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1、2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共10小题，每小题5分，满分50分题号12345678910答案DDCBCBACBA二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共5小题，每小题5分，满分20分其中1415题是选做题，考生只能选做一题第13题仅填对1个，则给3分110 12 1335，10 14 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思
2、想方法，以及运算求解能力）（1）解：1分 3分4分（2）解法1：因为5分6分7分所以，即 因为， 由、解得9分所以11分12分解法2：因为5分6分7分所以9分 10分 11分 12分17（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以1分解得2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人 5分（3）解：成绩在分数段内的人数为人，分别记为，6分成绩在
3、分数段内的人数为人，分别记为，7分若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：， 共15种9分如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：，共7种11分所以所求概率为12分18（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）
4、证明：因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面2分记边上的中点为，在中，因为， 所以因为，所以4分所以的面积5分因为，所以三棱锥的体积7分（2）证法1：因为，所以为直角三角形因为，所以9分连接，在中，因为，所以10分由（1）知平面，又平面，所以在中，因为，所以12分在中，因为，所以13分所以为直角三角形14分证法2：连接，在中，因为，所以8分在中，所以，所以10分由（1）知平面，因为平面，所以 因为，所以平面12分 因为平面，所以所以为直角三角形14分19（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意
5、识）（1）解：因为数列是等差数列，所以，1分依题意，有即3分解得，5分所以数列的通项公式为（）6分（2）证明：由（1）可得7分所以8分所以 9分 10分因为，所以11分因为，所以数列是递增数列12分所以13分 所以14分20（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：因为，所以1分当时，函数没有单调递增区间；2分当时，令，得故的单调递增区间为；3分当时，令，得故的单调递增区间为4分综上所述，当时，函数没有单调递增区间；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为5分（2）
6、解：，由（1）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为和6分所以函数在处取得极小值，7分函数在处取得极大值8分由于对任意，函数在上都有三个零点，所以即10分解得11分因为对任意，恒成立，所以13分所以实数的取值范围是14分21（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得，1分设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即所以双曲线的方程为3分（2）证法1：设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为，4分联立方程组5分整理，得，解得或所以6分同理可得，7分所以8分证法2：设点、（，），则，4分因为，所以，即5分因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，即，6分所以，即7分所以8分证法3：设点，直线的方程为，4分联立方程组5分整理，得，解得或6分将代入，得，即所以8分（3）解：设点、（，），则，因为，所以，即9分因为点在双曲线上，则，所以，即因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以10分因为， 所以11分由（2）知，即设，则，设，则，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减 因为，所以当，即时，12分当，即时，13分所以的取值范围为14分说明：由，得，给1分数学（文科）试题参考答案及评分标准 第9页（共8页）