义域和值域、图像和性质（单调性、奇偶性、周期性等）以及运算都是AP学习者需要牢固掌握的基础知识。我们知道描述一个函数有以下四种形式：Verbally （by a description in words文字描述）Numerically（by a table of values数值列表）Visually（by a graph图像）
21、Algebraically（by an explicit formula解析式）AP微积分考试中，free-response部分总共6个题，试题中出现的函数将会以上面四种形式出现。在分析样题的时候，我们发现部分题都只给出函数的图像，不给出函数解析式，这时候让中国考生感觉比较吃力。因为中国的高考和中国的考生最喜欢和最习惯做的题几乎都是直接给出函数解析式的题，即Algebraically（by an explicit formula），然后再去求解一些问题。所以读者应当在平时的学习中，要不断地去习惯其他三种形式。本章为国内高中高一所学函数知识的总结，学完高一课程的读者只需把本章作为一个复习章节。若
22、没学本章知识的读者务必认真学习本章知识，本章为后面所有章节的基础。2.1.1 Power Functions幂函数1Power Functions幂函数yx( is a constant)（1）When n(where n is a positive integer)When n is even， the function is also an even function(偶函数)；When n is odd， the function is also an odd function(奇函数)；（2）When (where n is a positive integer)When n is e
23、ven， the domain of the function is (0，)；When n is odd， the domain of the function is (，)；The following figure are the graphs of the functions when 1，1，2.2Polynomial Functions多项式函数多个幂函数进行加减乘运算即得到多项式函数，记为：f(x)a0xna1xn-1a2xn-2an-1xan(n is a positive integer or zero)n1，linear function(一次函数)，f(x)kxb(k0)n
24、2，quadratic function(二次函数)，f(x)ax2bxc(a0)n3，cubic function(三次函数)，f(x)ax3bx2cxd(a0)3Rational Functions有理函数二个多项式函数进行除运算即得到Rational function，记为：f(x)(Q(x)0)P(x) and Q(x) are polynomial functions2.1.2 Exponential Functions指数函数yax(a0 and a1)1Graphs函数Functionyax(a1)定义域Domain(，)值域Range(0，)过定点Fixed point(0，1
25、)单调性MonotonexR increasing interval函数Functionyax(0a1)定义域Domain(，)值域Range(0，)过定点Fixed point(0，1)单调性MonotonexR decreasing interval2Formulas for Operationamanam+n(am)namn(ab)mambm2.1.3 Logarithmic Functions对数函数ylogax(a0 and a1)1Graphs函数Functionylogax(a1)定义域Domain(0，)值域Range(，)过定点Fixed point(1，0)单调性Monot
26、onex(0，) increasing interval函数Functionylogax(0a1)定义域Domain(0，)值域Range(，)过定点Fixed point(1，0)单调性Monotonex(0，) decreasing interval2Formulas for Operationloga(MN)logaMlogaNlogalogaMlogaNlogab(c0 and c1)（换底公式）logab(n0)b or elnbb（对数恒等式）2.1.4 Trigonometric Functions三角函数1Graphs函数Functionysin x定义域Domain(，)值域
27、Range1，1奇偶性Even or oddodd单调性Monotonex(2k，2k)(kZ)increasing intervalx(2k，2k)(kZ)decreasing interval周期性Periodicity2函数Functionycos x定义域Domain(，)值域Range1，1奇偶性Even or oddeven单调性Monotonex(2k，2k)(kZ)increasing intervalx(2k，2k)(kZ)decreasing interval周期性Periodicity2函数Functionytan x定义域DomainxRx(kZ)值域Range(，)奇
28、偶性Even or oddodd单调性Monotonex(k，k)(kZ)increasing interval周期性Periodicity函数Functionycot x定义域DomainxRxk(kZ)值域Range(，)奇偶性Even or oddodd单调性Monotonex(k，k)(kZ)decreasing interval周期性Periodicity函数Functionysec x定义域DomainxRx(kZ)值域RangeyR1奇偶性Even or oddeven单调性Monotonex(2k，2k)U(2k，2k)(kZ) increasing intervalx(2k，
29、2k)U(2k，2k2)(kZ) decreasing interval周期性Periodicity2函数Functionycsc x定义域Domain值域Range奇偶性Even or oddodd单调性MonotoneU(kZ) increasing intervalU(kZ) decreasing interval周期性Periodicity22Formulas for Operation同角三角函数基本公式Trigonometric identifies平方关系sin2xcos2x11tan2xsec2x1cot2xcsc2x商数关系倒数关系x1secx1cotx1诱导公式Induct
30、ion formulas法则：奇变偶不变，符号看象限。在化简的三角函数时，分两步走：第一步，判断k的奇偶性。当k为偶数，化简时函数名不变；当k为奇数时，化简时函数名变化，正弦与余弦，正切与余切，正割与余割相互变化；第二步，判断要化简三角函数的正负。把要化简的三角函数的当成锐角，接着判断这个角所在的象限，然后判断该角的三角函数的正负，此时的正负即为化简后三角函数的正负。例如：化简。第一步，k3为奇数，则应化为；第二步，当x为锐角时，在第三象限，则为负，把符号添加到前面。最终得：两角和差公式Sum and differenceformulas倍角公式Double-angle formulas以上公
31、式能够全部掌握最好，因为西方国家（特别是美国）很重视三角函数的学习，对三角函数的要求比在国内高考还高，例如在国内，我们基本上只需掌握sin，cos，tan三个函数就可以了，但是在国外六个三角函数都要求熟练掌握。如果只是对付AP微积分考试的话，最少要掌握“同角三角函数基本公式和倍角公式”，在后续的求导和积分中，我们经常可以见到三角函数的踪迹。2.1.5 Trigonometric Functions 反三角函数1Graphs函数Function定义域Domain1，1值域Range奇偶性Even or oddodd单调性Monotone1，1increasing interval函数Functi
32、on定义域Domain1，1值域Range0，奇偶性Even or oddnone单调性Monotone1，1decreasing interval函数Function定义域Domain值域Range奇偶性Even or oddodd单调性Monotoneincreasing interval对于反三角函数掌握其定义域和值域，熟悉其图像即可。除了上面介绍的五种函数之外，还有以下几个常见的函数需要大家掌握其英文名称、概念和图像性质。（1）The Absolute-Value Functions 绝对值函数（2）The Greatest-Integer Functions 取整函数（3）The H
33、ook Functions对勾函数（4）The Piecewise Defined Functions分段函数The function is defined by different formulas in different interval of its domain（在不同定义域有不同的解析式）For example，The graphExample 1 Find the value of each expression.（a） （b）（c）arcsin（1） （d）Solution：Using the laws of logarithms，exponents and inverse s
34、ine function，we get：2.2 Inverse Functions 反函数Let be a function with domain A and range B. For each ，there is only one such that holds. If we consider y as the independent variable and x as the dependent variable，we obtain a new function denoted byThe function is called the inverse function of the or
35、iginal function Then we replace x by y and replace y by x in the representation ，and get The other form is反函数需要掌握的四个知识点：1）求反函数步骤：将原函数变形，用y表示x，将x与y互换，求出定义域；2）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；3）反函数图像与原函数图像关于yx对称；4）反函数存在的条件：原函数在某区间单调。2.3 Composite Functions 复合函数复合函数是由两个或两个以上的基本初等函数复合而成的。“复合”与求反函数一样都是创造新函数
36、的一种手段。注意：复合并不是简单的加减乘除，而是用一个基本初等函数（Basic Elementary Function）去替换另外一个基本初等函数的变量。例如函数，函数的变量为x，现将去取代函数变量x的位置，得复合函数。当我们了解了复合函数的“创造过程”之后，根据数学的解题思想解决复杂问题的方法是“化繁为简”通常我们将复合函数拆分为几个基本初等函数去分析，这个过程我们称之为“换元”。“换元”思想是一种重要的数学思想，其实也是教会我们为人处事的一种思维方法，学数学的本质和初衷也是为了培养人的一种思维能力。Let ug(x)，then （我们把u称作intermediate variable，中间
37、变量）Example 2 Which basic elementary functions compose the following composite functions? )Solution：Using the definition of composite function，we get： Let Let ，ux2 Let Let 2.4 Parametric Functions 参变量函数*If x and y are both given as functions of a third variable，then the variable is called a parameter
38、 and the equation is called a parametric equation. The standard expression：Example 3 What curve is represented by where 0t2?Solution：First，simplify she expression like this：Next，using Trigonometric Identify If ，it represents a circle；If ，it represents an ellipse.2.5 Polar Functions 极坐标函数*一个极坐标系统通常由一
39、定点（称为极点（pole）及由此极点射出的一条射线（称为极轴（polar axis）组成。为了方便与直角坐标系统作比较，通常把直角坐标系统的原点作为极点，把右半条横轴作为极轴。在二维平面中，通常一个函数yf(x)需要两个参数来表征。在直角坐标系中，我们用横坐标x和纵坐标y来定位一个点P（x，y）或一个函数；在极坐标系中我们用极角（极点与P点连成的射线和极轴形成的角。角的规定与三角函数中角的规定一致）和点到极点的距离r来确定一个点P（）或一个函数。根据r的意义，有r0。为了拓展极坐标的应用，规定r也可以为负。点P（）为P（）绕极点逆时针旋转180，即P（）P（）。r is the distanc
40、e from the point O to P；is the angle between the polar axis and the line OP. The angle is positive if measured in the counter-clockwise from the polar axis and negative in the clockwise direction.Cartesian coordinate 直角坐标系Polar coordinate 极坐标系 Example 4 Plot the points in the polar coordinate. Solut
41、ion：Example 5 What curves are represented by the following equations? Solution：（a） It represents a circle with center（0，0）and radius 1.（b） It represents a circle with center (0，) and radius .（c） We get a table by the given and the calculation of r.02r12101Sketch the graph：2.6 Vector Functions 向量函数A
42、vector is a quantity that has both magnitude and direction.1Denote a vector by printing a letter in boldface or by putting an arrow above the letter：（国内的教材向量用圆括号表示，国外用尖括号，细微的区别，请读者注意）（standard basis vectors ）2（1）The magnitude（or length）of the vector is（2）The direction of the vector is物理中，我们常常把力、速度和加
43、速度沿着x与y轴方向进行分解。例如2.7 Transforming of Functions 函数变换Vertical shifts：Horizontal shifts：Vertical stretching (k1) and compressing (k1)：Horizontal stretching (k1) and compressing (k1)：Vertical reflecting about x-axis：Horizontal reflecting about y-axis：Example 6 Graph the indicated translations.Solution：Separate variableShift the graph a distance 1 units to the left，then a distance 2 units upward.【Practice Problems课后练习】For problems 1 through 4，use the following graphs of f and g.1Determine which of the two functions